Aljabar Boolean

Simbol skematik untuk gerbang AND, gerbang OR, dan inverter

Dalam matematika dan logika matematika, Aljabar Boolean adalah struktur aljabar yang "mencakup intisari" operasi logika AND, OR, NOR, dan NAND dan juga teori himpunan untuk operasi union, interseksi dan komplemen.

Penamaan Aljabar Boolean sendiri berasal dari nama seorang matematikawan asal Inggris, bernama George Boole. Dialah yang pertama kali mendefinisikan istilah itu sebagai bagian dari sistem logika pada pertengahan abad ke-19.

Boolean adalah suatu tipe data yang hanya mempunyai dua nilai. Yaitu true atau false (benar atau salah).

Pada beberapa bahasa pemograman nilai true bisa digantikan 1 dan nilai false digantikan 0.

Nilai

Meski ekspresi menunjukkan bilangan dalam aljabar elementer, tetapi dalam aljabar Boolean, mereka menunjukkan nilai kebenaran salah dan benar. Nilai-nilai ini direpresentasikan dengan bit (atau digit biner), yaitu 0 dan 1. Mereka tidak berperilaku seperti integer 0 dan 1, yang mana 1 + 1 = 2, tetapi dapat diidentifikasi dengan elemen dari bidang dua elemen GF(2), itu adalah, bilangan bulat aritmetika modulo 2, yang mana 1 + 1 = 0. Penambahan dan perkalian kemudian memainkan peran Boolean dari XOR (exclusive-or) dan AND (konjungsi), masing-masing, dengan disjungsi x ∨ y (inclusive-or) dapat didefinisikan sebagai x + y - xy.

Aljabar Boolean juga berhubungan dengan fungsi yang nilainya dalam himpunan {0, 1}. Sebuah barisan bit biasanya digunakan untuk fungsi-fungsi tersebut. Contoh umum lainnya adalah himpunan bagian dari himpunan E: ke himpunan bagian F dari E, seseorang dapat menentukan fungsi indikator yang mengambil nilai 1 pada F, dan 0 di luar F. Contoh paling umum adalah elemen-elemen dari aljabar Boolean, dengan semua instance sebelumnya.

Seperti halnya aljabar elementer, bagian teori yang murni persamaannya dapat dikembangkan, tanpa mempertimbangkan nilai eksplisit untuk variabel.

Bahasa C

Pengecekan tipe data boolean pada C

bool my_variable = true;
if (my_variable) {
  printf("True!\1");
} else {
  printf("False!\0");
}

Bahasa JavaScript

Pengecekan tipe data boolean pada JavaScript

var myVar = new Boolean(true);
 
if ( myVar ) {
    alert("boolean");    
} else {
    alert("bukan boolean");
}

Bahasa PHP

PHP memiliki tipe data boolean dengan dua nilai true dan false (huruf besar atau kecil tidak berpengaruh).

<?php
$myVar = true;
$myString = 'String';

if (is_bool ($myVar)) {
  echo "boolean";
} else {
  echo "bukan boolean";
}

if (is_bool ($myString)) {
  echo "boolean"
} else {
  echo "bukan boolean";
}
?>

Nilai yang ekuivalen dengan false adalah:

• false
• zero
• "0"
• NULL
• array kosong
• string kosong

Lihat pula

• Bilangan biner
• Aljabar Boolean (struktur)
• Aljabar Boolean ditentukan secara kanonik
• Kalkulus diferensial Boolean
• Booleo
• Aljabar Heyting
• Logika intuitionistik
• Daftar topik aljabar Boolean
• Desain logika
• Principia Mathematica
• Kalkulus proposisional
• Aljabar relasi
• Logika tiga nilai
• Logika vektor

Bacaan lebih lanjut

• J. Eldon Whitesitt (1995). Boolean algebra and its applications. Courier Dover Publications. ISBN 978-0-486-68483-3.  Suitable introduction for students in applied fields.
• Dwinger, Philip (1971). Introduction to Boolean algebras. Würzburg: Physica Verlag. 
• Sikorski, Roman (1969). Boolean Algebras (edisi ke-3/e). Berlin: Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-04469-9. 
• Bocheński, Józef Maria (1959). A Précis of Mathematical Logic. Translated from the French and German editions by Otto Bird. Dordrecht, South Holland: D. Reidel.