e (konstanta matematika)

e adalah bilangan di mana gradien (kemiringan) dari fungsi f(x)=e^x pada setiap titiknya sama dengan nilai (tinggi) fungsi tersebut pada titik yang sama.

Konstanta matematika e adalah basis dari logaritma alami. Kadang-kadang disebut juga bilangan Euler sebagai penghargaan atas ahli matematika Swiss, Leonhard Euler, atau juga konstanta Napier sebagai penghargaan atas ahli matematika Skotlandia, John Napier yang merumuskan konsep logaritma untuk pertama kali. Bilangan ini adalah salah satu bilangan yang terpenting dalam matematika, sama pentingnya dengan 0, 1, i, dan π. Bilangan ini memiliki beberapa definisi yang ekuivalen; sebagian ada di bawah.

Nilai bilangan ini, dipotong pada posisi ke-30 setelah tanda desimal (tanpa dibulatkan), adalah:

e ≈ 2,718281828459045235360287471352

Sejarah

Referensi pertama untuk konstanta diterbitkan pada tahun 1618 dalam tabel lampiran dari sebuah karya tentang logaritma oleh John Napier. Namun, semua tidak berisi konstanta itu sendiri, tetapi hanya daftar logaritma yang dihitung dari nilai konstanta. Diasumsikan bahwa tabel tersebut ditulis oleh William Oughtred.

Penemuan konstanta itu sendiri dikreditkan ke Jacob Bernoulli pada tahun 1683, yang mencoba to find the value of the following expression (which is equal to e):

$\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}.$

Aplikasi

Bunga majemuk

Pengaruh memperoleh bunga tahunan 20% pada sebuah awal $1,000 investasi pada berbagai frekuensi penggabungan

Jacob Bernoulli menemukan konstanta ini pada tahun 1683, ketika mempelajari pertanyaan tentang bunga majemuk:

Sebuah akun dimulai dengan $1,00 dan membayar bunga 100 persen per tahun. Jika bunga dikreditkan sekali, pada akhir tahun, nilai akun di akhir tahun adalah $2,00. Apa yang terjadi jika bunga dihitung dan dikreditkan lebih sering sepanjang tahun?

Jika bunga dikreditkan dua kali dalam setahun, tingkat bunga untuk setiap 6 bulan akan menjadi 50%, jadi $ 1 awal dikalikan 1,5 dua kali, menghasilkan $1.00 × 1.5² = $2.25 di akhir tahun. Peracikan hasil kuartalan $1.00 × 1.25⁴ = $2.4414..., dan menggabungkan hasil bulanan $1.00 × (1 + 1/12)¹² = $2.613035… Bila ada n interval majemuk, bunga untuk setiap interval akan 100%/n dan nilainya pada akhir tahun akan menjadi $1.00 × (1 + 1/n)ⁿ.

Bernoulli memperhatikan bahwa urutan ini mendekati batas (kekuatan minat) dengan lebih besar n dan, dengan demikian, interval penggabungan yang lebih kecil. Meracik mingguan (n = 52) menghasilkan $ 2,692597 ..., sementara penggabungan uang harian (n = 365) menghasilkan $ 2,714567 ... (sekitar dua sen lebih). Batasnya sebagai n tumbuh besar adalah jumlah yang kemudian dikenal sebagai e. Artinya, dengan penggabungan kontinu, nilai akun akan mencapai $2.7182818...

Secara lebih umum, akun yang dimulai dari $ 1 dan menawarkan tingkat bunga tahunan sebesar R, setelah itu t tahun, hasil dari e^Rt dolar dengan peracikan terus menerus.

(Perhatikan di sini karena R adalah desimal yang setara dengan suku bunga yang dinyatakan sebagai persentase, jadi untuk bunga 5%, R = 5/100 = 0.05.)

