Subgrup normal

Dalam aljabar abstrak, subgrup normal (juga dikenal sebagai subgrup invarian atau subgrup konjugasi sendiri)^[1] adalah subgrup yang invarian di bawah konjugasi oleh anggota grup yang merupakan bagiannya. Dengan kata lain, subgrup $N$ dari grup $G$ adalah normal dalam $G$ jika dan hanya jika $gng -1 \in N$ untuk $g \in G$ dan $n \in N$ . Notasi umum untuk relasi ini adalah $N\triangleleft G$ .

Subkelompok normal penting karena mereka (dan hanya mereka) dapat digunakan untuk membangun kelompok hasil bagi dari grup tertentu. Selanjutnya, subgrup normal dari $G$ tepatnya adalah kernel dari homomorfisme grup dengan domain $G$ , yang berarti bahwa mereka dapat digunakan untuk mengklasifikasikan homomorfisme tersebut secara internal.

Évariste Galois adalah orang pertama yang menyadari pentingnya keberadaan subgrup normal.^[2]

Definisi

Subgrup $N$ dari grup $G$ disebut subgrup normal dari $G$ jika itu invarian di bawah konjugasi; yaitu, konjugasi elemen $N$ dengan elemen $G$ selalu dalam $N$ .^[3] Notasi umum untuk relasi ini adalah $N\triangleleft G$ .

Kondisi yang setara

Untuk setiap subgrup $N$ dari $G$ , kondisi berikut adalah ekuivalen ke {{math | N } } menjadi subgrup normal dari $G$ . Oleh karena itu, salah satu dari mereka dapat dianggap sebagai definisi:

Gambar konjugasi $N$ oleh salah satu elemen $G$ adalah himpunan bagian dari $N$ .^[4]'
Gambar konjugasi $N$ oleh elemen apa pun dari $G$ sama dengan $N$ .^[4]
Untuk $g$ di $G$ , koset kiri dan kanan $gN$ dan $Ng$ adalah sama.^[4]
Himpunan kohimpunan kiri dan kanan dari $N$ di $G$ bertepatan.^[4]
Produk dari elemen koset kiri $N$ sehubungan dengan $g$ dan elemen kohimpunan kiri $N$ sehubungan dengan $h$ adalah elemen kohimpunan kiri dari $N$ dengan $gh$ : $\forall x, y, g, h \in G$ , jika $x \in gN$ dan $y \in hN$ maka $xy \in (gh) N$ .
$N$ adalah union dari kelas konjugasi dari $G$ .^[2]
$N$ diawetkan oleh automorfisme batin dari $G$ .^[5]
Ada beberapa homomorfisme grup $G \to H$ pada kernel adalah $N$ .^[2]
Untuk $n\in N$ dan $g\in G$ , komutator $[n,g]=n^{-1}g^{-1}ng$ pada $N$ .^{[butuh rujukan]}
Setiap dua elemen bolak-balik terkait hubungan keanggotaan subkelompok normal: $\forall g, h \in G, gh \in N \Leftrightarrow hg \in N$ .^{[butuh rujukan]}

Contoh

Subgrup sepele ${e}$ hanya terdiri dari elemen identitas $G$ dan $G$ itu sendiri selalu merupakan subgrup normal dari $G$ . Jika ini adalah satu-satunya subgrup normal, maka $G$ dikatakan sederhana.^[6]
Setiap subgrup $N$ dari grup abelian $G$ adalah normal, karena $gN=\{gn\}_{n\in N}=\{ng\}_{n\in N}=Ng.$ A grup yang bukan abelian tetapi setiap subgrupnya normal disebut grup Hamilton.^[7]
pusat grup adalah subkelompok normal.^[8]
Secara lebih umum, setiap subgrup karakteristik adalah normal, karena konjugasi selalu merupakan automorfisme.^[9]
Subgrup komutator $[G,G]$ adalah subgrup normal dari $G$ .^[10]
Grup terjemahan adalah subgrup normal dari grup Euclidean dalam dimensi apa pun.^[11] Artinya: menerapkan transformasi kaku, diikuti oleh terjemahan, dan kemudian transformasi kaku terbalik, memiliki efek yang sama sebagai terjemahan tunggal (meskipun biasanya terjemahan yang berbeda dari yang kita gunakan sebelumnya). Sebaliknya, subkelompok dari semua rotasi tentang asal adalah bukan subkelompok normal dari grup Euclidean, selama dimensinya minimal 2: mula-mula menerjemahkan, lalu memutar tentang asal, lalu menerjemahkan kembali biasanya tidak akan menetapkan asal dan oleh karena itu tidak akan memiliki efek yang sama seperti rotasi tunggal tentang asal.
Dalam Grup Kubus Rubik, subgrup yang terdiri dari operasi yang hanya mempengaruhi orientasi potongan sudut atau potongan tepi adalah normal.^[12]

