Grafik dari fungsi poligamma
ψ
{\displaystyle \psi }
,
ψ
(
1
)
{\displaystyle \psi ^{(1)}}
,
ψ
(
2
)
{\displaystyle \psi ^{(2)}}
, dan
ψ
(
3
)
{\displaystyle \psi ^{(3)}}
dari argumen real
Dalam matematika, fungsi poligamma urutan
m
{\displaystyle m}
adalah fungsi meromorfik pada bilangan kompleks
C
{\displaystyle \mathbb {C} }
didefinisikan sebagai turunan ke
(
m
+
1
)
{\displaystyle (m+1)}
pada logaritma dari fungsi gamma ː
ψ
(
m
)
(
z
)
:=
d
m
d
z
m
ψ
(
z
)
=
d
m
+
1
d
z
m
+
1
ln
Γ
(
z
)
{\displaystyle \psi ^{(m)}(z):={\frac {d^{m}}{dz^{m}}}\psi (z)={\frac {d^{m+1}}{dz^{m+1}}}\ln \Gamma (z)}
,
Dengan demikian
ψ
(
0
)
(
z
)
=
ψ
(
z
)
=
Γ
′
(
z
)
Γ
(
z
)
{\displaystyle \psi ^{(0)}(z)=\psi (z)={\frac {\Gamma '(z)}{\Gamma (z)}}}
berlaku dimana
ψ
(
z
)
{\displaystyle \psi (z)}
adalah fungsi digamma dan
Γ
(
z
)
{\displaystyle \Gamma (z)}
adalah fungsi gamma. Mereka holomorfik pada
C
∖
−
N
0
{\displaystyle \mathbb {C} \backslash -\mathbb {N} _{0}}
. Di semua bilangan bulat bukan positif, fungsi poligamma ini memiliki sebuah kutub urutan
m
+
1
{\displaystyle m+1}
. Fungsi
ψ
(
1
)
(
z
)
{\displaystyle \psi ^{(1)}(z)}
terkadang disebut fungsi trigamma .
Logaritma dari fungsi gamma dan beberapa fungsi poligamma pertama dalam bidang kompleks
ln
Γ
(
z
)
{\displaystyle \ln \Gamma (z)}
ψ
(
0
)
(
z
)
{\displaystyle \psi ^{(0)}(z)}
ψ
(
1
)
(
z
)
{\displaystyle \psi ^{(1)}(z)}
ψ
(
2
)
(
z
)
{\displaystyle \psi ^{(2)}(z)}
ψ
(
3
)
(
z
)
{\displaystyle \psi ^{(3)}(z)}
ψ
(
4
)
(
z
)
{\displaystyle \psi ^{(4)}(z)}
Representasi integral
Ketika
m
>
0
{\displaystyle m>0}
dan
Re
(
z
)
>
0
{\displaystyle \operatorname {Re} (z)>0}
, fungsi poligamma sama dengan
ψ
(
m
)
(
z
)
=
(
−
1
)
m
+
1
∫
0
∞
t
m
e
−
z
t
1
−
e
−
t
d
t
=
−
∫
0
1
t
z
−
1
1
−
t
(
ln
t
)
m
d
t
.
{\displaystyle {\begin{aligned}\psi ^{(m)}(z)&=(-1)^{m+1}\int _{0}^{\infty }{\frac {t^{m}e^{-zt}}{1-e^{-t}}}\,dt\\&=-\int _{0}^{1}{\frac {t^{z-1}}{1-t}}(\ln t)^{m}\,dt.\end{aligned}}}
Ini mengekspresikan fungsi poligamma sebagia transformasi Laplace dari
(
−
1
)
m
+
1
t
m
(
1
−
e
−
t
)
{\displaystyle {\frac {(-1)^{m+1}t^{m}}{(1-e^{-t})}}}
. Itu diikuti dari teorema Bernstein pada fungsi monoton bahwa, untuk
m
>
0
{\displaystyle m>0}
dan real
x
{\displaystyle x}
dan tak negatif,
(
−
1
)
m
+
1
ψ
(
m
)
(
x
)
{\displaystyle (-1)^{m+1}\psi ^{(m)}(x)}
adalah fungsi sepenuhnya monoton.
