Magma (aljabar)

Dalam aljabar abstrak, magma, biner^[1] atau grupoid adalah jenis dasar dari struktur aljabar. Magma terdiri dari himpunan dengan operasi biner tunggal tertutup menurut definisi.

Sejarah dan istilah

Istilah groupoid ditemukan pada tahun 1927 oleh Heinrich Brandt yang menggambarkan Brandt groupoid (dari bahasa Jerman Gruppoid). Istilah ini kemudian digunakan oleh B. A. Hausmann dan Øystein Ore (1937).^[2] Dalam beberapa ulasan makalah Zentralblatt tidak setuju dengan istilah yang berlebihan ini. Groupoid Brandt adalah grupoid dalam arti yang digunakan dalam teori kategori dalam arti yang digunakan oleh Hausmann dan Ore. Namun, buku dalam teori semigrup, termasuk Clifford dan Preston (1961) dan Howie (1995) menggunakan grupoid. Hollings (2014) menulis bahwa istilah groupoid adalah "mungkin paling sering digunakan dalam matematika modern" dalam arti yang digunakan dalam teori kategori.^[3]

Menurut Bergman dan Hausknecht (1996):

"Tidak ada kata yang diterima secara umum untuk himpunan dengan operasi biner asosiatif yang tidak harus. Kata groupoid digunakan aljabar universal, tetapi para pekerja dalam teori kategori dan bidang terkait sangat menolak penggunaan ini karena mereka menggunakan kata yang sama untuk mengartikan 'kategori di mana semua morfisme invers'. Istilah magma digunakan oleh Serre [aljabar Lie dan grup Lie, 1965]."^[4]

Hal ini juga muncul dalam buku oleh Bourbaki Éléments de mathématique, Algèbre, chapitres 1 à 3, 1970.^[5]

Definisi

Magma adalah himpunan M yang cocok dengan operasi, • yang dua elemen a, b ∈ M ke elemen lain, a • b. Simbol, • adalah placeholder umum untuk operasi yang ditentukan dengan benar. Untuk memenuhi syarat sebagai magma, himpunan dan operasi (M, •) harus memenuhi persyaratan berikut (dikenal sebagai magma atau aksioma penutupan ):

Untuk a , b di M , hasil operasi a • b juga di M .

Dan dalam notasi matematika:

a,b\in M\implies a\cdot b\in M

.

Jika • sebaliknya operasi sebagian, maka (M, •) disebut magma parsial^[6] atau lebih sering grupoid parsial.^[6]^[7]

Morfisme magma

Sebuah morfisme magma adalah sebuah fungsi, f : M → N, memetakan magma M ke magma N , yang dimana operasi biner:

f (x •_M y) = f(x) •_N f(y)

dimana •_M dan •_N menunjukkan operasi biner pada M dan N .

Notasi dan kombinatorik

Operasi magma dapat diterapkan berulang kali, dan secara umum, kasus non-asosiatif, urutannya penting, yang dinotasikan dengan tanda kurung. Selain itu, operasi, • sering dihilangkan dan dinotasikan dengan penjajaran:

(a • (b • c)) • d = (a (bc)) d

Singkatan sering digunakan untuk mengurangi jumlah tanda kurung, di mana operasi paling dalam dan pasangan tanda kurung dihilangkan, diganti hanya dengan penjajaran, $xy • z = (x • y) • z$ . For example, the di atas disingkat menjadi ekspresi berikut, masih mengandung tanda kurung:

(a • bc) d

.

Cara untuk menghindari penggunaan tanda kurung sepenuhnya adalah notasi prefiks, di mana ekspresi yang sama akan ditulis $•• a • bcd$ . Cara lain, yang biasa bagi programmer, adalah notasi postfiks (Notasi Polandia terbalik), di mana ekspresi yang sama akan ditulis $abc •• d •$ , di mana urutan eksekusi hanya dari kiri ke kanan (tanpa Currying).

Himpunan dari semua kemungkinan string yang terdiri dari simbol yang menunjukkan elemen magma, dan himpunan tanda kurung seimbang disebut bahasa Dyck. Jumlah total cara berbeda untuk menulis aplikasi $n$ dari operator magma diberikan oleh bilangan Catalan, $C n$ . Jadi, misalnya, $C 2 = 2$ , yang mana hanya pernyataan $(ab) c$ dan $a (bc)$ adalah dua cara untuk memasangkan tiga elemen magma dengan dua operasi. Dari, $C 3 = 5$ : $((ab) c) d$ , $(a (bc)) d$ , $(ab)(cd)$ , $a ((bc) d)$ , dan $a (b (cd))$ .

