Logaritma umum

Logaritma umum
Domain dan Citra
Domain dari fungsi	$(0,\infty )$
Daerah hasil fungsi	$(-\infty ,\infty )$
Nilai-nilai spesifik
Nilai maksimum	Tidak ada
Nilai minimum	Tidak ada
Sifat khusus
Akar	$1$
Invers	$x=10^{y}$
Turunan	${\frac {1}{x\ln 10}}$

Logaritma umum atau logaritma biasa adalah logaritma dengan basis 10. Logaritma umum dinotasikan sebagai log₁₀(x), atau kadang Log(x) dengan huruf L kapital (namun notasi ini ambigu, karna dapat berarti juga logaritma natural komplek. Di kalkulator biasanya digunakan "log", tetapi matematikawan menggunakan "log" sebagai notasi logaritma natural bukan logaritma umum. Untuk mengatasi ambiguitas ini, spesifikasi ISO menyebutkan bahwa log₁₀(x) harus ditulis sebagai lg (x) dan log_e(x) ditulis ln (x).

Mantis dan karakteristik

Sifat penting dari logaritma basis 10, yang membuatnya sangat berguna dalam perhitungan, adalah bahwa logaritma bilangan yang lebih besar dari 1 yang berbeda dengan faktor pangkat 10 semuanya memiliki pecahan yang sama. Bagian pecahan ini dikenal sebagai mantis. Dengan demikian, tabel log hanya perlu menampilkan bagian pecahan. Tabel logaritma umum biasanya mencantumkan mantis, hingga empat atau lima tempat desimal atau lebih, dari setiap angka dalam suatu rentang, misalnya 1000 hingga 9999.

Bagian bilangan bulat, disebut karakteristik, dapat dihitung hanya dengan menghitung berapa banyak tempat koma desimal harus dipindahkan, sehingga tepat di sebelah kanan digit signifikan pertama. Misalnya, logaritma 120 diberikan dengan perhitungan berikut:

$\log _{10}(120)=\log _{10}\left(10^{2}\times 1.2\right)=2+\log _{10}(1.2)\approx 2+0.07918.$

Angka terakhir (0,07918) bagian pecahan atau mantra dari logaritma persekutuan 120 dapat ditemukan pada tabel yang ditampilkan. Lokasi titik desimal di 120 memberi tahu kita bahwa bagian bilangan bulat dari logaritma persekutuan 120, karakteristiknya, adalah 2.

Logaritma negatif

Bilangan positif kurang dari 1 memiliki logaritma negatif. Sebagai contoh,

$\log _{10}(0.012)=\log _{10}\left(10^{-2}\times 1.2\right)=-2+\log _{10}(1.2)\approx -2+0.07918=-1.92082.$

Untuk menghindari kebutuhan akan tabel terpisah untuk mengubah logaritma positif dan negatif kembali ke bilangan aslinya, logaritma negatif dapat diekspresikan sebagai karakteristik bilangan bulat negatif ditambah positif. Untuk memfasilitasi ini, notasi khusus, yang disebut notasi batang, digunakan:

$\log _{10}(0.012)\approx -2+0.07918={\bar {2}}.07918.$

Bilah di atas karakteristik menunjukkan bahwa itu negatif, sedangkan mantissa tetap positif. Saat membaca angka dalam notasi bar dengan lantang, simbol ${\bar {n}}$ dibaca sebagai "bar n", sehingga ${\bar {2}}.07918$ dibaca sebagai "bar 2 point 07918…".

Contoh berikut menggunakan notasi batang untuk menghitung 0,012 × 0.85 = 0.0102:

${\begin{array}{rll}{\text{Seperti yang ditemukan di atas,}}&\log _{10}(0.012)\approx {\bar {2}}.07918\\{\text{karena}}\;\;\log _{10}(0.85)&=\log _{10}\left(10^{-1}\times 8.5\right)=-1+\log _{10}(8.5)&\approx -1+0.92942={\bar {1}}.92942\\\log _{10}(0.012\times 0.85)&=\log _{10}(0.012)+\log _{10}(0.85)&\approx {\bar {2}}.07918+{\bar {1}}.92942\\&=(-2+0.07918)+(-1+0.92942)&=-(2+1)+(0.07918+0.92942)\\&=-3+1.00860&=-2+0.00860\;^{*}\\&\approx \log _{10}\left(10^{-2}\right)+\log _{10}(1.02)&=\log _{10}(0.01\times 1.02)\\&=\log _{10}(0.0102).\end{array}}$

Langkah ini membuat mantissa antara 0 dan 1, sehingga antilog(10 ^mantis) nya dapat dicari.

Tabel berikut menunjukkan bagaimana mantis yang sama dapat digunakan untuk rentang angka yang berbeda pangkat sepuluh:

Logaritma, karakteristik, dan mantis umum dari pangkat 10 dikali sebuah bilangan

Jumlah	Logaritma	Ciri	Mantis	Bentuk gabungan
n = 5 × 10i	log10(n)	i = floor(log10(n))	log10(n) − i
5 000 000	6.698 970...	6	0.698 970...	6.698 970...
50	1.698 970...	1	0.698 970...	1.698 970...
5	0.698 970...	0	0.698 970...	0.698 970...
0.5	−0.301 029...	−1	0.698 970...	1.698 970...
0.000 005	−5.301 029...	−6	0.698 970...	6.698 970...

Perhatikan bahwa mantis umum untuk semua 5×10ⁱ. Ini berlaku untuk setiap bilangan riil $x$ positif karena

$\log _{10}\left(x\times 10^{i}\right)=\log _{10}(x)+\log _{10}\left(10^{i}\right)=\log _{10}(x)+i.$

Karena $i$ adalah sebuah tetapan, mantisnya berasal dari $\log _{10}(x)$, yang tetapannya untuk $x$ yang diberikan. Ini memungkinka sebuah tabel logaritma hinggan mencakupi hanyu satu entri untuk setiap mantis. Di contohnya dari 5 × 10ⁱ, 0.698 970 (004 336 018 ...) akan didaftarkan berindeks sekali oleh 5 (or 0.5, or 500, dst..).

Angka ditempatkan pada skala mistar hitung pada jarak yang sebanding dengan perbedaan antara logaritmanya. Dengan menambahkan jarak secara mekanis dari 1 ke 2 pada skala yang lebih rendah ke jarak dari 1 ke 3 pada skala atas, seseorang dapat dengan cepat menentukan bahwa 2 × 3 = 6.

Referensi

• Michael Möser: Engineering Acoustics: An Introduction to Noise Control. Springer 2009, ISBN 978-3-540-92722-8, p. 448 (restricted online copy, hlm. 448, pada Google Books)
• A. D. Poliyanin, A. V. Manzhirov: Handbook of mathematics for engineers and scientists. CRC Press 2007, ISBN 978-1-58488-502-3, p. 9 (restricted online copy, hlm. 9, pada Google Books)