Pengaturan
m
=
0
{\displaystyle m=0}
pada rumus di atas tidak memberikan sebuah representasi integral dari fungsi digamma. Fungsi digamma memiliki sebuah representasi integral, karena Gauss, yang mirip dengan kasus
m
=
0
{\displaystyle m=0}
di atas tapi yang memiliki sebuah istilah tambahan
e
t
t
{\displaystyle {\frac {e^{t}}{t}}}
Hubungan perulangan
Itu memenuhi hubungan perulangan
ψ
(
m
)
(
z
+
1
)
=
ψ
(
m
)
(
z
)
+
(
−
1
)
m
m
!
z
m
+
1
{\displaystyle \psi ^{(m)}(z+1)=\psi ^{(m)}(z)+{\frac {(-1)^{m}\,m!}{z^{m+1}}}}
yang – ditinjau untuk argumen bilangan bulat positif – mengarah ke sebuah presentasi dari jumlah kebalikan dari pangkat dari bilangan asliː
ψ
(
m
)
(
n
)
(
−
1
)
m
+
1
m
!
=
ζ
(
1
+
m
)
−
∑
k
=
1
n
−
1
1
k
m
+
1
=
∑
k
=
n
∞
1
k
m
+
1
m
≥
1
{\displaystyle {\frac {\psi ^{(m)}(n)}{(-1)^{m+1}\,m!}}=\zeta (1+m)-\sum _{k=1}^{n-1}{\frac {1}{k^{m+1}}}=\sum _{k=n}^{\infty }{\frac {1}{k^{m+1}}}\qquad m\geq 1}
dan
ψ
(
0
)
(
n
)
=
−
γ
+
∑
k
=
1
n
−
1
1
k
{\displaystyle \psi ^{(0)}(n)=-\gamma \ +\sum _{k=1}^{n-1}{\frac {1}{k}}}
untuk semua
n
∈
N
{\displaystyle n\in \mathbb {N} }
. Seperti fungsi log-gamma, fungsi poligamma bisa digeneralisasikan dari domain
N
{\displaystyle \mathbb {N} }
(lihat bilangan asli ) tunggal ke bilangan real positif hanya karena relasi pengulanga mereka dan salah satunya diberikan fungsi-nilai, katakan
ψ
(
m
)
(
1
)
{\displaystyle \psi ^{(m)}(1)}
, kecuali dalam kasus
m
=
0
{\displaystyle m=0}
dimana kondisi tambahan dari monotonisitas yang ketat pada
R
+
{\displaystyle \mathbb {R} ^{+}}
masih dibutuhkan. Ini adalah sebuah akibat trivial dari teorema Bohr–Mollerup untuk fungsi gamma dimana secara ketat konveksitas logaritmik pada
R
+
{\displaystyle \mathbb {R} ^{+}}
dimnita tambahannya. Kasus
m
=
0
{\displaystyle m=0}
harus diperlakukan berbeda karena
ψ
(
0
)
{\displaystyle \psi ^{(0)}}
tidak dapat dinormalisasi pada takhingga (jumlah dari timbal balik tidak konvergen).
Hubungan refleksi
(
−
1
)
m
ψ
(
m
)
(
1
−
z
)
−
ψ
(
m
)
(
z
)
=
π
d
m
d
z
m
cot
(
π
z
)
=
π
m
+
1
P
m
(
cos
(
π
z
)
)
sin
m
+
1
(
π
z
)
{\displaystyle (-1)^{m}\psi ^{(m)}(1-z)-\psi ^{(m)}(z)=\pi {\frac {d^{m}}{dz^{m}}}\cot {(\pi z)}=\pi ^{m+1}{\frac {P_{m}(\cos(\pi z))}{\sin ^{m+1}(\pi z)}}}
dimana
P
m
{\displaystyle P_{m}}
adalah sebuah derajat polinomial ganjil atau genap
|
m
−
1
|
{\displaystyle \left|m-1\right|}
dengan koefisien bilangan bulat dan mengarah koefisien
(
−
1
)
m
⌈
2
m
−
1
⌉
{\displaystyle (-1)^{m}\lceil 2^{m-1}\rceil }
. Mereka mematuhi persamaan rekursi
P
0
(
x
)
=
x
P
m
+
1
(
x
)
=
−
(
(
m
+
1
)
x
P
m
(
x
)
+
(
1
−
x
2
)
P
m
′
(
x
)
)
.
{\displaystyle {\begin{aligned}P_{0}(x)&=x\\P_{m+1}(x)&=-\left((m+1)xP_{m}(x)+\left(1-x^{2}\right)P'_{m}(x)\right).\end{aligned}}}
Teorema perkalian
Teorema perkalian memberikan
k
m
+
1
ψ
(
m
)
(
k
z
)
=
∑
n
=
0
k
−
1
ψ
(
m
)
(
z
+
n
k
)
m
≥
1
{\displaystyle k^{m+1}\psi ^{(m)}(kz)=\sum _{n=0}^{k-1}\psi ^{(m)}\left(z+{\frac {n}{k}}\right)\qquad m\geq 1}
dan
k
ψ
(
0
)
(
k
z
)
=
k
log
(
k
)
+
∑
n
=
0
k
−
1
ψ
(
0
)
(
z
+
n
k
)
{\displaystyle k\psi ^{(0)}(kz)=k\log(k)+\sum _{n=0}^{k-1}\psi ^{(0)}\left(z+{\frac {n}{k}}\right)}
untuk fungsi digamma .
