Bola (geometri)

Bangun bola dengan jari-jari $r$

Dalam geometri, bola adalah bangun ruang tiga dimensi yang dibentuk oleh tak hingga lingkaran berjari-jari sama panjang dan berpusat pada satu titik yang sama. Bola hanya memiliki 1 sisi.

Persamaan

Dalam geometri analitik , bola dengan pusat $(x 0, y 0, z 0)$ dan jari jari $r$ adalah lokus titik $(x, y, z)$ sedemikian rupa sehingga

(x-x_{0})^{2}+(y-y_{0})^{2}+(z-z_{0})^{2}=r^{2}.

biarkan $a, b, c, d, e$ bilangan real dengan sebuah $a \neq 0$ dan put

x_{0}={\frac {-b}{a}},\quad y_{0}={\frac {-c}{a}},\quad z_{0}={\frac {-d}{a}},\quad \rho ={\frac {b^{2}+c^{2}+d^{2}-ae}{a^{2}}}.

Lalu persamaan

f(x,y,z)=a(x^{2}+y^{2}+z^{2})+2(bx+cy+dz)+e=0

tidak memiliki poin nyata sebagai solusi jika $\rho <0$ dan disebut persamaan bola imajiner. Jika $\rho =0$ , satu-satunya solusi $f(x,y,z)=0$ adalah intinya $P_{0}=(x_{0},y_{0},z_{0})$ dan persamaannya disebut persamaan titik bola. Akhirnya, dalam kasus ini $\rho >0$ , $f(x,y,z)=0$ adalah persamaan bola yang pusatnya adalah $P_{0}$ dan yang radiusnya adalah ${\sqrt {\rho }}$ .^[1]

Jika $a$ dalam persamaan di atas adalah nol maka $f (x, y, z) = 0$ adalah persamaan suatu bidang. Dengan demikian, sebuah pesawat dapat dianggap sebagai bola jari-jari tak terbatas yang pusatnya adalah titik tak terhingga.^[2]

Titik-titik di bola dengan jari-jari $r>0$ dan pusat $(x_{0},y_{0},z_{0})$ dapat diparameterisasi via

{\begin{aligned}x&=x_{0}+r\sin \theta \;\cos \varphi \\y&=y_{0}+r\sin \theta \;\sin \varphi \qquad (0\leq \theta \leq \pi ,\;0\leq \varphi <2\pi )\\z&=z_{0}+r\cos \theta \,\end{aligned}}

^[3]

Keliling $\theta$ dapat dikaitkan dengan sudut yang dihitung positif dari arah z positif- sumbu melalui pusat ke radius-vektor, dan keliling $\varphi$ dapat dikaitkan dengan sudut yang dihitung positif dari arah x- positif positif melalui pusat ke proyeksi vektor-jari-jari pada xy- plane.

Bola dari jari-jari yang berpusat di nol adalah permukaan integral dari bentuk diferensial berikut:

x\,dx+y\,dy+z\,dz=0.

Persamaan ini mencerminkan bahwa vektor posisi dan kecepatan suatu titik, $(x, y, z)$ dan $(dx, dy, dz)$ , yang berjalan di bola selalu ortogonal satu sama lain.

Sebuah bola juga dapat dibangun sebagai permukaan yang dibentuk dengan memutar lingkaran tentang semua diameternya . Karena lingkaran adalah jenis [[elips] khusus , bola adalah jenis elips khusus revolusi . Mengganti lingkaran dengan elips yang diputar pada sumbu utamanya , bentuknya menjadi spheroid prolate ; diputar tentang sumbu minor, sebuah spheroid oblate.^[4]

Rumus bola

Luas permukaan

Luas permukaan pada bola yaitu.

L=4\pi r^{2}\,

Archimedes pertama kali memperoleh rumus ini^[5] dari fakta bahwa proyeksi ke permukaan lateral dari silinder yang dibatasi adalah pengawet area.^[6] Pendekatan lain untuk memperoleh rumus berasal dari fakta bahwa rumus tersebut sama dengan turunan rumus untuk volume sehubungan dengan $r$ karena volume total di dalam bola jari-jari $r$ dapat dianggap sebagai penjumlahan dari luas permukaan jumlah yang tidak terbatas dari cangkang bola dengan ketebalan sangat kecil yang ditumpuk secara konseptual di dalam satu sama lain dari jari jari $0$ hingga jari jari $r$ . Pada ketebalan sangat kecil perbedaan antara luas permukaan bagian dalam dan luar setiap shell yang diberikan sangat kecil, dan volume unsur pada jari-jari $r$ hanyalah produk dari luas permukaan pada jari-jari $r$ dan ketebalan sangat kecil.

