Integral

Integral tertentu suatu fungsi dapat digambarkan sebagai area yang dibatasi oleh kurva fungsinya.

Integral adalah sebuah konsep penjumlahan secara berkesinambungan dalam matematika. Integral dan inversnya, diferensiasi, adalah operasi utama dalam kalkulus. Integral dikembangkan menyusul dikembangkannya masalah dalam diferensiasi, yaitu matematikawan harus berpikir bagaimana menyelesaikan masalah yang berkebalikan dengan solusi diferensiasi. Lambang integral adalah ${\textstyle \int }$.

Bila diberikan suatu fungsi f dari variabel real x dengan interval [a, b] dari sebuah garis lurus, integral tertentu

$\int _{a}^{b}\!f(x)\,dx$

didefinisikan sebagai area yang dibatasi oleh kurva f, sumbu-x, sumbu-y, serta garis vertikal x = a dan x = b dengan area yang berada di atas sumbu-x bernilai positif dan area di bawah sumbu-x bernilai negatif.

Kata integral juga dapat digunakan untuk merujuk pada antiturunan, sebuah fungsi F yang turunannya adalah fungsi f. Pada kasus ini, ia disebut sebagai integral tak tentu dan notasinya ditulis sebagai berikut.

$F=\int f(x)\,dx$

Prinsip-prinsip dan teknik integrasi dikembangkan terpisah oleh Isaac Newton dan Gottfried Leibniz pada akhir abad ke-17. Melalui teorema fundamental kalkulus yang mereka kembangkan masing-masing, integral terhubung dengan diferensial: jika f adalah fungsi kontinu yang terdefinisi pada sebuah interval tertutup [a, b], jika antiturunan F dari f diketahui, integral tertentu dari f pada interval tersebut dapat didefinisikan sebagai:

$\int _{a}^{b}\!f(x)\,dx=F(b)-F(a)$

Integral dan diferensial menjadi peranan penting dalam kalkulus dengan berbagai macam aplikasi pada sains dan teknik.

Sejarah

Lihat pula: Sejarah kalkulus

Integrasi pra-kalkulus

Teknik sistematis terdokumentasi pertama yang mampu menentukan integral adalah metode kelelahan dari Yunani kuno astronom Eudoxus (ca. 370 SM), yang berusaha untuk menemukan luas dan volume dengan memecahnya menjadi beberapa divisi yang luas atau volumenya diketahui. Metode tersebut dikembangkan lebih lanjut dan digunakan oleh Archimedes pada abad ke-3 SM dan digunakan untuk menghitung luas lingkaran, luas permukaan dan volume bola, luas elips, luas di bawah parabola, volume segmen revolusi paraboloid, volume segmen hiperboloid revolusi, dan luas spiral.

Metode serupa dikembangkan secara independen di Tiongkok sekitar abad ke-3 M oleh Liu Hui, yang menggunakan untuk mencari luas lingkaran. Metode ini kemudian digunakan pada abad ke-5 oleh ahli matematika ayah dan anak Tionghoa Zu Chongzhi dan Zu Geng untuk mencari volume bola (Shea 2007; Katz 2004, hlm. 125–126).

Di Timur Tengah, Hasan Ibn al-Haytham, dalam bahasa Latin sebagai Alhazen (ca 965 AD) menurunkan rumus untuk jumlah pangkat empat s. Dia menggunakan hasil untuk melakukan apa yang sekarang disebut integrasi fungsi ini, di mana rumus untuk jumlah kuadrat integral dan paraboloid.

Kemajuan signifikan berikutnya dalam kalkulus integral baru mulai muncul pada abad ke-17. Pada saat ini, karya Cavalieri dengan metode Indivisibles miliknya, dan karya Fermat, mulai meletakkan dasar-dasar kalkulus modern, dengan Cavalieri menghitung integral dari xⁿ dengan derajat nilai n = 9 dalam rumus kuadrat Cavalieri. Langkah selanjutnya dibuat pada awal abad ke-17 oleh Barrow dan Torricelli, yang memberikan petunjuk pertama tentang hubungan antara integrasi. Barrow memberikan bukti pertama dari teorema fundamental kalkulus. John Wallis menggeneralisasi metode Cavalieri, menghitung integral dari nilai x menjadi kekuatan umum, termasuk kekuatan negatif dan kekuatan pecahan.