Representasi deret
Fungsi poligamma memiliki representasi deret
ψ
(
m
)
(
z
)
=
(
−
1
)
m
+
1
m
!
∑
k
=
0
∞
1
(
z
+
k
)
m
+
1
{\displaystyle \psi ^{(m)}(z)=(-1)^{m+1}\,m!\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{(z+k)^{m+1}}}}
yang berlaku untuk
m
>
0
{\displaystyle m>0}
dan setiap kompleks
z
{\displaystyle z}
tidak sama dengan sebuah bilangan bulat negatf. Representasi ini bisa ditulis lebih kompak dalam istilah dari fungsi zeta Hurwitz sebagai
ψ
(
m
)
(
z
)
=
(
−
1
)
m
+
1
m
!
ζ
(
m
+
1
,
z
)
{\displaystyle \psi ^{(m)}(z)=(-1)^{m+1}\,m!\,\zeta (m+1,z)}
.
Sebagai kemungkinan lain, zeta Hurwitx bisa dipahami untuk menggeneralisasikan poligamma ke sebarang, urutan bilangan bulat.
Satu deret lagi dapat diperbolehkan untuk fungsi poligamma. Seperti yang diberikan oleh Schlömilch ,
1
Γ
(
z
)
=
z
e
γ
z
∏
n
=
1
∞
(
1
+
z
n
)
e
−
z
n
{\displaystyle {\frac {1}{\Gamma (z)}}=ze^{\gamma z}\prod _{n=1}^{\infty }\left(1+{\frac {z}{n}}\right)e^{-{\frac {z}{n}}}}
.
Ini adalah hasil dari teorema faktorisasi Weierstrass . Dengan demikian, fungsi gamma sekarang dapat didefinisikan sebagaiː
Γ
(
z
)
=
e
−
γ
z
z
∏
n
=
1
∞
(
1
+
z
n
)
−
1
e
z
n
{\displaystyle \Gamma (z)={\frac {e^{-\gamma z}}{z}}\prod _{n=1}^{\infty }\left(1+{\frac {z}{n}}\right)^{-1}e^{\frac {z}{n}}}
.
Sekarang, logaritma alami dari fungsi gamma dengan muda direpresentasikanː
ln
Γ
(
z
)
=
−
γ
z
−
ln
(
z
)
+
∑
n
=
1
∞
(
z
n
−
ln
(
1
+
z
n
)
)
{\displaystyle \ln \Gamma (z)=-\gamma z-\ln(z)+\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {z}{n}}-\ln \left(1+{\frac {z}{n}}\right)\right)}
.
Akhrinya, kita sampai di sebuah representasi penjumlahan untuk fungsi poligammaː
ψ
(
n
)
(
z
)
=
d
n
+
1
d
z
n
+
1
ln
Γ
(
z
)
=
−
γ
δ
n
0
−
(
−
1
)
n
n
!
z
n
+
1
+
∑
k
=
1
∞
(
1
k
δ
n
0
−
(
−
1
)
n
n
!
(
k
+
z
)
n
+
1
)
{\displaystyle \psi ^{(n)}(z)={\frac {d^{n+1}}{dz^{n+1}}}\ln \Gamma (z)=-\gamma \delta _{n0}-{\frac {(-1)^{n}n!}{z^{n+1}}}+\sum _{k=1}^{\infty }\left({\frac {1}{k}}\delta _{n0}-{\frac {(-1)^{n}n!}{(k+z)^{n+1}}}\right)}
Dimana
δ
n
0
{\displaystyle \delta _{n0}}
adalah delta Kronecker.
Juga transenden Lerc h
Φ
(
−
1
,
m
+
1
,
z
)
=
∑
k
=
0
∞
(
−
1
)
k
(
z
+
k
)
m
+
1
{\displaystyle \Phi (-1,m+1,z)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{(z+k)^{m+1}}}}
bisa dilambangkan dalam istilah fungsi poligamma
Deret Taylor
Deret Taylor pada
z
=
1
{\displaystyle z=1}
adalah
ψ
(
m
)
(
z
+
1
)
=
∑
k
=
0
∞
(
−
1
)
m
+
k
+
1
(
m
+
k
)
!
k
!