Maka $n n 2$ magma dengan elemen $n$ adalah 1, 1, 16, 19683, 4294967296, ... (barisan A002489 pada OEIS) magma dengan elemen 0, 1, 2, 3, 4, .... Jumlah magma non - isomorfik yang sesuai adalah 1, 1, 10, 3330, 178981952, ... (barisan A001329 pada OEIS) dan jumlah magma non-isomorfik dan non - antiisomorfik secara bersamaan adalah 1, 1, 7, 1734, 89521056, ... (barisan A001424 pada OEIS).^[8]

Magma bebas

Magma bebas, M_X, pada himpunan, X , adalah magma "paling umum" yang dihasilkan oleh X (yaitu, tidak ada hubungan atau aksioma yang dikenakan pada generator; lihat objek bebas). Hal ini dijelaskan sebagai kumpulan kata non-asosiatif pada X dengan tanda kurung dipertahankan.^[9]

Hal ini juga dapat dilihat, dalam istilah yang dikenal di ilmu komputer, sebagai magma pohon biner dengan daun yang diberi label dengan elemen X . Pengoperasiannya adalah menggabungkan pohon di akarnya. Oleh karena itu, ia memiliki peran mendasar dalam sintaks.

Magma bebas memiliki sifat universal sedemikian rupa, jika f : X → N adalah fungsi dari X ke magma, N , lalu ada ekstensi dari f ke morfisme magma, f ′

f ′ : M_X → N.

Jenis magma

Magma tidak sering dipelajari; beberapa jenis magma, bergantung pada aksioma apa yang harus dipenuhi oleh operasi tersebut. Jenis magma yang umum dipelajari meliputi:

Grup semu: Magma di mana pembagian selalu memungkinkan
Loop: Grup semu dengan elemen identitas
Semigrup: Magma yang operasinya asosiatif
Semigrup invers: Semigrup dengan invers.
Semikisi: Semigrup operasinya komutatif dan idempoten
Monoid: Semigroup dengan elemen identitas
Grup: Sebuah monoid dengan elemen invers, atau ekuivalennya, loop asosiatif, atau kuasigroup asosiatif yang tidak kosong
Grup Abelian: Grup yang operasinya bersifat komutatif

Perhatikan bahwa setiap pembagian dan pembatalan menyiratkan sifat pembatalan.

Klasifikasi berdasarkan sifat

Struktur grup
	Totalitas^α	Asosiatif	Identitas	Invers	Komutativitas
Semigrupoid	Tidak dibutuhkan	Dibutuhkan	Tidak dibutuhkan	Tidak dibutuhkan	Tidak dibutuhkan
Kategori Kecil	Tidak dibutuhkan	Dibutuhkan	Dibutuhkan	Tidak dibutuhkan	Tidak dibutuhkan
Grupoid	Tidak dibutuhkan	Dibutuhkan	Dibutuhkan	Dibutuhkan	Tidak dibutuhkan
Magma	Dibutuhkan	Tidak dibutuhkan	Tidak dibutuhkan	Tidak dibutuhkan	Tidak dibutuhkan
Kuasigrup	Dibutuhkan	Tidak dibutuhkan	Tidak dibutuhkan	Dibutuhkan	Tidak dibutuhkan
Magma Unital	Dibutuhkan	Tidak dibutuhkan	Dibutuhkan	Tidak dibutuhkan	Tidak dibutuhkan
Loop	Dibutuhkan	Tidak dibutuhkan	Dibutuhkan	Dibutuhkan	Tidak dibutuhkan
Semigrup	Dibutuhkan	Dibutuhkan	Tidak dibutuhkan	Tidak dibutuhkan	Tidak dibutuhkan
Semigrup invers	Dibutuhkan	Dibutuhkan	Tidak dibutuhkan	Dibutuhkan	Tidak dibutuhkan
Monoid	Dibutuhkan	Dibutuhkan	Dibutuhkan	Tidak dibutuhkan	Tidak dibutuhkan
Monoid komutatif	Dibutuhkan	Dibutuhkan	Dibutuhkan	Tidak dibutuhkan	Dibutuhkan
Grup	Dibutuhkan	Dibutuhkan	Dibutuhkan	Dibutuhkan	Tidak dibutuhkan
Grup Abelian	Dibutuhkan	Dibutuhkan	Dibutuhkan	Dibutuhkan	Dibutuhkan
^α Penutupan, yang digunakan dalam banyak sumber, merupakan aksioma yang setara dengan totalitas, meskipun didefinisikan secara berbeda.