Leibniz dan Newton

Kemajuan besar dalam integrasi terjadi pada abad ke-17 dengan penemuan independen dari teorema dasar kalkulus oleh Leibniz dan Newton. Leibniz menerbitkan karyanya tentang kalkulus sebelum Newton. Teorema menunjukkan hubungan antara integrasi dan diferensiasi. Hubungan tersebut, dikombinasikan dengan kemudahan pembedaan, dapat dimanfaatkan untuk menghitung integral. Secara khusus, teorema dasar kalkulus memungkinkan seseorang untuk memecahkan masalah kelas yang jauh lebih luas. Sama pentingnya adalah kerangka matematika komprehensif yang dikembangkan oleh Leibniz dan Newton. Diberikan nama kalkulus sangat kecil, tersebut memungkinkan untuk analisis fungsi yang tepat dalam domain kontinu. Kerangka ini akhirnya menjadi modern kalkulus, yang notasinya untuk integral diambil langsung dari karya Leibniz.

Formalisasi

Sementara Newton dan Leibniz memberikan pendekatan sistematis untuk integrasi, pekerjaan mereka tidak memiliki derajat rigor. Bishop Berkeley secara mengesankan menyerang langkah langkah yang digunakan Newton, memanggil mereka "hantu dari jumlah yang telah pergi". Kalkulus memperoleh pijakan yang lebih kokoh dengan pengembangan limit. Integrasi pertama kali diformalkan secara ketat, menggunakan batasan, oleh Riemann. Meskipun semua fungsi kontinu bagian yang dibatasi adalah Riemann-integrable pada interval yang dibatasi, selanjutnya fungsi yang lebih umum dipertimbangkan terutama dalam konteks analisis Fourier yang mendefinisikan Riemann tidak berlaku, dan Lebesgue merumuskan definisi integral yang berbeda, didirikan di teori ukuran (subbidang dari analisis nyata). Definisi integral lainnya, memperluas pendekatan Riemann dan Lebesgue, telah diusulkan. Pendekatan ini berdasarkan sistem bilangan real adalah yang paling umum saat ini, tetapi ada pendekatan alternatif, seperti definisi integral sebagai bagian standar dari jumlah Riemann tak terbatas, berdasarkan sistem bilangan hiperreal.

Notasi sejarah

Notasi untuk integral tak tentu diperkenalkan oleh Gottfried Wilhelm Leibniz pada tahun 1675 (Burton 1988, p. 359; Leibniz 1899, p. 154). Dia mengadaptasi simbol integral, ∫, dari lambang berbentuk ſ, singkatan dari summa (ditulis sebagai ſumma; dari Bahasa Latin "sum" atau "total"). Notasi modern untuk integral pasti, dengan batas di atas dan di bawah integral, pertama kali digunakan oleh Joseph Fourier Mémoires dari Akademi Prancis sekitar tahun 1819–2020, dicetak ulang dalam bukunya tahun 1822 (Cajori 1929, pp. 249–250; Fourier 1822, §231).

Isaac Newton menggunakan batang vertikal kecil di atas variabel untuk menunjukkan integrasi, atau menempatkan variabel di dalam kotak. Bilah vertikal mudah dikacaukan pada nilai .x atau x′, yang digunakan untuk menunjukkan diferensiasi, dan notasi kotak sulit untuk direproduksi oleh printer, jadi notasi tersebut tidak digunakan secara luas.

Definisi formal

Ada beberapa cara untuk mendefinisikan integral.

Integral Riemann

Artikel utama: Integral Riemann

Integral Riemann adalah konsep integral yang dasar. Definisi itu mudah dan berguna khususnya untuk fungsi-fungsi yang kontinu atau kontinu 'titik demi titik'.

Integral Lebesgue

Artikel utama: Integral Lebesgue

Integral Lebesgue merupakan suatu perumuman dari integral Riemann.

