Lompat ke isi

Polinomial Newton

Dari Wikipedia bahasa Indonesia, ensiklopedia bebas

Dalam analisis numerik, polinomial Newton adalah interpolasi polinomial untuk suatu himpunan titik data yang diketahui. Polinomial ini dinamai dari penemunya, Isaac Newton.[1] Terkadang, polinomial ini disebut interpolasi polinomial beda terbagi Newton karena koefisien dari polinomialnya dihitung menggunakan metode beda terbagi Newton.

Diberikan suatu himpunan titik data

dengan syarat apabila , maka interpolasi polinomial Newton merupakan suatu kombinasi linear dari polinomial basis Newton. Secara matematis, hal tersebut dapat dituliskan sebagai

dengan polinomial basis Newton didefinisikan sebagai

untuk dan . Koefisien dari polinomial tersebut didefinisikan sebagai dengan adalah notasi untuk beda terbagi. Dengan demikian, interpolasi polinomial Newton dapat ditulis sebagai

Rumus interpolasi Newton-Gregory maju

[sunting | sunting sumber]

Bentuk dari Polinomial Newton dapat disederhanakan apabila diatur sehingga berjarak sama. Jika didefinisikan

  • , untuk suatu bilangan riil

dengan , perhatikan bahwa

Sehingga, interpolasi polinomial Newton menjadi

Rumus ini disebut sebagai rumus beda terbagi Newton maju.[butuh rujukan]

Rumus interpolasi Newton-Gregory mundur

[sunting | sunting sumber]

Jika titik data yang ada diubah urutannya menjadi , bentuk polinomial Newtonnya menjadi

Dengan asumsi serupa, jika berjarak sama, serta didefinisikan

  • , untuk suatu bilangan riil

dengan , maka diperoleh

Sehingga, interpolasi polinomial Newton menjadi

Rumus ini disebut sebagai rumus beda terbagi Newton mundur[butuh rujukan]

Bentuk Newton dan polinomial Taylor

[sunting | sunting sumber]

Rumus Newton sangat menarik karena rumus Newton terlihat seperti versi beda hingga dari polinomial Taylor. Polinomial Taylor memberitahu nilai suatu fungsi berdasarkan nilai beserta turunan-turunannya (turunan pertama, turunan kedua, dst.) dari suatu titik tertentu. Rumus Newton adalah polinomial Taylor yang didasarkan pada beda hingga, dan bukan laju perubahan sesaat.

Limit dari polinomial Newton jika semua titik berhimpit menuju adalah polinomial Taylor di sekitar , lantaran nilai dari koefisien beda terbagi akan menjadi turunan. Hal ini akan lebih mudah terlihat menggunakan rumus Newton-Gregory maju

Ide utama

[sunting | sunting sumber]

Penyelesaian masalah interpolasi akan mengarah ke permasalahan dalam aljabar linear mengenai penyelesaian sistem persamaan linear. Dengan menggunakan basis monomial, maka akan diperoleh matriks Vandermonde yang sangat rumit. Dengan memilih basis lain, basis Newton, maka akan diperoleh sistem persamaan linear dengan matriks segitiga bawah, yang lebih sederhana dan dapat diselesaikan dengan lebih cepat.

Jika diberikan titik data, maka dikonstruksikan basis Newton sebagai

Dengan menggunakan polinomial ini sebagai basis yang baru, maka penyelesaian dari

akan menjawab masalah interpolasi polinomial di awal.

Sistem persamaan ini dapat diselesaikan secara iteratif dengan menyelesaikan

Penambahan titik baru

[sunting | sunting sumber]

Sama seperti rumus selisih lainnya, derajat dari interpolasi polinomial Newton dapat dinaikkan dengan menambahkan suku dan titik baru tanpa membuang suku yang sudah ada. Bentuk Newton memiliki kesederhanaan karena titik baru akan selalu ditambahkan di ujung: titik baru pada rumus Newton-Gregory maju dapat ditambahkan di kanan, sedangkan titik baru pada rumus Newton-Gregory mundur dapat ditambahkan di kiri.

Keunggulan dan kelemahan berbagai rumus

[sunting | sunting sumber]

Untuk setiap himpunan titik data yang berhingga, hanya terdapat satu polinomial dengan derajat terendah yang melewati semua titik yang diberikan. Maka dari itu, kata "interpolasi polinomial Bentuk Newton" (atau bentuk Lagrange, dll.) tidak akan memiliki makna yang ambigu. Meskipun demikian, pencarian polinomial ini bisa saja memiliki efisiensi komputasi yang berbeda apabila digunakan metode yang berbeda.

Bessel versus Stirling

[sunting | sunting sumber]

Newton versus Lagrange

[sunting | sunting sumber]

Dibandingkan interpolasi polinomial bentuk Newton, bentuk Lagrange memerlukan usaha yang lebih sedikit, dan terkadang direkomendasikan untuk masalah yang sudah diketahui (dari pengalaman sebelumnya) berapa banyak suku yang diperlukan agar tingkat akurasinya cukup.

Jika ditambahkan titik data yang baru, metode beda terbagi mempunyai keunggulan karena suku yang diperoleh dari data sebelumnya dapat digunakan kembali. Dengan rumus Lagrange yang biasa, pengerjaan soal dengan penambahan titik data akan membutuhkan perhitungan ulang seluruh soal.

Secara umum, rumus beda terbagi lebih serbaguna pada berbagai situasi permasalahan. Dengan interpolasi polinomial bentuk Newton, terdapat algoritma yang singkat dan efektif untuk mencari koefisien dari polinomialnya.[2]

Penerapan

[sunting | sunting sumber]

Seperti yang bisa dilihat dari bentuk umum dari interpolasi polinomial Newton, titik data yang baru dapat ditambahakan ke himpunan data yang sudah ada untuk membuat interpolasi polinomial yang baru tanpa perlu menghitung ulang koefisien yang lama. Kalaupun terdapat titik data yang berubah nilainya, maka seluruh koefisien tidak perlu dihitung ulang. Selain itu, jika memiliki jarak yang sama antara satu dengan yang lain, perhitungan beda terbagi akan jauh lebih mudah. Maka dari itu, rumus beda terbagi lebih disukai dibandingkan bentuk Lagrange untuk diterapkan.

Nilai beda terbagi dapat dituliskan dalam bentuk tabel. Sebagai contoh, untuk mencari suatu fungsi yang menginterpolasi titik , maka dapat ditulis sebagai berikut

Maka koefisien dari interpolasi polinomialnya diperoleh dari entri teratas pada setiap kolom.

Sebagai contoh, misalkan dikonstruksikan interpolasi polinomial dari dengan menggunakan metode beda terbagi pada titik berikut

Dengan menggunakan akurasi sebesar lima digit, maka diperoleh tabel beda terbagi sebagai berikut

Sehingga, interpolasi polinomialnya adalah

Lihat juga

[sunting | sunting sumber]

Referensi

[sunting | sunting sumber]
  1. ^ Dunham, William (1990). "7". Journey Through Genius: The Great Theorems of Mathematics. Kanak Agrawal, Inc. hlm. 155–183. ISBN 9780140147391. Diakses tanggal 24 Oktober 2019. 
  2. ^ Stetekluh, Jeff. "Algorithm for the Newton Form of the Interpolating Polynomial". 

Pranala luar

[sunting | sunting sumber]

Templat:Isaac Newton