Magma $(S, •)$ , dengan $x, y, u, z$ ∈ $S$ , disebut

Medial: Jika identitas, $xy • uz \equiv xu • yz$
Semimedial kiri: Jika identitas, $xx • yz \equiv xy • xz$
Semimedial kanan: Jika identitas, $yz • xx \equiv yx • zx$
Semimedial: Jika keduanya kiri dan kanan, semimedial
Distributif kiri: Jika memenuhi identitas, $x • yz \equiv xy • xz$
Distributif kanan: Jika memenuhi identitas, $yz • x \equiv yx • zx$
Autodistributif: Jika keduanya distributif kiri dan kanan
Komutatif: Jika memenuhi identitas, $xy \equiv yx$
Idempoten: Jika identitas, $xx \equiv x$
Unipoten: Jika identitas, $xx \equiv yy$
Nolpoten: Jika identitas, $xx • y \equiv xx \equiv y • xx$ ^[10]
Alternatif: Jika identitas $xx • y \equiv x • xy$ dan $x • yy \equiv xy • y$
Daya-asosiatif: Jika submagma yang dihasilkan oleh elemen apa pun bersifat asosiatif
Fleksibel: jika $xy • x \equiv x • yx$
Semigrup, atau asosiatif: Jika identitas, $x • yz \equiv xy • z$
Kiri unar: Jika identitas, $xy \equiv xz$
Ulnaris kanan: Jika identitas, $yx \equiv zx$
Semigroup dengan nol perkalian, atau null semigrup: Jika identitas, $xy \equiv uv$
Unital: Jika memiliki elemen identitas

Kategori magma

Kategori magma, dilambangkan Mag, adalah kategori yang objeknya magma, dan morfisme adalah homomorfisme magma. Kategori Mag memiliki produk langsung, dan ada funktor inklusi: Himpunan → Med ↪ Mag sebagai magma sepele, dengan operasi diberikan oleh proyeksi: $x T y = y$ .

Properti penting adalah bahwa injeksi endomorfisme dapat diperluas ke automorfisme dari magma ekstensi, hanya kolimit dari ( konstanta urutan) endomorfisma.

Karena singleton $({*}, *)$ adalah objek nol dari Mag, dan karena Mag adalah aljabar Mag pada kompleks.^[11]

Generalisasi

Lihat grup n-ari.

Lihat pula

Kategori Magma
Objek magma otomatis
Aljabar universal
Sistem aljabar komputer magma, dinamai menurut objek artikel ini.
Magma non-asosiatif komutatif
Struktur aljabar yang semua aksioma adalah identitas
Aljabar grupoid
Himpunan Hall