Sifat

Jika $H$ adalah subgrup normal dari $G$ , dan $K$ adalah subgrup dari $G$ berisi $H$ , maka $H$ adalah subgrup normal dari $K$ .^[13]
Subgrup normal dari subkelompok normal dari suatu kelompok tidak harus normal dalam kelompok tersebut. Artinya, normalitas bukanlah hubungan transitif. Grup terkecil yang menunjukkan fenomena ini adalah grup dihedral berorde 8.^[14] Namun, subgrul karakteristik dari subkelompok normal adalah normal.^[15] Sebuah kelompok yang normalitasnya transitif disebut T-grup.^[16]
Dua grup $G$ dan $H$ adalah subgrup normal dari produk langsung $G \times H$ .
Jika grup $G$ adalah produk setengah langsung $G=N\rtimes H,$ , maka $N$ adalah normal dalam $G$ , meskipun $H$ tidak perlu menjadi normal dalam $G$ .
Normalitas dipertahankan di bawah homomorfisme dugaan,^[17] yaitu jika $G \to H$ adalah homomorfisme kelompok dugaan dan $N$ adalah normal di $G$ , lalu gambar $f (N)$ normal dalam $H$ .
Normalitas dipertahankan dengan mengambil gambar terbalik,^[17] i.e. if $G \to H$ adalah homomorfisme grup dan $N$ normal dalam $H$ , maka gambar terbalik $f -1 (N)$ pada $G$ .
Normalitas dipertahankan pada pengambilan produk langsung,^[18] yaitu jika $N_{1}\triangleleft G_{1}$ dan $N_{2}\triangleleft G_{2}$ , maka $N_{1}\times N_{2}\;\triangleleft \;G_{1}\times G_{2}$ .
Setiap subgrup indeks 2 adalah normal. Secara lebih umum, subgrup, $H$ , dari indeks hingga, $n$ , pada $G$ berisi subgrup, $K$ , normal di $G$ dan pembagi indeks $n!$ disebut normal core. Khususnya, jika $p$ adalah bilangan prima terkecil yang membagi urutan $G$ , maka setiap subgrup indeks {{math | p } } normal.^[19]
Fakta bahwa subgrup normal dari $G$ adalah kernel homomorfisme grup yang didefinisikan pada G menjelaskan beberapa pentingnya subgrup normal; mereka adalah cara untuk mengklasifikasikan secara internal semua homomorfisme yang didefinisikan dalam sebuah grup. Misalnya, grup terbatas non-identitas adalah sederhana jika dan hanya jika isomorfik untuk semua gambar homomorfik non-identitasnya,^[20] sebuah grup berhingga adalah sempurna jika dan hanya jika grup tersebut tidak memiliki subgrup normal dari prime indeks, dan sebuah grup adalah tidak sempurna jika dan hanya jika subgrup turunan tidak ditambah dengan subgrup normal yang sesuai.

Kisi subgrup normal

Diberikan dua subgrup normal, $N$ dan $M$ , dari $G$ , persimpangannya $N\cap M$ and their product $NM=\{nm\mid n\in N\;{\text{ dan }}\;m\in M\}$ juga merupakan subgrup normal dari $G$ .

Subgrup normal dari $G$ membentuk kisi di bawah subset inclusion dengan least element, ${e}$ , dan elemen terbesar, $G$ . bertemu dari dua subgrup normal, $N$ dan $M$ , dalam kisi ini adalah perpotongannya dan join adalah hasil kali mereka.