ζ
(
m
+
k
+
1
)
z
k
m
≥
1
{\displaystyle \psi ^{(m)}(z+1)=\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{m+k+1}{\frac {(m+k)!}{k!}}\zeta (m+k+1)z^{k}\qquad m\geq 1}
dan
ψ
(
0
)
(
z
+
1
)
=
−
γ
+
∑
k
=
1
∞
(
−
1
)
k
+
1
ζ
(
k
+
1
)
z
k
{\displaystyle \psi ^{(0)}(z+1)=-\gamma +\sum _{k=1}^{\infty }(-1)^{k+1}\zeta (k+1)z^{k}}
yang konvergen untuk
|
z
|
<
1
{\displaystyle \left|z\right|<1}
. Disini,
ζ
{\displaystyle \zeta }
adalah fungsi zeta Riemann . Deret ini mudah diturunkan dari korespondensi deret Taylor untuk fungsi zeta Hurwitx. Deret ini dapat digunakan untuk menurunkan sebuah bilangan deret zeta rasional .
Ekspansi asimtotik
Deret tak konvergen ini bisa digunakan untuk mendapatkan sebuah nilai aproksimasi secepatnya dengan sebuah ketepatan numerik tertentu untuk argumen-argumen yang besarː
ψ
(
m
)
(
z
)
∼
(
−
1
)
m
+
1
∑
k
=
0
∞
(
k
+
m
−
1
)
!
k
!
B
k
z
k
+
m
m
≥
1
{\displaystyle \psi ^{(m)}(z)\sim (-1)^{m+1}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(k+m-1)!}{k!}}{\frac {B_{k}}{z^{k+m}}}\qquad m\geq 1}
dan
ψ
(
0
)
(
z
)
∼
ln
(
z
)
−
∑
k
=
1
∞
B
k
k
z
k
{\displaystyle \psi ^{(0)}(z)\sim \ln(z)-\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {B_{k}}{kz^{k}}}}
dimana kita memilih
B
1
=
1
2
{\displaystyle B_{1}={\frac {1}{2}}}
, yaitu bilangan Bernoulli dari jenis kedua.
Pertidaksamaan
Kotangen hiperbolik memenuhi pertidaksamaan
t
2
coth
t
2
≥
1
{\displaystyle {\frac {t}{2}}\operatorname {coth} {\frac {t}{2}}\geq 1}
,
dan ini menyiratkan bahwa fungsi
t
m
1
−
e
−
t
−
(
t
m
−
1
+
t
m
2
)
{\displaystyle {\frac {t^{m}}{1-e^{-t}}}-\left(t^{m-1}+{\frac {t^{m}}{2}}\right)}
adalah tak negatif untuk semua
m
≥
1
{\displaystyle m\geq 1}
dan
t
≥
0
{\displaystyle t\geq 0}
. Ini mengikuti bahwa transformasi Laplace dari fungsi ini benar-benar monoton. Dengan representasi integral di atas, kita menyimpulkan bahwa
(
−
1
)
m
+
1
ψ
(
m
)
(
x
)
−
(
(
m
−
1
)
!
x
m
+
m
!
2
x
m
+
1
)
{\displaystyle (-1)^{m+1}\psi ^{(m)}(x)-\left({\frac {(m-1)!}{x^{m}}}+{\frac {m!}{2x^{m+1}}}\right)}
benar-benar monoton. Pertidaksamaan konveksitas
e
t
≥
1
+
t
{\displaystyle e^{t}\geq 1+t}
menyiratkan bahwa
(
t
m
−
1
+
t
m
)
−
t
m
1
−
e
−
t
{\displaystyle \left(t^{m-1}+t^{m}\right)-{\frac {t^{m}}{1-e^{-t}}}}
adalah tak negatif untuk semua
m
≥
1
{\displaystyle m\geq 1}
dan
t
≥
0
{\displaystyle t\geq 0}
, sehingga argumen transformasi Laplace yang serupa menghasilkan monotonisitas
(
(
m
−
1
)
!
x
m
+
m
!
x
m
+
1
)
−
(
−
1
)
m
+
1
ψ
(
m
)
(
x
)
{\displaystyle \left({\frac {(m-1)!}{x^{m}}}+{\frac {m!}{x^{m+1}}}\right)-(-1)^{m+1}\psi ^{(m)}(x)}
yang lengkap.
Dengan demikian, untuk semua
m
≥
1
{\displaystyle m\geq 1}
, dan
x
>
0
{\displaystyle x>0}
,
(
m
−
1
)
!
x
m
+
m
!
2
x
m
+
1
≤
(
−
1
)
m
+
1
ψ
(
m
)
(
x
)
≤
(
m
−
1
)
!
x
m
+
m
!
x
m
+
1
{\displaystyle {\frac {(m-1)!}{x^{m}}}+{\frac {m!}{2x^{m+1}}}\leq (-1)^{m+1}\psi ^{(m)}(x)\leq {\frac {(m-1)!}{x^{m}}}+{\frac {m!}{x^{m+1}}}}
.
Lihat pula
Referensi