Mencari nilai integral

Substitusi

Berikut contoh penyelesaian secara substitusi.

$\int {\frac {\ln(x)}{x}}\,dx$

$t=\ln(x),\,dt={\frac {dx}{x}}$

Dengan menggunakan rumus di atas,

${\begin{aligned}&\;\int {\frac {\ln(x)}{x}}\,dx\\=&\;\int t\,dt\\=&\;{\frac {1}{2}}t^{2}+C\\=&\;{\frac {1}{2}}\ln ^{2}x+C\end{aligned}}$

Integrasi parsial

Cara 1: Rumus

Integral parsial diselesaikan dengan rumus berikut.

$\int u\,dv=uv-\int v\,du$

Berikut contoh penyelesaian secara parsial dengan rumus.

$\int x\sin(x)\,dx$

$u=x,\,du=1\,dx,\,dv=\sin(x),\,v=-\cos(x)$

Dengan menggunakan rumus di atas,

${\begin{aligned}&\;\int x\sin(x)\,dx\\=&\;(x)(-\cos(x))-\int (-\cos(x))(1\,dx)\\=&\;-x\cos(x)+\int \cos(x)\,dx\\=&\;-x\cos(x)+\sin(x)+C\end{aligned}}$

Cara 2: Tabel

Untuk ${\textstyle \int u\,dv}$, berlaku ketentuan sebagai berikut.

Tanda	Turunan	Integral
+	$u$	$dv$
-	${\frac {du}{dx}}$	$v$
+	${\frac {d^{2}u}{dx^{2}}}$	$\int v\,dx$

Berikut contoh penyelesaian secara parsial dengan tabel.

$\int x\sin(x)\,dx$

Tanda	Turunan	Integral
+	$x$	$\sin(x)$
-	$1$	$-\cos(x)$
+	$0$	$-\sin(x)$

Dengan tabel di atas,

${\begin{aligned}&\;\int x\sin(x)\,dx\\=&\;(x)(-\cos(x))-(1)(-\sin(x))+C\\=&\;-x\cos(x)+\sin(x)+C\end{aligned}}$

Substitusi trigonometri

Bentuk	Trigonometri
${\sqrt {a^{2}-b^{2}x^{2}}}$	$x={\frac {a}{b}}\sin(\alpha )$
${\sqrt {a^{2}+b^{2}x^{2}}}$	$x={\frac {a}{b}}\tan(\alpha )$
${\sqrt {b^{2}x^{2}-a^{2}}}$	$x={\frac {a}{b}}\sec(\alpha )$

Berikut contoh penyelesaian secara substitusi trigonometri.

$\int {\frac {dx}{x^{2}{\sqrt {x^{2}+4}}}}$

$x=2\tan(A),\,dx=2\sec ^{2}(A)\,dA$

Dengan substitusi di atas,

${\begin{aligned}&\;\int {\frac {dx}{x^{2}{\sqrt {x^{2}+4}}}}\\=&\;\int {\frac {2\sec ^{2}(A)\,dA}{(2\tan(A))^{2}{\sqrt {4+(2\tan(A))^{2}}}}}\\=&\;\int {\frac {2\sec ^{2}(A)\,dA}{4\tan ^{2}(A){\sqrt {4+4\tan ^{2}(A)}}}}\\=&\;\int {\frac {2\sec ^{2}(A)\,dA}{4\tan ^{2}(A){\sqrt {4(1+\tan ^{2}(A))}}}}\\=&\;\int {\frac {2\sec ^{2}(A)\,dA}{4\tan ^{2}(A){\sqrt {4\sec ^{2}(A)}}}}\\=&\;\int {\frac {2\sec ^{2}(A)\,dA}{(4\tan ^{2}(A))(2\sec(A))}}\\=&\;\int {\frac {\sec(A)\,dA}{4\tan ^{2}(A)}}\\=&\;{\frac {1}{4}}\int {\frac {\sec(A)\,dA}{\tan ^{2}(A)}}\\=&\;{\frac {1}{4}}\int {\frac {\cos(A)}{\sin ^{2}(A)}}\,dA\end{aligned}}$

Substitusi berikut dapat dibuat.

