Fungsi phi Euler
Fungsi Phi Euler φ(m) atau ⍉(m) menyatakan kardinal himpunan bilangan asli dimana fpb(m,n) = 1.
Dikemukakan oleh Leonhard Euler (L. 15 April 1707, Swiss. w. 18 September 1783, Rusia). Pada kisaran tahun 1750-an. Lalu, Notasi φ(m) atau ⍉(m) ditulis pertama kali oleh Gauss pada tahun
Contoh
Bilangan bulat positif yang < 9 adalah 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8. Diantara bilangan-bilangan tersebut yang saling prima terhadap 9 adalah 1, 2, 4, 5, 7, 8, maka banyaknya bilangan yang saling prima terhadap 9 adalah sebanyak 6 sehingga φ(9) = 6.
Identitas
φ(1) = 0
φ(2) = 1
φ(P) = P - 1 untuk P prima
φ(mn) = φ(m)φ(n) jika fpb(m,n)=1
φ(Pⁿ) = Pⁿ⁻¹ (P-1)
φ(P₁×P₂×...×Pₙ) = (P₁-1)(P₂-1)(P₃-1)...(Pₙ-1)
- φ(m,n) = Φ(m).φ(n) .
- Note the special cases
- Compare this to the formula
- (See least common multiple.)
- φ(n) is even for n ≥ 3. Moreover, if n has r distinct odd prime factors, 2r | φ(n)
- For any a > 1 and n > 6 such that 4 ∤ n there exists an l ≥ 2n such that l | φ(an − 1).
- where rad(n) is the radical of n.
- (where γ is the Euler–Mascheroni constant).
- where m > 1 is a positive integer and ω(m) is the number of distinct prime factors of m.[6]
Beberapa bilangan
100 nilai pertama (barisan A000010 pada OEIS) ditampilkan pada tabel dan grafik di bawah ini:
φ(n) untuk 1 ≤ n ≤ 100 + 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 1 1 2 2 4 2 6 4 6 4 10 10 4 12 6 8 8 16 6 18 8 20 12 10 22 8 20 12 18 12 28 8 30 30 16 20 16 24 12 36 18 24 16 40 40 12 42 20 24 22 46 16 42 20 50 32 24 52 18 40 24 36 28 58 16 60 60 30 36 32 48 20 66 32 44 24 70 70 24 72 36 40 36 60 24 78 32 80 54 40 82 24 64 42 56 40 88 24 90 72 44 60 46 72 32 96 42 60 40
Dalam grafik di kanan atas baris y = n − 1 adalah batas atas valid untuk semua n selain satu, dan dicapai jika dan hanya jika n adalah bilangan prima. Batas bawah sederhana adalah , yang agak longgar: sebenarnya, lower limit dari grafik sebanding dengan nlog log n.[7]
Fungsi pembangkit
Deret Dirichlet untuk φ(n) dapat ditulis dalam istilah fungsi Riemann zeta sebagai:[8]
Fungsi pembangkit deret Lambert adalah[9]
adalah |q| < 1.
Keduanya dibuktikan dengan manipulasi deret dasar dan rumus untuk φ(n).
Rasio bilangan berurutan
Pada tahun 1950 Somayajulu terbukti[10][11]
Pada tahun 1954 Schinzel dan Sierpiński memperkuat ini, membuktikan[10][11] that the set
adalah padat dalam bilangan riil positif. Mereka pun membuktikannya[10] bahwa himpunan
padat dalam interval (0,1).
Lihat pula
- Fungsi Carmichael
- Konjektur Duffin–Schaeffer
- Generalisasi teorema kecil Fermat
- Bilangan komposit tinggi
- Grup perkalian bilangan bulat modulo n
- Jumlah Ramanujan
- Fungsi penjumlahan total
Catatan
- ^ "Euler's totient function". Khan Academy. Diakses tanggal 2016-02-26.
- ^ Dineva (in external refs), prop. 1
- ^ a b Walfisz, Arnold (1963). Weylsche Exponentialsummen in der neueren Zahlentheorie. Mathematische Forschungsberichte (dalam bahasa German). 16. Berlin: VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften. Zbl 0146.06003.
- ^ Lomadse, G., "The scientific work of Arnold Walfisz" (PDF), Acta Arithmetica, 10 (3): 227–237
- ^ a b Sitaramachandrarao, R. (1985). "On an error term of Landau II". Rocky Mountain J. Math. 15: 579–588.
- ^ Bordellès in the external links
- ^ Kesalahan pengutipan: Tag
<ref>
tidak sah; tidak ditemukan teks untuk ref bernamahw328
- ^ Hardy & Wright 1979, thm. 288
- ^ Hardy & Wright 1979, thm. 309
- ^ a b c Ribenboim, p.38
- ^ a b Sándor, Mitrinović & Crstici (2006) p.16