Vektor Euklides

Vektor spasial atau vektor Euclides; biasa disebut vektor dalam matematika dan fisika adalah objek geometri yang memiliki besar dan arah.^[1] Vektor dilambangkan dengan tanda panah (→). Besar vektor proporsional dengan panjang panah dan arahnya bertepatan dengan arah panah. Vektor dapat melambangkan perpindahan dari titik A ke B.^[2] Vektor sering ditandai sebagai ${\overrightarrow {AB}}.$ ^[3] Sistem koordinat digunakan untuk memberikan pernyataan arah pada vektor. Jenis besaran fisika yang termasuk ke dalam vektor ialah kecepatan, percepatan, gaya, perpindahan dan momentum dari suatu objek.^[4]

Panjang

Untuk mencari panjang sebuah vektor dalam ruang euklidian tiga dimensi, dapat digunakan cara berikut:

\left\|\mathbf {a} \right\|={\sqrt {{a_{1}}^{2}+{a_{2}}^{2}+{a_{3}}^{2}}}

yang merupakan konsekuensi dari Teorema Pythagoras karena vektor dasar e₁, e₂, e₃ merupakan vektor-vektor satuan ortogonal. Ini sama dengan akar pangkat dua produk titik dari vektor itu sendiri:^[5]

\left\|\mathbf {a} \right\|={\sqrt {\mathbf {a} \cdot \mathbf {a} }}.

Vektor satuan

"Vektor satuan" (bahasa Inggris: unit vector) adalah suatu vektor dengan panjang "satu". Biasanya vektor satuan hanya digunakan untuk menunjukkan arah. Suatu vektor dengan panjang sembarang dapat dibagi oleh panjang untuk mendapatkan vektor satuan. Ini dikenal sebagai "normalisasi" (normalizing) suatu vektor. Suatu vektor satuan sering diindikasikan dengan sebuah "topi" di atas huruf "a" kecil sebagaimana pada â.

Untuk menormalisasi suatu vektor a = [a₁, a₂, a₃], bagilah vektor itu dengan panjangnya ||a||. Jadi:

\mathbf {\hat {a}} ={\frac {\mathbf {a} }{\left\|\mathbf {a} \right\|}}={\frac {a_{1}}{\left\|\mathbf {a} \right\|}}\mathbf {e} _{1}+{\frac {a_{2}}{\left\|\mathbf {a} \right\|}}\mathbf {e} _{2}+{\frac {a_{3}}{\left\|\mathbf {a} \right\|}}\mathbf {e} _{3}

Vektor nol (null vector)

"Vektor nol" (null vector atau zero vector) adalah suatu vektor yang panjangnya "nol".^[6] Penulisan dalam koordinat vektor ini adalah (0,0,0), dan biasanya diberi lambang ${\vec {0}}$ , atau 0. Vektor ini berbeda dengan vektor lain, di mana vektor ini tidak dapat dinormalisasi (yaitu, tidak ada vektor satuan yang merupakan kelipatan vektor nol). Jumlah vektor nol dengan vektor apapun a adalah a (yaitu, 0+a=a).

Kesamaan dua vektor

Dua buah vektor dikatakan sama apabila keduanya memiliki panjang dan arah yang sama.^[7]

Kesejajaran dua vektor

Dua Buah Vektor disebut sejajar (paralel) apabila garis yang merepresentasikan kedua buah vektor sejajar.

Operasi vektor

Perkalian skalar

Sebuah vektor dapat dikalikan dengan skalar yang akan menghasilkan vektor juga, vektor hasil adalah:

r\mathbf {a} =(ra_{1})\mathbf {i} +(ra_{2})\mathbf {j} +(ra_{3})\mathbf {k}

Penambahan vektor dan pengurangan vektor

Sebagai contoh vektor a=a₁i + a₂j + a₃k dan b=b₁i + b₂j + b₃k.

Hasil dari a ditambah b adalah:

\mathbf {a} +\mathbf {b} =(a_{1}+b_{1})\mathbf {i} +(a_{2}+b_{2})\mathbf {j} +(a_{3}+b_{3})\mathbf {k}

pengurangan vektor juga berlaku dengan cara mengganti tanda + menjadi tanda -

Vektor satuan

Vektor satuan adalah vektor yang memiliki panjang 1 satuan panjang. Vektor satuan dari sebuah vektor dapat dicari dengan cara:

\mathbf {\hat {a}} ={\frac {\mathbf {a} }{\left\|\mathbf {a} \right\|}}={\frac {a_{1}}{\left\|\mathbf {a} \right\|}}\mathbf {\hat {i}} +{\frac {a_{2}}{\left\|\mathbf {a} \right\|}}\mathbf {\hat {j}} +{\frac {a_{3}}{\left\|\mathbf {a} \right\|}}\mathbf {\hat {k}}