$\int {\frac {\cos(A)}{\sin ^{2}(A)}}\,dA$

$t=\sin(A),\,dt=\cos(A)\,dA$

Dengan substitusi di atas,

${\begin{aligned}&\;{\frac {1}{4}}\int {\frac {\cos(A)}{\sin ^{2}(A)}}\,dA\\=&\;{\frac {1}{4}}\int {\frac {dt}{t^{2}}}\\=&\;{\frac {1}{4}}\left(-{\frac {1}{t}}\right)+C\\=&\;-{\frac {1}{4t}}+C\\=&\;-{\frac {1}{4\sin(A)}}+C\end{aligned}}$

Ingat bahwa ${\textstyle \sin(A)={\frac {x}{\sqrt {x^{2}+4}}}}$ berlaku.

${\begin{aligned}&\;-{\frac {1}{4\sin(A)}}+C\\=&\;-{\frac {\sqrt {x^{2}+4}}{4x}}+C\end{aligned}}$

Integrasi pecahan parsial

Berikut contoh penyelesaian secara parsial untuk persamaan pecahan (rasional).

$\int {\frac {dx}{x^{2}-4}}$

Pertama, pisahkan pecahan tersebut.

${\begin{aligned}&\;{\frac {1}{x^{2}-4}}\\=&\;{\frac {1}{(x+2)(x-2)}}\\=&\;{\frac {A}{x+2}}+{\frac {B}{x-2}}\\=&\;{\frac {A(x-2)+B(x+2)}{x^{2}-4}}\\=&\;{\frac {(A+B)x-2(A-B)}{x^{2}-4}}\end{aligned}}$

Kita tahu bahwa ${\textstyle A+B=0}$ dan ${\textstyle A-B=-{\frac {1}{2}}}$ dapat diselesaikan, yaitu ${\textstyle A=-{\frac {1}{4}}}$ dan ${\textstyle B={\frac {1}{4}}}$.

${\begin{aligned}&\;\int {\frac {dx}{x^{2}-4}}\\=&\;\int -{\frac {1}{4(x+2)}}+{\frac {1}{4(x-2)}}\,dx\\=&\;{\frac {1}{4}}\int {\frac {1}{x-2}}-{\frac {1}{x+2}}\,dx\\=&\;{\frac {1}{4}}(\ln |x-2|-\ln |x+2|)+C\end{aligned}}$

Rumus integrasi dasar

Umum

$\int x^{n}\,dx={\begin{cases}{\frac {1}{n+1}}x^{n+1}+C&n\neq -1\\\ln |x|+C&n=-1\end{cases}}$

Eksponen dan bilangan natural

$\int e^{x}\,dx=e^{x}+C$

$\int a^{x}\,dx={\frac {a^{x}}{\ln(a)}}+C;\quad a\neq 1\land a>0$

Logaritma dan bilangan natural

$\int {\frac {1}{x}}\,dx=\ln |x|+C$

$\int \ln(x)\,dx=x\ln(x)-x+C=x\ln \left({\frac {x}{e}}\right)+C$

$\int \log _{a}(x)\,dx=x\log _{a}(x)-{\frac {x}{\ln(a)}}+C=x\log _{a}\left({\frac {x}{e}}\right)+C$