Pengadilan Bernoulli

Grafik probabilitas P jika not mengamati peristiwa independen masing-masing probabilitas 1/n sesudah n Pengadilan Bernoulli, dan 1 − P  vs n ; dapat diamati bahwa ketika n meningkat, probabilitas 1/n peristiwa kebetulan tidak pernah muncul setelah n mencoba dengan cepat menyatu dengan 1/e.

Bilangan dari e itu sendiri juga memiliki aplikasi dalam teori probabilitas, dengan cara yang tidak jelas terkait dengan pertumbuhan eksponensial:

${\binom {10^{6}}{k}}\left(10^{-6}\right)^{k}\left(1-10^{-6}\right)^{10^{6}-k}.$

Secara khusus, kemungkinan hadil nol kali (k = 0) adalah

$\left(1-{\frac {1}{10^{6}}}\right)^{10^{6}}.$

yang sangat mendekati batas

$\lim _{n\to \infty }\left(1-{\frac {1}{n}}\right)^{n}={\frac {1}{e}}.$

Distribusi normal standar

Artikel utama: Distribusi normal

Distribusi normal dengan rata-rata nol dan deviasi standar satuan dikenal sebagai distribusi normal standar, diberikan oleh fungsi kepadatan probabilitas

$\phi (x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}e^{-{\frac {1}{2}}x^{2}}.$

Batasan varian unit (dan juga deviasi standar unit) menghasilkan 12 dalam eksponen, dan batasan luas total unit di bawah kurva $\phi (x)$ menghasilkan faktor $\textstyle 1/{\sqrt {2\pi }}$.^[bukti] Fungsi ini simetris x = 0, di mana ia mencapai nilai maksimumnya $\textstyle 1/{\sqrt {2\pi }}$, dan memiliki titik belok di x = ±1.

Kesalahan

Aplikasi lain dari e, juga ditemukan sebagian oleh Jacob Bernoulli bersama dengan Pierre Raymond de Montmort, Ada dalam masalah kekacauan, juga dikenal sebagai masalah cek topi: n tamu diundang ke pesta, dan di depan pintu, semua tamu memeriksa topi mereka dengan kepala pelayan, yang pada gilirannya menempatkan topi ke dalam n kotak, masing-masing diberi label dengan nama satu tamu. Tapi kepala pelayan belum menanyakan identitas para tamu, jadi dia menempatkan topi ke dalam kotak yang dipilih secara acak. Masalah de Montmort adalah menemukan probabilitas itu, tidak ada topi yang dimasukkan ke kotak kanan. Probabilitas ini, dilambangkan dengan $p_{n}\!$, is:

$p_{n}=1-{\frac {1}{1!}}+{\frac {1}{2!}}-{\frac {1}{3!}}+\cdots +{\frac {(-1)^{n}}{n!}}=\sum _{k=0}^{n}{\frac {(-1)^{k}}{k!}}.$

Sebagai nomor n sebagai tamu cenderung tak terbatas, p_n pendekatan 1 / e. Selanjutnya, banyaknya cara penempatan topi ke dalam kotak sehingga tidak ada topi yang berada di kotak yang tepat. n!/e (dibulatkan ke bilangan bulat terdekat untuk setiap positif n).

Masalah perencanaan yang optimal

Sebatang panjang L dipecah menjadi n bagian yang sama. Nilai dari n yang memaksimalkan produk dari panjang adalah:

$n=\left\lfloor {\frac {L}{e}}\right\rfloor$ or $\left\lfloor {\frac {L}{e}}\right\rfloor +1.$

Asimtotik

Angka e terjadi secara alami sehubungan dengan banyak masalah yang melibatkan asimtotik. Contohnya adalah Rumus Stirling untuk asimtotik dari fungsi faktorial, di mana kedua bilangan tersebut e dan π muncul:

$n!\sim {\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}.$

Sebagai konsekuensi,

$e=\lim _{n\to \infty }{\frac {n}{\sqrt[{n}]{n!}}}.$

Lihat pula

• Fungsi eksponensial
• Logaritma