Sifat pembatalan

Dari Wikipedia bahasa Indonesia, ensiklopedia bebas

Dalam matematika, pengertian dari pembatal adalah perampatan dari gagasan terbalikkan.

Sifat[sunting | sunting sumber]

Sifat-sifat diantaranya adalah:

  • Unsur dalam magma memiliki sifat pembatalan ruas kiri jika untuk semua dan pada , selalu menyiratkan bahwa .
  • Unsur pada magma memiliki sifat pembatalan ruas kanan jika untuk semua dan pada , selalu menyiratkan .
  • Unsur dalam magma memiliki sifat pembatalan kedua ruas jika keduanya adalah pembatalan ruas kiri dan ruas kanan.
  • Magma memiliki sifat pembatalan kiri jika semua di magma adalah sifat membatalkan ruas kiri, dan definisi serupa berlaku untuk sifat membatalkan ruas kanan atau sifat membatalkan kedua ruas.
  • Unsur terbalikkan ruas kiri adalah pembatalan kiri, dan ini sejalan untuk ruas kanan dan kedua ruas.

Contoh mengenai sifat pembatalan, ialah: setiap kuasigrup, dan dengan demikian setiap grup, bersifat membatalkan.

Interpretasi[sunting | sunting sumber]

Untuk mengatakan bahwa unsur dalam magma adalah pembatal-kiri, artinya fungsinya adalah injektif.[1] Bahwa fungsi adalah injeksi menyiratkan bahwa diberikan beberapa persamaan bentuk , di mana satu-satunya yang tidak diketahui adalah , hanya ada satu kemungkinan nilai memenuhi persamaan. Lebih tepatnya, kita dapat mendefinisikan suatu fungsi , kebalikan dari , sehingga untuk semua , . Dengan kata lain, untuk semua dan pada , jika , maka .[2]

Contoh monoid pembatalan dan semigrup[sunting | sunting sumber]

Bilangan bulat positif (sama-sama taknegatif) membentuk sebuah pembatal semigrup terhadap penambahan. Bilangan bulat taknegatif membentuk pembatalan monoid di bawah penambahan.

Faktanya, semigrup atau monoid bebas mana pun mematuhi hukum pembatalan, dan secara umum, suatu semigrup atau monoid yang membenamkan ke dalam grup (seperti yang dengan jelas ditunjukkan dalam contoh di atas) akan mematuhi hukum pembatalan.

Dalam nada yang berbeda, (subgrup dari) semigrup perkalian unsur dari gelanggang yang bukan pembagi nol (yang hanya merupakan himpunan dari semua unsur bukan nol jika cincin yang dimaksud adalah ranah, seperti bilangan bulat) memiliki sifat pembatalan. Perhatikan bahwa ini tetap valid.

Struktur aljabar takmembatalkan[sunting | sunting sumber]

Meskipun hukum pembatalan berlaku untuk penjumlahan, pengurangan, perkalian dan pembagian bilangan real dan bilangan kompleks (dengan pengecualian tunggal perkalian dengan nol dan pembagian nol dengan bilangan lain), ada sejumlah struktur aljabar di mana hukum pembatalan tidak sah.

Perkalian silang dari dua vektor tidak mematuhi hukum pembatalan. Jika , maka ini tidak mengikuti bahwa bahkan jika .

Perkalian matriks juga tidak selalu mematuhi hukum pembatalan. Jika dan , maka salah satunya harus menunjukkan bahwa matriks terbalikkan (yaitu memiliki , dimana berarti determinan) sebelum salah satunya dapat menyimpulkan . Jika , maka mungkin tidak sama dengan , karena matriks persamaan tidak akan memiliki penyelesaian tunggal untuk matriks takterbalikkan.

Perhatikan juga bahwa jika dan dan matriks adalah terbalikkan (yaitu memiliki ), itu belum tentu benar . Pembatalan hanya bekerja untuk persamaan dan (asalkan matriks itu adalah terbalikkan) dan bukan untuk persamaan dan .

Lihat pula[sunting | sunting sumber]

Referensi[sunting | sunting sumber]

  1. ^ Warner, Seth (1965). Modern Algebra Volume I. Englewood Cliffs, NJ: Prentice-Hall, Inc. hlm. 50. 
  2. ^ Warner, Seth (1965). Modern Algebra Volume I. Englewood Cliffs, NJ: Prentice-Hall, Inc. hlm. 48.