Trigonometri

$\int \sin(x)\,dx=-\cos(x)+C$

$\int \cos(x)\,dx=\sin(x)+C$

$\int \tan(x)\,dx=\ln |\sec(x)|+C$

$\int \cot(x)\,dx=-\ln |\csc(x)|+C$

$\int \sec(x)\,dx=\ln |\sec(x)+\tan(x)|+C$

$\int \csc(x)\,dx=-\ln |\csc(x)+\cot(x)|+C$

$\int \sin ^{2}(x)\,dx={\frac {1}{2}}(x-\sin(x)\cos(x))+C$

$\int \cos ^{2}(x)\,dx={\frac {1}{2}}(x+\sin(x)\cos(x))+C$

$\int \tan ^{2}(x)\,dx=\tan(x)-x+C$

$\int \cot ^{2}(x)\,dx=-\cot(x)-x+C$

$\int \sec ^{2}(x)\,dx=\tan(x)+C$

$\int \csc ^{2}(x)\,dx=-\cot(x)+C$

$\int \sec(x)\tan(x)\,dx=\sec(x)+C$

$\int \csc(x)\cot(x)\,dx=-\csc(x)+C$

Inversi

$\int {\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}\,dx=\arcsin(x)+C$

$\int {\frac {1}{1+x^{2}}}\,dx=\arctan(x)+C$

$\int {\frac {1}{x{\sqrt {x^{2}-1}}}}\,dx=\operatorname {arcsec}(x)+C$

Hiperbolik

$\int \sinh(x)\,dx=\cosh(x)+C$

$\int \cosh(x)\,dx=\sinh(x)+C$

Panjang busur

Sumbu x

$S=\int _{x_{1}}^{x_{2}}{\sqrt {1+(f'(x))^{2}}}\,dx$

Sumbu y

$S=\int _{y_{1}}^{y_{2}}{\sqrt {1+(f'(y))^{2}}}\,dy$

Luas daerah

Satu kurva

Sumbu x

$L=\int _{x_{1}}^{x_{2}}f(x)\,dx$

Sumbu y

$L=\int _{y_{1}}^{y_{2}}f(y)\,dy$

Dua kurva

Sumbu x

$L=\int _{x_{1}}^{x_{2}}(f(x_{2})-f(x_{1}))\,dx$

Sumbu y

$L=\int _{y_{1}}^{y_{2}}(f(y_{2})-f(y_{1}))\,dy$

atau juga $L={\frac {D{\sqrt {D}}}{6a^{2}}}$

Luas permukaan benda putar

Sumbu x sebagai poros

$L=2\pi \int _{x_{1}}^{x_{2}}f(x)\,ds$

dengan

$ds={\sqrt {1+(f'(x))^{2}}}\,dx$

Sumbu y sebagai poros

$L=2\pi \int _{y_{1}}^{y_{2}}f(y)\,ds$

dengan

$ds={\sqrt {1+(f'(y))^{2}}}\,dy$

Volume benda putar

Satu kurva

Sumbu x sebagai poros

$V=\pi \int _{x_{1}}^{x_{2}}(f(x))^{2}\,dx$

Sumbu y sebagai poros

$V=\pi \int _{y_{1}}^{y_{2}}(f(y))^{2}\,dy$

Dua kurva

Sumbu x sebagai poros

$V=\pi \int _{x_{1}}^{x_{2}}((f(x_{2}))^{2}-(f(x_{1}))^{2})\,dx$

Sumbu y sebagai poros

$V=\pi \int _{y_{1}}^{y_{2}}((f(y_{2}))^{2}-(f(y_{1}))^{2})\,dy$

Contoh

• Tentukan luas (tak tentu) dengan persamaan garis $y=x$ dan batas-batas sumbu y dengan cara integral!

${\begin{aligned}L&=\int x\,dx\\L&={\frac {1}{2}}x^{2}\\L&={\frac {1}{2}}xy\quad (y=x)\end{aligned}}$

• Tentukan luas (tak tentu) dengan persamaan garis $y=x^{2}$ dan batas-batas sumbu y dengan cara integral!

${\begin{aligned}L&=\int x^{2}\,dx\\L&={\frac {1}{3}}x^{3}\\L&={\frac {1}{3}}xy\quad (y=x^{2})\end{aligned}}$

• Tentukan luas (tak tentu) dengan persamaan garis $y={\sqrt {x}}$ dan batas-batas sumbu y dengan cara integral!

${\begin{aligned}L&=\int {\sqrt {x}}\,dx\\L&={\frac {2}{3}}x^{\frac {3}{2}}\\L&={\frac {2}{3}}xy\quad (y={\sqrt {x}})\end{aligned}}$

• Buktikan luas persegi panjang $L=pl$ dengan cara integral!

