Matriks identitas

Dalam aljabar linear, matriks identitas (atau terkadang secara rancu disebut dengan matriks satuan) berukuran n adalah matriks persegi berukuran n × n dengan elemen-elemen pada diagonal utama bernilai 1 dan bernilai 0 di elemen-elemen lainnya. Matriks identitas ditulis sebagai I_n, atau sekadar I jika ukuran n dapat diketahui dari konteks pembahasan. Beberapa buku matematika menggunakan singkatan U atau E yang mengacu kepada "unit matrix" dalam bahasa Inggris (matriks satuan) dan terjemahannya dalam bahasa Jerman, "Einheitsmatrix".

$I_{1}={\begin{bmatrix}1\end{bmatrix}},\ I_{2}={\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}},\ I_{3}={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}},\ \cdots ,\ I_{n}={\begin{bmatrix}1&0&0&\cdots &0\\0&1&0&\cdots &0\\0&0&1&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&0&\cdots &1\end{bmatrix}}$

Jika matriks A berukuran m×n, perkalian matriks A dengan matriks identitas akan memberikan hasil berikut:

$I_{m}A=AI_{n}=A.\,$

Ketika matriks berukuran n x n digunakan untuk mewakili transformasi linear dari ruang vektor dimensi-n ke dirinya sendiri, I_n mewakili fungsi identitas dan tidak tergantung pada basis yang digunakan.

Kolom ke-i dari matriks identitas adalah vektor satuan e_i (vektor dengan elemen ke-i bernilai 1, dan bernilai 0 untuk elemen-elemen lainnya). Determinan dari matriks identitas bernilai 1, dan trace-nya bernilai n.

Dengan menggunakan notasi yang sama terkadang digunakan untuk menuliskan matriks diagonal, kita dapat menulis

$I_{n}={\text{diag}}(1,\,1,\dots ,\,1).$

Matriks identitas juga dapat dituliskan dengan menggunakan notasi delta Kronecker:

$(I_{n})_{ij}=\delta _{ij}.$

Ketika matriks identitas adalah hasil perkalian dari dua matriks persegi, kedua persegi tersebut dikatakan saling invers.

Matriks identitas adalah satu-satunya matriks idempoten dengan determinan yang tidak bernilai 0. Dengan kata lain, matriks identitas adalah satu-satunya matriks yang:

• Jika dikalikan dengan dirinya sendiri, akan menghasilkan dirinya sendiri.
• Setiap kolom dan setiap barisnya saling bebas linear.

Pranala luar

• Identity matrix, PlanetMath.org.