Referensi

^ Bergman, Clifford, Universal Algebra: Fundamentals and Selected Topics
^ Hausmann, B. A.; Ore, Øystein (October 1937), "Theory of quasi-groups", American Journal of Mathematics, 59 (4): 983–1004, doi:10.2307/2371362, JSTOR 2371362
^ Hollings, Christopher (2014), Mathematics across the Iron Curtain: A History of the Algebraic Theory of Semigroups, American Mathematical Society, hlm. 142–3, ISBN 978-1-4704-1493-1
^ Bergman, George M.; Hausknecht, Adam O. (1996), Cogroups and Co-rings in Categories of Associative Rings, American Mathematical Society, hlm. 61, ISBN 978-0-8218-0495-7
^ Bourbaki, N. (1998) [1970], "Algebraic Structures: §1.1 Laws of Composition: Definition 1", Algebra I: Chapters 1–3, Springer, hlm. 1, ISBN 978-3-540-64243-5
^ ^a ^b Müller-Hoissen, Folkert; Pallo, Jean Marcel; Stasheff, Jim, ed. (2012), Associahedra, Tamari Lattices and Related Structures: Tamari Memorial Festschrift, Springer, hlm. 11, ISBN 978-3-0348-0405-9
^ Evseev, A. E. (1988), "A survey of partial groupoids", dalam Silver, Ben, Nineteen Papers on Algebraic Semigroups, American Mathematical Society, ISBN 0-8218-3115-1
^ Weisstein, Eric W. "Groupoid". MathWorld.
^ Rowen, Louis Halle (2008), "Definition 21B.1.", Graduate Algebra: Noncommutative View, Graduate Studies in Mathematics, American Mathematical Society, hlm. 321, ISBN 0-8218-8408-5
^ Kepka, T.; Němec, P. (1996), "Simple balanced groupoids" (PDF), Acta Universitatis Palackianae Olomucensis. Facultas Rerum Naturalium. Mathematica, 35 (1): 53–60
^ Borceux, Francis; Bourn, Dominique (2004). Mal'cev, protomodular, homological and semi-abelian categories. Springer. hlm. 7,19. ISBN 1-4020-1961-0.

M. Hazewinkel (2001) [1994], "Magma", dalam Hazewinkel, Michiel, Encyclopedia of Mathematics, Springer Science+Business Media B.V. / Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1-55608-010-4
M. Hazewinkel (2001) [1994], "Groupoid", dalam Hazewinkel, Michiel, Encyclopedia of Mathematics, Springer Science+Business Media B.V. / Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1-55608-010-4
M. Hazewinkel (2001) [1994], "Free magma", dalam Hazewinkel, Michiel, Encyclopedia of Mathematics, Springer Science+Business Media B.V. / Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1-55608-010-4
Weisstein, Eric W. "Groupoid". MathWorld.

Bacaan lebih lanjut

Bruck, Richard Hubert (1971), A survey of binary systems (edisi ke-3rd), Springer, ISBN 978-0-387-03497-3

[1] Bergman, Clifford, Universal Algebra: Fundamentals and Selected Topics

[2] Hausmann, B. A.; Ore, Øystein (October 1937), "Theory of quasi-groups", American Journal of Mathematics, 59 (4): 983–1004, doi:10.2307/2371362, JSTOR 2371362

[Hollings2014-3] Hollings, Christopher (2014), Mathematics across the Iron Curtain: A History of the Algebraic Theory of Semigroups, American Mathematical Society, hlm. 142–3, ISBN 978-1-4704-1493-1

[BergmanHausknecht1996-4] Bergman, George M.; Hausknecht, Adam O. (1996), Cogroups and Co-rings in Categories of Associative Rings, American Mathematical Society, hlm. 61, ISBN 978-0-8218-0495-7

[Bourbaki1998-5] Bourbaki, N. (1998) [1970], "Algebraic Structures: §1.1 Laws of Composition: Definition 1", Algebra I: Chapters 1–3, Springer, hlm. 1, ISBN 978-3-540-64243-5

[Müller-HoissenPallo2012-6] Müller-Hoissen, Folkert; Pallo, Jean Marcel; Stasheff, Jim, ed. (2012), Associahedra, Tamari Lattices and Related Structures: Tamari Memorial Festschrift, Springer, hlm. 11, ISBN 978-3-0348-0405-9

[Silver-7] Evseev, A. E. (1988), "A survey of partial groupoids", dalam Silver, Ben, Nineteen Papers on Algebraic Semigroups, American Mathematical Society, ISBN 0-8218-3115-1

[8] Weisstein, Eric W. "Groupoid". MathWorld.

[9] Rowen, Louis Halle (2008), "Definition 21B.1.", Graduate Algebra: Noncommutative View, Graduate Studies in Mathematics, American Mathematical Society, hlm. 321, ISBN 0-8218-8408-5

[10] Kepka, T.; Němec, P. (1996), "Simple balanced groupoids" (PDF), Acta Universitatis Palackianae Olomucensis. Facultas Rerum Naturalium. Mathematica, 35 (1): 53–60

[11] Borceux, Francis; Bourn, Dominique (2004). Mal'cev, protomodular, homological and semi-abelian categories. Springer. hlm. 7,19. ISBN 1-4020-1961-0.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

α

[10]

[11]