Dengan posisi $y=l$ dan titik (p, l),

${\begin{aligned}L&=\int _{0}^{p}l\,dx\\L&=lx|_{0}^{p}\\L&=pl-0\\L&=pl\end{aligned}}$

• Buktikan luas segitiga $L={\frac {at}{2}}$ dengan cara integral!

Dengan posisi $y={\frac {-tx}{a}}+t$ dan titik (a, t),

${\begin{aligned}L&=\int _{0}^{a}\left({\frac {-tx}{a}}+t\right)\,dx\\L&=\left.{\frac {-tx^{2}}{2a}}+tx\right|_{0}^{a}\\L&={\frac {-ta^{2}}{2a}}+ta-0+0\\L&={\frac {-ta}{2}}+ta\\L&={\frac {at}{2}}\end{aligned}}$

• Buktikan volume tabung $V=\pi r^{2}t$ dengan cara integral!

Dengan posisi $y=r$ dan titik (t, r),

${\begin{aligned}V&=\pi \int _{0}^{t}r^{2}\,dx\\V&=\pi \left.r^{2}x\right|_{0}^{t}\\V&=\pi r^{2}t-0\\V&=\pi r^{2}t\end{aligned}}$

• Buktikan volume kerucut $V={\frac {\pi r^{2}t}{3}}$ dengan cara integral!

Dengan posisi $y={\frac {rx}{t}}$ dan titik (t, r),

${\begin{aligned}V&=\pi \int _{0}^{t}\left({\frac {rx}{t}}\right)^{2}\,dx\\V&=\pi \left.{\frac {r^{2}x^{3}}{3t^{2}}}\right|_{0}^{t}\\V&=\pi {\frac {r^{2}t^{3}}{3t^{2}}}-0\\V&={\frac {\pi r^{2}t}{3}}\end{aligned}}$

• Buktikan volume bola $V={\frac {4\pi r^{3}}{3}}$ dengan cara integral!

Dengan posisi $y={\sqrt {r^{2}-x^{2}}}$ serta titik (-r, 0) dan (r, 0),

${\begin{aligned}V&=\pi \int _{-r}^{r}\left({\sqrt {r^{2}-x^{2}}}\right)^{2}\,dx\\V&=\pi \int _{-r}^{r}r^{2}-x^{2}dx\\V&=\pi \left.r^{2}x-{\frac {x^{3}}{3}}\right|_{-r}^{r}\\V&=\pi \left(r^{3}-{\frac {r^{3}}{3}}-\left(-r^{3}+{\frac {r^{3}}{3}}\right)\right)\\V&={\frac {4\pi r^{3}}{3}}\end{aligned}}$

• Buktikan keliling lingkaran $K=2\pi r$ dengan cara integral!

Dengan posisi $y={\sqrt {r^{2}-x^{2}}}$ serta titik (-r, 0) dan (r, 0),

Kita tahu bahwa turunannya adalah

$y'={\frac {-x}{\sqrt {r^{2}-x^{2}}}}$

sehingga

${\begin{aligned}K&=4\int _{0}^{r}{\sqrt {1+({\frac {-x}{\sqrt {r^{2}-x^{2}}}})^{2}}}\,dx\\K&=4\int _{0}^{r}{\sqrt {1+({\frac {x^{2}}{r^{2}-x^{2}}})}}\,dx\\K&=4\int _{0}^{r}{\sqrt {\frac {r^{2}}{r^{2}-x^{2}}}}\,dx\\K&=4r\int _{0}^{r}{\sqrt {\frac {1}{r^{2}-x^{2}}}}\,dx\\K&=4r\int _{0}^{r}{\frac {1}{\sqrt {r^{2}-x^{2}}}}\,dx\\K&=4r\;\left.\arcsin \left({\frac {x}{r}}\right)\right|_{0}^{r}\\K&=4r\left(\arcsin \left({\frac {r}{r}}\right)-\arcsin \left({\frac {0}{r}}\right)\right)\\K&=4r\left(\arcsin \left(1\right)-\arcsin \left(0\right)\right))\\K&=4r\left({\frac {\pi }{2}}\right)\\K&=2\pi r\end{aligned}}$

• Buktikan luas lingkaran $L=\pi r^{2}$ dengan cara integral!