Kisi tersebut adalah lengkap dan modular.^[18]

Subgrup normal, grup hasil bagi dan homomorfisme

Jika $N$ adalah subgrup normal, kita bisa mendefinisikan perkalian koset sebagai berikut: $(a_{1}N)(a_{2}N):=(a_{1}a_{2})N.$ Relasi ini mendefinisikan pemetaan $G/N\times G/N\to G/N$ . Untuk menunjukkan bahwa pemetaan ini terdefinisi dengan baik, perlu dibuktikan bahwa pemilihan elemen perwakilan $a_{1},a_{2}$ tidak mempengaruhi hasil. Untuk tujuan ini, pertimbangkan beberapa elemen perwakilan lainnya $a_{1}'\in a_{1}N,a_{2}'\in a_{2}N$ . Maka ada $n_{1},n_{2}\in N$ mendefinisikan $a_{1}'=a_{1}n_{1},a_{2}'=a_{2}n_{2}$ . Oleh karena itu $a_{1}'a_{2}'N=a_{1}n_{1}a_{2}n_{2}N=a_{1}a_{2}n_{1}'n_{2}N=a_{1}a_{2}N,$ di mana kami menggunakan $N$ adalah subgrup normal , dan oleh karena itu ada $n_{1}'\in N$ karena $n_{1}a_{2}=a_{2}n_{1}'$ . Ini membuktikan bahwa produk ini adalah pemetaan antar kohimpunan yang terdefinisi dengan baik.

Dengan operasi ini, himpunan coset itu sendiri adalah sebuah grup, yang disebut grup hasil bagi dan dilambangkan dengan $G / N$ . Ada homomorfisme alami, $f : G \to G/N$ , given by $f (a) = aN$ . Homomorfisme ini memetakan $N$ ke dalam elemen identitas $G/N$ , yang merupakan kohimpunan $eN = N$ ,^[21] that is, $\ker(f)=N$ .

Secara umum, homomorfisme grup, $f : G \to H$ mengirim subgrup dari $G$ ke subgrup dari $H$ . Juga, preimage dari setiap subgrup dari $H$ adalah subgrup dari $G$ . Kami menyebut preimage dari grup trivial ${e}$ di $H$ kernel dari homomorfisme dan dilambangkan dengan $ker(f)$ . Ternyata, kernel selalu normal dan citra $G$ , $f (G)$ , selalu isomorfik menjadi $G /ker(f)$ (the teorema isomorfisme pertama).^[22] Nyatanya, korespondensi ini adalah bijection antara himpunan semua kelompok hasil bagi dari $G$ , $G / N$ , dan himpunan semua gambar homomorfik dari $G$ (hingga isomorfisme).^[23] Juga mudah untuk melihat bahwa kernel peta hasil bagi, $f : G \to G/N$ , adalah $N$ itu sendiri, jadi subgrup normal tepatnya adalah kernel homomorfisme dengan domain $G$ .^[24]

Lihat pula

Operasi membawa subkelompok ke subkelompok

Properti subkelompok yang saling melengkapi (atau berlawanan) dengan normalitas

Properti subkelompok lebih kuat dari normalitas

Properti subkelompok lebih lemah dari normalitas

Gagasan terkait dalam aljabar

Ideal (teori gelanggang)

Catatan

^ Bradley 2010, hlm. 12.
^ ^a ^b ^c Cantrell 2000, hlm. 160.
^ Dummit & Foote 2004.
^ ^a ^b ^c ^d Hungerford 2003, hlm. 41.
^ Fraleigh 2003, hlm. 141.
^ Robinson 1996, hlm. 16.
^ Hall 1999, hlm. 190.
^ Hungerford 2003, hlm. 45.
^ Hall 1999, hlm. 32.
^ Hall 1999, hlm. 138.
^ Thurston 1997, hlm. 218.
^ Bergvall et al. 2010, hlm. 96.
^ Hungerford 2003, hlm. 42.
^ Robinson 1996, hlm. 17.
^ Robinson 1996, hlm. 28.
^ Robinson 1996, hlm. 402.
^ ^a ^b Hall 1999, hlm. 29.
^ ^a ^b Hungerford 2003, hlm. 46.
^ Robinson 1996, hlm. 36.
^ Dõmõsi & Nehaniv 2004, hlm. 7.
^ Hungerford 2003, hlm. 42–43.
^ Hungerford 2003, hlm. 44.
^ Robinson 1996, hlm. 20.
^ Hall 1999, hlm. 27.

