Logaritma alami

Logaritma natural adalah logaritma yang berbasis e, dimana e adalah 2.718281828459... (dan seterusnya). Logaritma natural terdefinisikan untuk semua bilangan real positif x dan dapat juga didefinisikan untuk bilangan kompleks yang bukan 0.

• Ahli matematika biasanya menggunakan "ln(x)" atau "log(x)" untuk menotasikan log_e(x), atau logaritma natural dari x, dan menggunakan "log₁₀(x)" untuk menotasikan logaritma berbasis 10 dari x.

• Insinyur, ahli biologi, dan orang dalam bidang-bidang lain, hanya menggunakan "ln(x)" atau kadang-kadang (untuk supaya lebih jelas) "log_e(x)" untuk menotasikan logaritma natural dari x, dan "log(x)" digunakan untuk logaritma berbasis 10, log₁₀(x) atau, dalam konteks teknik komputer, log₂(x).

• Kebanyakan bahasa komputer, termasuk C, C++, Fortran, dan BASIC, "log" atau "LOG" berarti logaritma natural.

• Pada kalkulator, tombol ln berarti logaritma natural, sedangkan tombol log adalah untuk logaritma berbasis 10.

Lihat juga logaritma.

Ln sebagai invers fungsi eksponensial natural

Fungsi ln adalah invers dari fungsi eksponensial:

$\ e^{\ln(x)}=x\,\!$      untuk semua x yang positif dan

$\ ln(e^{x})=x\,\!$      untuk semua x yang real.

Logaritma dapat didefinisikan untuk basis lainnya, asal positif, tidak hanya e, dan biasanya berguna untuk memecahkan persamaan yang variabel tidak diketahuinya merupakan pangkat dari variabel lain.

Mengapa disebut "natural"

Sekilas, tampaknya yang lebih "natural" tentunya adalah logaritma yang berbasis 10, karena basis angka yang digunakan umumnya juga 10. Namun, ada dua alasan mengapa ln(x) disebut logaritma natural: pertama, persamaan-persamaan yang variable tak diketahuinya merupakan pangkat dari e jauh lebih sering dijumpai dibanding yang merupakan pangkat dari 10 (karena sifat-sifat "natural" dari fungsi eksponensial yang dapat menggambarkan growth/pertumbuhan dan decay/penurunan), dan kedua, karena logaritma natural dapat didefinisikan dengan mudah menggunakan integral yang dasar atau Deret Taylor (lihat penjelasan di bawah), dan logaritma berbasis lainnya tidak dapat didefinisikan seperti ini.

Sebagai contoh, lihat turunan dibawah ini:

${\frac {d}{dx}}\log _{b}(x)={\frac {1}{x\cdot \ln b}}$

Jika basis b adalah e maka turunan yang didapat adalah 1/x dan jika x=1, kemiringan kurva adalah 1.

Definisi

Secara formal, ln(a) dapat didefinisikan sebagai luas dibawah grafik (integral) dari 1/x dihitung dari 1 ke a, atau,

$\ ln(a)=\int _{1}^{a}{\frac {1}{x}}\,dx.$

Definisi tersebut mendefinisikan suatu logaritma, karena memenuhi sifat fundamental logaritma, yaitu:

$\ ln(ab)=\ln(a)+\ln(b)\,\!$

Ini dapat ditunjukkan dengan mendefinisikan $\phi (t)=at$ dan dengan menggunakan rumus substitusi:

$\ln(ab)=\int _{1}^{ab}{\frac {1}{x}}\;dx=\int _{1}^{a}{\frac {1}{x}}\;dx\;+\int _{a}^{ab}{\frac {1}{x}}\;dx=\int _{1}^{a}{\frac {1}{x}}\;dx\;+\int _{1}^{b}{\frac {1}{t}}\;dt=\ln(a)+\ln(b)$

Bilangan e, selanjutnya dapat didefinisikan sebagai bilangan real yang unik a dimana $\ln(a)=1$.