Dengan posisi $y={\sqrt {r^{2}-x^{2}}}$ serta titik (-r, 0) dan (r, 0), dibuat trigonometri dan turunannya terlebih dahulu.

${\begin{aligned}\sin(\theta )&={\frac {x}{r}}\\x&=r\sin(\theta )\\dx&=r\cos(\theta )\,d\theta \end{aligned}}$

Dengan turunan di atas,

${\begin{aligned}L&=4\int _{0}^{r}{\sqrt {r^{2}-x^{2}}}\,dx\\L&=4\int _{0}^{r}{\sqrt {r^{2}-(r\sin(\theta ))^{2}}}\,dx\\L&=4\int _{0}^{r}{\sqrt {r^{2}-r^{2}\sin ^{2}(\theta )}}\,dx\\L&=4\int _{0}^{r}{\sqrt {r^{2}(1-\sin ^{2}(\theta ))}}\,dx\\L&=4\int _{0}^{r}r\cos(\theta )\,dx\\L&=4\int _{0}^{r}r\cos(\theta )(r\cos(\theta )\,d\theta )\\L&=4\int _{0}^{r}r^{2}\cos ^{2}(\theta )\,d\theta \\L&=4r^{2}\int _{0}^{r}\left({\frac {1+\cos(2\theta )}{2}}\right)\,d\theta \\L&=2r^{2}\int _{0}^{r}(1+\cos(2\theta ))\,d\theta \\L&=2r^{2}\left(\theta +{\frac {1}{2}}\sin(2\theta )\right)_{0}^{r}\\L&=2r^{2}(\theta +\sin(\theta )\cos(\theta ))_{0}^{r}\\L&=2r^{2}\left(\arcsin \left({\frac {x}{r}}\right)+\left({\frac {x}{r}}\right)\left({\frac {r^{2}-x^{2}}{r}}\right)\right)_{0}^{r}\\L&=2r^{2}\left(\arcsin \left({\frac {r}{r}}\right)+\left({\frac {r}{r}}\right)\left({\frac {r^{2}-r^{2}}{r}}\right)\right)-\left(\arcsin \left({\frac {0}{r}}\right)+\left({\frac {0}{r}}\right)\left({\frac {r^{2}-0^{2}}{r}}\right)\right)\\L&=2r^{2}(\arcsin(1)+0-(\arcsin(0)+0))\\L&=2r^{2}\left({\frac {\pi }{2}}\right)\\L&=\pi r^{2}\end{aligned}}$

• Buktikan luas elips $L=\pi ab$ dengan cara integral!

Dengan posisi $y={\frac {b{\sqrt {a^{2}-x^{2}}}}{a}}$ serta (-a, 0) dan (a, 0),

${\begin{aligned}L&=4\int _{0}^{r}{\frac {b{\sqrt {a^{2}-x^{2}}}}{a}}\,dx\\L&={\frac {4b}{a}}\int _{0}^{a}{\sqrt {a^{2}-x^{2}}}\,dx\end{aligned}}$

Dengan anggapan bahwa lingkaran mempunyai memotong titik (-a, 0) dan (a, 0) serta pusatnya setitik dengan pusat elips,

${\begin{aligned}{\frac {L_{\text{elips}}}{L_{\text{ling}}}}&={\frac {{\frac {4b}{a}}\int _{0}^{a}{\sqrt {a^{2}-x^{2}}}\,dx}{4\int _{0}^{a}{\sqrt {a^{2}-x^{2}}}\,dx}}\\{\frac {L_{\text{elips}}}{L_{\text{ling}}}}&={\frac {b}{a}}\\L_{\text{elips}}&={\frac {b}{a}}L_{\text{ling}}\\L_{\text{elips}}&={\frac {b}{a}}\pi a^{2}\\L_{\text{elips}}&=\pi ab\end{aligned}}$

Lihat pula

• Tabel integral
• Turunan
• Integral geometri

Pranala luar

• (Indonesia) Operator Integrasi Berulang