Pada jari-jari tertentu $r$ , volume tambahan $( δV )$ sama dengan produk dari luas permukaan pada jari-jari $r ( A ( r )$ dan ketebalan cangkang $( δr )$ :

\delta V\approx A(r)\cdot \delta r.

Volume total adalah penjumlahan dari semua volume cangkang:

V\approx \sum A(r)\cdot \delta r.

Dalam batas ketika $approachesr$ mendekati nol ^[7] persamaan ini menjadi:

V=\int _{0}^{r}A(r)\,dr.

Pengganti $V$ :

{\frac {4}{3}}\pi r^{3}=\int _{0}^{r}A(r)\,dr.

Membedakan kedua sisi persamaan ini sehubungan dengan $r$ menghasilkan $L$ sebagai fungsi $r$ :

4\pi r^{2}=L(r).

di mana r sekarang dianggap sebagai jari-jari bola yang tetap.

Atau, elemen luas pada bola diberikan dalam koordinat bola oleh $dA = r 2 sin θ dθ dφ$ . Dalam Kordinat Kartesius, elemen luas adalah

dS={\frac {r}{\sqrt {r^{2}-{\displaystyle \sum _{i\neq k}x_{i}^{2}}}}}\prod _{i\neq k}dx_{i},\;\forall k.

Total luas dengan demikian dapat diperoleh dengan integral:

L=\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{\pi }r^{2}\sin \theta \,d\theta \,d\varphi =4\pi r^{2}.

Bola memiliki luas permukaan terkecil dari semua permukaan yang membungkus volume tertentu, dan melingkupi volume terbesar di antara semua permukaan tertutup dengan luas permukaan tertentu.^[8] Karenanya bola muncul di alam: misalnya, gelembung dan tetesan air kecil secara kasar berbentuk bola karena tegangan permukaan secara lokal meminimalkan luas permukaan.

Luas permukaan relatif terhadap massa bola disebut luas permukaan spesifik dan dapat dinyatakan dari persamaan yang dinyatakan di atas sebagai

\mathrm {LPS} ={\frac {A}{V\rho }}={\frac {3}{r\rho }},

di mana ρ adalah kepadatan (rasio massa terhadap volume).

Volume

Volume pada bola yaitu:

V={\frac {4}{3}}\pi r^{3}

Pada setiap $x$ yang diberikan , volume tambahan $( δV )$ sama dengan produk dari luas penampang disk pada $x$ dan ketebalannya $( δx )$ :

\delta V\approx \pi y^{2}\cdot \delta x.

Volume total adalah penjumlahan dari semua volume tambahan:

V\approx \sum \pi y^{2}\cdot \delta x.

Dalam batas ketika $δx$ mendekati nol,^[7] persamaan ini menjadi:

V=\int _{-r}^{r}\pi y^{2}dx.

Pada setiap x yang diberikan , segitiga siku-siku menghubungkan x , y dan r ke titik asal; karenanya, menerapkan Teorema Pythagoras menghasilkan:

y^{2}=r^{2}-x^{2}.

Menggunakan substitusi ini memberi

V=\int _{-r}^{r}\pi \left(r^{2}-x^{2}\right)dx,

yang dapat dievaluasi untuk memberikan hasilnya

V=\pi \left[r^{2}x-{\frac {x^{3}}{3}}\right]_{-r}^{r}=\pi \left(r^{3}-{\frac {r^{3}}{3}}\right)-\pi \left(-r^{3}+{\frac {r^{3}}{3}}\right)={\frac {4}{3}}\pi r^{3}.

Rumus alternatif ditemukan menggunakan koordinat bola , dengan elemen volume

dV=r^{2}\sin \theta \,dr\,d\theta \,d\varphi

begitu

V=\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{\pi }\int _{0}^{r}r'^{2}\sin \theta \,dr'\,d\theta \,d\varphi =2\pi \int _{0}^{\pi }\int _{0}^{r}r'^{2}\sin \theta \,dr'\,d\theta =4\pi \int _{0}^{r}r'^{2}\,dr'\ ={\frac {4}{3}}\pi r^{3}.