Lihat pula

Catatan kaki

^ "vector | Definition & Facts". Encyclopedia Britannica (dalam bahasa Inggris). Diakses tanggal 2020-08-20.
^
Indeed in Latin the word vector means "one who carries"; Latin veho = "I carry". For historical development of the word vector, see:
- "vector n.". Oxford English Dictionary (edisi ke-Online). Oxford University Press. Templat:OEDsub
- Miller J. (2007). "Earliest Known Uses of Some of the Words of Mathematics". Diarsipkan dari versi asli tanggal 1999-10-04. Diakses tanggal 2008-08-25. .
^ says, DEB JYOTI MITRA (2020-04-17). "List of Geometry and Trigonometry Symbols". Math Vault (dalam bahasa Inggris). Diakses tanggal 2020-08-20.
^ Nurlina dan Riskawati (2017). Fisika Dasar I (PDF). Makassar: LPP Unismuh Makassar. hlm. 9. ISBN 978-602-8187-70-1.
^ "1.1: Vectors". Mathematics LibreTexts (dalam bahasa Inggris). 2013-11-07. Diakses tanggal 2020-08-21.
^ Weisstein, Eric W. "Vector". mathworld.wolfram.com (dalam bahasa Inggris). Diakses tanggal 2020-08-20.
^ Vince 2009, hlm. 2.

Bacaan Lebih Lanjut

Kurnianingsih, Sri (2007). Matematika SMA dan MA 3A Untuk Kelas XII Semester 1 Program IPA. Jakarta: Esis/Erlangga. ISBN 979-734-504-1. (Indonesia)

Daftar Pustaka

Vince, John (2007). Vector Analysis for Computer Graphics. London: Springer. hlm. 2. ISBN 978-1-84628-803-6.

Pranala luar

(Indonesia) Besaran vektor dan skalar
(Inggris) Online vector identities Diarsipkan 2012-08-01 di Wayback Machine. (PDF)

[1] "vector | Definition & Facts". Encyclopedia Britannica (dalam bahasa Inggris). Diakses tanggal 2020-08-20.

[2] Indeed in Latin the word vector means "one who carries"; Latin veho = "I carry". For historical development of the word vector, see:
"vector n.". Oxford English Dictionary (edisi ke-Online). Oxford University Press. Templat:OEDsub

Miller J. (2007). "Earliest Known Uses of Some of the Words of Mathematics". Diarsipkan dari versi asli tanggal 1999-10-04. Diakses tanggal 2008-08-25. .

[3] "vector n.". Oxford English Dictionary (edisi ke-Online). Oxford University Press. Templat:OEDsub

[4] Miller J. (2007). "Earliest Known Uses of Some of the Words of Mathematics". Diarsipkan dari versi asli tanggal 1999-10-04. Diakses tanggal 2008-08-25. .

[3] says, DEB JYOTI MITRA (2020-04-17). "List of Geometry and Trigonometry Symbols". Math Vault (dalam bahasa Inggris). Diakses tanggal 2020-08-20.

[4] Nurlina dan Riskawati (2017). Fisika Dasar I (PDF). Makassar: LPP Unismuh Makassar. hlm. 9. ISBN 978-602-8187-70-1.

[5] "1.1: Vectors". Mathematics LibreTexts (dalam bahasa Inggris). 2013-11-07. Diakses tanggal 2020-08-21.

[6] Weisstein, Eric W. "Vector". mathworld.wolfram.com (dalam bahasa Inggris). Diakses tanggal 2020-08-20.

[FOOTNOTEVince20092-7] Vince 2009, hlm. 2.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

l b s Aljabar linear
Konsep dasar	Skalar Vektor Ruang vektor Perkalian skalar Proyeksi vektor Rentang linear Peta linear Proyeksi linear Kebebasan linear Kombinasi linear Basis Vektor kolom dan baris Ruang kolom dan baris Keortogonalan Kernel Nilai eigen dan vektor eigen Hasil kali luar Ruang hasil kali dalam Hasil kali titik Transpos Proses Gram–Schmidt Persamaan linear
Aljabar vektor	Hasil kali silang Hasil kali tripel Hasil kali silang tujuh dimensi
Aljabar multilinear	Aljabar geometri Aljabar eksterior Bivektor Multivektor Tensor Morfisme luar
Matriks	Blok Penguraian Dapat dibalik Minor Perkalian Rank Transformasi Aturan Cramer Eliminasi Gauss Determinan
Konstruksi aljabar	Dual Hasil kali tensor Jumlah langsung Kuosien Ruang fungsi Subruang
Numerik	Floating-point Stabilitas numerik Basic Linear Algebra Subprograms (BLAS) Matriks rongga Perbandingan pustaka aljabar linear Perbandingan perangkat lunak analisis numerik
Kategori Garis besar Portal matematika Wikibuku

Pengawasan otoritas
Umum	Integrated Authority File (Jerman)
Lain-lain	Microsoft Academic