Kuartil

Kuartil adalah salah satu jenis kuartil yang membagi data menjadi empat bagian dengan jumlah yang kurang lebih sama. Kuartil pertama atau kuartil bawah (Q₁) merupakan nilai tengah antara nilai terkecil dan median dari kelompok data. Kuartil pertama menjadi penanda bahwa data pada kuartil tersebut berada 25% dari bawah pada kelompok data. Kuartil kedua (Q₂) adalah median data yang menandai 50% data (membagi data menjadi dua). Kuartil ketiga atau kuartil atas (Q₃) adalah nilai tengah antara median dan nilai tertinggi dari kelompok data. Kuartil ketiga menjadi penanda bahwa data pada kuartil tersebut berada 75% dari bawah pada kelompok data. Kuartil adalah salah satu bentuk statistik urutan karena untuk menentukan kuartil, data perlu diurutkan dari nilai yang terkecil hingga terbesar lebih dahulu.

Ketiga kuartil yang dijelaskan di atas merupakan salah satu elemen dari ringkasan lima angka. Ringkasan ini merupakan hal yang penting dalam statistika karena memberikan informasi tentang pusat dan sebaran data. Kuartil bawah dan atas dapat memberikan informasi mengenai sebaran dan kemiringan data. Hal ini karena kuartil membagi data berdasarkan jumlah banyaknya data sehingga rentang antara satu kuartil dengan kuartil lainnya tidaklah sama (misal Q₃-Q₂ ≠ Q₂-Q₁). Kuartil atas dan bawah juga dapat memberikan informasi yang lebih rinci mengenai sebaran data, lokasi titik data tertentu, adanya pencilan dalam data, dan perbedaan sebaran antara 50% tengah data dan titik data luar dibandingkan dengan hanya mengandalkan nilai minimum dan maksimum.

Representasi visual mengenai penjelasan ini dapat anda temukan di sini

Definisi

Diagram kotak garis (dengan kuartil dan jangkauan interkuartil) dan fungsi kepadatan probabilitas (pdf) dari populasi N normal (0,1σ²)

Simbol	Nama	Definisi
Q1	kuartil pertama kuartil bawah persentil ke-25	memisahkan 25% data terendah dari 75% data tertinggi
Q2	kuartil kedua median persentil ke-50	memotong kelompok data menjadi dua
Q3	kuartil ketiga kuartil atas persentil ke-75	memisahkan 25% data tertinggi dari 75% data terendah

Metode penghitungan

Distribusi diskrit

Tidak ada kesepakatan universal tentang cara menentukan nilai kuartil pada distribusi diskrit. Oleh karena itu, penting untuk mengetahui metode yang disepakati sebelum menentukan nilai kuartil pada suatu persoalan.

Data tunggal

Metode 1

1. Urutkan data
2. Gunakan median untuk membagi data terurut menjadi dua bagian.
   • Apabila jumlah data terurut ganjil, tidak perlu menyertakan median di kedua bagian.
   • Apabila jumlah data terurut genap, bagi kelompok data ini menjadi dua.
3. Nilai kuartil bawah adalah median dari setengah data bagian bawah, sementara nilai kuartil atas adalah median dari setengah data atas.

Metode 2

Letak kuartil pada kelompok data tunggal juga dapat dicari menggunakan rumus

• Kuartil 1 (Q₁) = $X_{\frac {1\times (N+1)}{4}}$
• Kuartil 2 (Q₂) = $X_{\frac {2\times (N+1)}{4}}$
• Kuartil 2 (Q₂) = $X_{\frac {3\times (N+1)}{4}}$

dengan $N$ adalah jumlah data. Hasil dari penghitungan menggunakan rumus tersebut akan menunjukkan letak nilai kuartil pada kelompok data yang telah diurutkan.

Data kelompok

$Qi=T_{b}+{\begin{bmatrix}{\frac {{\frac {i}{4}}n-F}{F_{k}}}\end{bmatrix}}p$,

dengan $i$ = 1, 2, 3, $Qi$ adalah nilai kuartil yang dicari, $T_{b}$ adalah tepi bawah kelas tempat kuartil berada, $F$ adalah frekuensi kumulatif tepat sebelum kuartil berada, $F_{k}$ adalah frekuensi kelas tempat kuartil berada, dan $p$ adalah panjang kelas tempat kuartil berada.