Untuk tujuan paling praktis, volume di dalam bola yang tertulis dalam kubus dapat diperkirakan sekitar 52,4% dari volume kubus, karena $V = π 6 d 3$ , di mana d adalah diameter bola dan juga panjang sisi kubus dan $π$ 6 ≈ 0.5236. Sebagai contoh, bola dengan diameter 1 m memiliki 52,4% volume kubus dengan panjang tepi 1 m, atau sekitar 0,524 m 3

Geometri bola

Elemen dasar geometri bidang Euclidean adalah titik dan garis . Di bola, titik didefinisikan dalam arti biasa. Analog dari "garis" adalah geodesik , yang merupakan lingkaran besar ; ciri utama dari lingkaran besar adalah bahwa bidang yang berisi semua titiknya juga melewati pusat bola. Mengukur dengan panjang busur menunjukkan bahwa jalur terpendek antara dua titik yang terletak di bola adalah segmen yang lebih pendek dari lingkaran besar yang mencakup titik-titik tersebut.

Banyak teorema dari geometri klasik juga berlaku untuk geometri bola, tetapi tidak semua melakukannya karena bola gagal memenuhi beberapa postulat geometri klasik , termasuk postulat paralel . Dalam trigonometri bola , sudut didefinisikan antara lingkaran besar. Trigonometri bola berbeda dari trigonometri biasa dalam banyak hal. Misalnya, jumlah sudut interior segitiga bulat selalu melebihi 180 derajat. Juga, dua segitiga bundar yang serupa adalah kongruen.

Gambar

Lihat pula

N-Bola

Frustum bola

Fungsi lantai dan langit

Referensi

^ Kesalahan pengutipan: Tag <ref> tidak sah; tidak ditemukan teks untuk ref bernama Albert54
^ Woods 1961, p. 266.
^ (Kreyszig 1972, hlm. 342).
^ Albert 2016, p. 60.
^ (Inggris) Weisstein, Eric W. "Sphere". MathWorld.
^ Steinhaus 1969, p. 221.
^ ^a ^b E.J. Borowski; J.M. Borwein (1989). Collins Dictionary of Mathematics. hlm. 141, 149. ISBN 978-0-00-434347-1.
^ Osserman, Robert (1978). "The isoperimetric inequality". Bulletin of the American Mathematical Society. 84: 1187. Diakses tanggal 14 December 2019.

Pranala luar

Cari tahu mengenai Bola (geometri) pada proyek-proyek Wikimedia lainnya:
	Definisi dan terjemahan dari Wiktionary
	Gambar dan media dari Commons
	Berita dari Wikinews
	Kutipan dari Wikiquote
	Teks sumber dari Wikisource
	Buku dari Wikibuku

Sphere (PlanetMath.org website)
(Inggris) Weisstein, Eric W. "Sphere". MathWorld.
Mathematica/Uniform Spherical Distribution
Outside In. 2007-11-14. Diarsipkan dari versi asli tanggal 2007-09-01. Diakses tanggal 2007-11-24. (computer animation showing how the inside of a sphere can turn outside.)
Program in C++ to draw a sphere using parametric equation
Surface area of sphere proof.

Artikel bertopik geometri ini adalah sebuah rintisan. Anda dapat membantu Wikipedia dengan mengembangkannya.

[Albert54-1] Kesalahan pengutipan: Tag <ref> tidak sah; tidak ditemukan teks untuk ref bernama Albert54

[Woods266-2] Woods 1961, p. 266.

[3] (Kreyszig 1972, hlm. 342).

[4] Albert 2016, p. 60.

[MathWorld_Sphere-5] (Inggris) Weisstein, Eric W. "Sphere". MathWorld.

[6] Steinhaus 1969, p. 221.

[delta-7] E.J. Borowski; J.M. Borwein (1989). Collins Dictionary of Mathematics. hlm. 141, 149. ISBN 978-0-00-434347-1.

[8] Osserman, Robert (1978). "The isoperimetric inequality". Bulletin of the American Mathematical Society. 84: 1187. Diakses tanggal 14 December 2019.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

l b s Bangun geometri
Elemen geometri menurut dimensi	Titik (0D) · Garis (1D) · Bidang (2D) · Ruang (3D)
Besaran geometri menurut dimensi	Panjang (1D) · Luas (area) (2D) · Volume (3D)
Istilah dasar lain	Radius (jari-jari) · Sisi (segi) · Sudut
Bangun 2 dimensi	Belah ketupat · Elips · Jajar genjang · Layang-layang · Lingkaran · Persegi · Persegi panjang · Poligon (segi-n) · Segi empat · Segitiga · Trapesium
Bangun 3 dimensi	Balok · Bola · Kerucut · Kubus · Limas · Polihedron (bidang-n) · Prisma · Sferoid (elipsoid revolusi) · Tabung (silinder)