Notasi anak panah Knuth

Dalam matematika, notasi anak panah Knuth adalah salah satu cara untuk melambangkan bilangan bulat dengan nilai yang besar, diciptakan oleh Donald Knuth tahun 1976. Notasi ini berhubungan dekat dengan hiperoperasi, dimana contohnya perkalian dianggap sebagai iterasi atau perulangan dari penjumlahan, perpangkatan adalah iterasi dari perkalian, iterasi selanjutnya adalah tetrasi, kemudian pentasi, dan seterusnya, dimana notasi anak panah Knuth dapat digunakan.

Penjelasan

Operasi matematika yang sudah kita kenal seperti penjumlahan, perkalian, dan perpangkatan dapat disusun menjadi deret hiperoperasi seperti berikut:

Perkalian adalah iterasi atau perulangan dari penjumlahan:

$a\times b=\underbrace {a+a+\cdots +a} _{b\ kali}$

Misalnya:

$4\times 3=3+3+3+3=12$

Perpangkatan adalah iterasi dari perkalian, dalam notasi Knuth dilambangkan dengan satu anak panah:

$a\uparrow b=a^{b}=\underbrace {a\times a\times \cdots \times a} _{b\ kali}$

Misalnya:

$4\uparrow 3=4^{3}={4\times 4\times \times 4}$

Iterasi selanjutnya disebut tetrasi yang merupakan perulangan dari perpangkatan, dilambangkan dengan dua anak panah:

$a\uparrow \uparrow b=\ ^{b}\!a=\underbrace {a^{a^{.^{.^{.^{a}}}}}} _{b\ kali}=\underbrace {a\uparrow (a\uparrow ({...\uparrow a))}} _{b\ kali}$

Misalnya:

$4\uparrow \uparrow 3=\ ^{3}\!4=4^{4^{4}}=4\uparrow (4\uparrow 4)=4^{256}\approx 1.34078079\times 10^{154}$

Iterasi selanjutnya seperti pentasi, heksasi, dan lain-lain dilakukan dengan menambah anak panah:

Pentasi:

$a\uparrow \uparrow \uparrow b=\underbrace {a\uparrow \uparrow (a\uparrow \uparrow (...\uparrow \uparrow a))} _{b\ kali}$

Heksasi:

$a\uparrow \uparrow \uparrow \uparrow b=\underbrace {a\uparrow \uparrow \uparrow (a\uparrow \uparrow \uparrow (...\uparrow \uparrow \uparrow a))} _{b\ kali}$

Jadi, notasi anak panah-$n$ didefinisikan sebagai deret anak panah-($n-1$):

$a\underbrace {\uparrow \uparrow ...\uparrow } _{n}b=\underbrace {a\underbrace {\uparrow ...\uparrow } _{n-1}(a\underbrace {\uparrow ...\uparrow } _{n-1}(...\underbrace {\uparrow ...\uparrow } _{n-1}a))} _{b\ kali}$

Notasi

Terdapat notasi versi pendek dengan menggunakan $a\uparrow ^{n}b$, contohnya $a\uparrow ^{4}b=a\uparrow \uparrow \uparrow \uparrow b$. Tapi perlu diingat bentuk ini tidak sama dengan notasi hiperoperasi, misalnya dalam hiperoperasi contoh tersebut seharusnya bernama tetrasi karena n-nya adalah empat, bukan heksasi yang n-nya enam. Dalam hiperoperasi notasi tersebut berbentuk $a\uparrow ^{n+2}b$, contohnya $a\uparrow ^{5}b=a\uparrow \uparrow \uparrow b$, dan diberinama pentasi sesuai dengan n-nya yaitu lima.

Notasi anak panah dipilih karena beberapa hal seperti bahasa pemrograman dan e-mail berupa teks tidak mendukung simbol pangkat. Jika suatu pengodean karakter tidak memiliki simbol anak panah dapat digunakan simbol "caret" (^).

Notasi alternatif lainnya adalah notasi anak panah berantai yang diciptakan John Horton Conway dan digunakan untuk melambangkan angka yang sangat besar, lebih besar dari notasi Knuth:

$a\uparrow ^{n}b=a\rightarrow b\rightarrow n$

Pranala luar

• Weisstein, Eric W. "Arrow Notation". MathWorld. 
• Robert Munafo, Large Numbers