Distribusi probabilitas kontinu

Kuartil pada fungsi distribusi kumulatif dari distribusi normal

Jika kita mendefinisikan distribusi probabilitas kontinu sebagai $P(X)$, dengan $X$ adalah variabel acak bilangan real, fungsi distribusi kumulatifnya (CDF) dinyatakan oleh rumus

$F_{X}(x)=P(X\leq x)$.

CDF memberikan probabilitas bahwa variabel acak $X$ lebih kecil daripada nilai $x$. Oleh karena itu, kuartil pertama adalah nilai $x$ yang menyebabkan $F_{X}(x)=0.25$, kuartil kedua adalah nilai $x$ yang menyebabkan $F_{X}(x)=0.5$, dan kuartil ketiga adalah nilai $x$ yang menyebabkan $F_{X}(x)=0.75$. Nilai $x$ dapat ditemukan dengan fungsi kuantil $Q(p)$ dimana $p=0.25$ untuk kuartil pertama, $p=0.5$ untuk kuartil kedua, dan $p=0.75$ untuk kuartil ketiga. Fungsi kuantil adalah invers dari fungsi distribusi kumulatif jika fungsi distribusi kumulatif naik secara monoton.

Contoh

Contoh 1

Misal terdapat kelompok data yang telah diurutkan: 6, 7, 15, 36, 39, 40, 41, 42, 43, 47, 49. Menggunakan metode pertama data tunggal, kelompok data dibagi menjadi dua (misal, data bagian 1 dan 2):

$\underbrace {6,7,15,36,39,} _{bagian1}\underbrace {40,} _{median(Q_{2})}\underbrace {41,42,43,47,49} _{bagian2}$

Nilai kuartil dapat ditentukan dengan mencari median dari masing-masing bagian (median bagian 1 menjadi Q₁ dan median bagian 2 menjadi Q₃)

$6,7,\underbrace {15,} _{Q_{1}}36,39$

$41,42,\underbrace {43,} _{Q_{3}}47,49$

Dengan demikian, didapatkan hasil:

Kuartil	Hasil
Q1	15
Q2	40
Q3	43

Contoh 2

Menggunakan kelompok data yang sama, akan dicari ketiga kuartilnya menggunakan metode 2:

• Kuartil 1 (Q₁) = $X_{\frac {1\times (11+1)}{4}}=X_{\frac {1\times (12)}{4}}=X_{3}$
• Kuartil 2 (Q₂) = $X_{\frac {2\times (11+1)}{4}}=X_{\frac {2\times (12)}{4}}=X_{6}$
• Kuartil 2 (Q₂) = $X_{\frac {3\times (11+1)}{4}}=X_{\frac {3\times (12)}{4}}=X_{9}$

Dengan demikian, ditemukan bahwa data ke-3 ($X_{3}$) merupakan kuartil pertama/kuartil bawah, data ke-6 ($X_{6}$) merupakan kuartil kedua/median, dan data ke-9 ($X_{9}$) merupakan kuartil ketiga/kuartil atas. Hasil yang didapatkan sama dengan metode penghitungan pada contoh 1.

Perangkat lunak komputer untuk mencari kuartil

Excel

Fungsi Excel QUARTILE (array, quart) akan memberikan nilai kuartil yang diinginkan untuk suatu kelompok data tertentu. Dalam fungsi QUARTILE, array adalah kelompok data angka yang dianalisis dan quart adalah angka tertentu yang bergantung pada kuartil yang dicari. Berikut adalah quart yang dapat digunakan:

Quart	Keluaran nilai QUARTILE
0	Nilai minimum
1	Kuartil Bawah (persentil ke-25)
2	Median
3	Kuartil Atas (persentil ke-75)
4	Nilai maksimum

MATLAB

Penentuan kuartil di Matlab dapat dilakukan menggunakan fungsi kuantil (A, p), dengan A adalah vektor data yang dianalisis dan p adalah persentase yang berkaitan dengan kuartil:

p	Keluaran nilai kuartil
0	Nilai minimum
0.25	Kuartil Bawah (persentil ke-25)
0,5	Median
0.75	Kuartil Atas (persentil ke-75)
1	Nilai maksimum

Lihat pula

• Diagram kotak garis

Pranala luar

• Kuartil - dari MathWorld Menyertakan referensi dan membandingkan berbagai metode untuk menghitung kuartil
• Kuartil - Dari MathForum.org
• Kalkulator kuartil - kalkulator kuartil sederhana
• Kuartil - Contoh cara menghitungnya