Polinomial Newton

Dalam analisis numerik, polinomial Newton adalah polinomial interpolasi untuk suatu himpunan titik data yang diketahui. Polinomial ini dinamai dari penemunya, Isaac Newton. Terkadang, polinomial ini disebut polinomial interpolasi selisih yang dibagi Newton (bahasa Inggris: Newton's divided differences interpolation polynomial) karena koefisien dari polinomialnya dihitung menggunakan metode selisih yang dibagi (divided differences) Newton.

Diberikan suatu himpunan dari $k+1$ titik data $(x_{0},y_{0}),\ldots ,(x_{j},y_{j}),\ldots ,(x_{k},y_{k})$, dengan dua buah $x_{j}$ tidaklah sama, maka polinomial interpolasi Newton interpolation merupakan suatu kombinasi linear dari polinomial basis Newton$$N(x):=\sum _{j=0}^{k}a_{j}n_{j}(x)$$dengan polinomial basis Newton didefinisikan sebagai$$n_{j}(x):=\prod _{i=0}^{j-1}(x-x_{i})$$

untuk $j>0$ dan $n_{0}(x)\equiv 1$. Koefisien dari polinomial tersebut didefinisikan sebagai $a_{j}:=[y_{0},\ldots ,y_{j}]$ dengan $[y_{0},\ldots ,y_{j}]$ adalah notasi untuk selisih yang dibagi (divided difference). Dengan demikian, polinomial Newton dapat ditulis sebagai$$N(x)=[y_{0}]+[y_{0},y_{1}](x-x_{0})+\cdots +[y_{0},\ldots ,y_{k}](x-x_{0})(x-x_{1})\cdots (x-x_{k-1}).$$