Referensi

Bergvall, Olof; Hynning, Elin; Hedberg, Mikael; Mickelin, Joel; Masawe, Patrick (16 May 2010). "On Rubik's Cube" (PDF). KTH.
Cantrell, C.D. (2000). Modern Mathematical Methods for Physicists and Engineers. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-59180-5.
Dõmõsi, Pál; Nehaniv, Chrystopher L. (2004). Algebraic Theory of Automata Networks. SIAM Monographs on Discrete Mathematics and Applications. SIAM.
Dummit, David S.; Foote, Richard M. (2004). Abstract Algebra (edisi ke-3rd). John Wiley & Sons. ISBN 0-471-43334-9.
Fraleigh, John B. (2003). A First Course in Abstract Algebra (edisi ke-7th). Addison-Wesley. ISBN 978-0-321-15608-2.
Hall, Marshall (1999). The Theory of Groups. Providence: Chelsea Publishing. ISBN 978-0-8218-1967-8.
Hungerford, Thomas (2003). Algebra. Graduate Texts in Mathematics. Springer.
Robinson, Derek J. S. (1996). A Course in the Theory of Groups. Graduate Texts in Mathematics. 80 (edisi ke-2nd). Springer-Verlag. ISBN 978-1-4612-6443-9. Zbl 0836.20001.
Thurston, William (1997). Levy, Silvio, ed. Three-dimensional geometry and topology, Vol. 1. Princeton Mathematical Series. Princeton University Press. ISBN 978-0-691-08304-9.
Bradley, C. J. (2010). The mathematical theory of symmetry in solids : representation theory for point groups and space groups. Oxford New York: Clarendon Press. ISBN 978-0-19-958258-7. OCLC 859155300.

Bacaan lebih lanjut

I. N. Herstein, Topics in algebra. Second edition. Xerox College Publishing, Lexington, Mass.-Toronto, Ont., 1975. xi+388 pp.

Pranala luar

[FOOTNOTEBradley201012-1] Bradley 2010, hlm. 12.

[FOOTNOTECantrell2000160-2] Cantrell 2000, hlm. 160.

[FOOTNOTEDummitFoote2004-3] Dummit & Foote 2004.

[FOOTNOTEHungerford200341-4] Hungerford 2003, hlm. 41.

[FOOTNOTEFraleigh2003141-5] Fraleigh 2003, hlm. 141.

[FOOTNOTERobinson199616-6] Robinson 1996, hlm. 16.

[FOOTNOTEHall1999190-7] Hall 1999, hlm. 190.

[FOOTNOTEHungerford200345-8] Hungerford 2003, hlm. 45.

[FOOTNOTEHall199932-9] Hall 1999, hlm. 32.

[FOOTNOTEHall1999138-10] Hall 1999, hlm. 138.

[FOOTNOTEThurston1997218-11] Thurston 1997, hlm. 218.

[FOOTNOTEBergvallHynningHedbergMickelin201096-12] Bergvall et al. 2010, hlm. 96.

[FOOTNOTEHungerford200342-13] Hungerford 2003, hlm. 42.

[FOOTNOTERobinson199617-14] Robinson 1996, hlm. 17.

[FOOTNOTERobinson199628-15] Robinson 1996, hlm. 28.

[FOOTNOTERobinson1996402-16] Robinson 1996, hlm. 402.

[FOOTNOTEHall199929-17] Hall 1999, hlm. 29.

[FOOTNOTEHungerford200346-18] Hungerford 2003, hlm. 46.

[FOOTNOTERobinson199636-19] Robinson 1996, hlm. 36.

[FOOTNOTEDõmõsiNehaniv20047-20] Dõmõsi & Nehaniv 2004, hlm. 7.

[FOOTNOTEHungerford200342–43-21] Hungerford 2003, hlm. 42–43.

[FOOTNOTEHungerford200344-22] Hungerford 2003, hlm. 44.

[FOOTNOTERobinson199620-23] Robinson 1996, hlm. 20.

[FOOTNOTEHall199927-24] Hall 1999, hlm. 27.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[18]

[19]

[20]

[21]

[22]

[23]

[24]