Persamaan Böttcher

Persamaan Böttcher adalah persamaan fungsional

$F(h(z))=(F(z))^{n}$

dimana

• h adalah fungsi analitik tertentu dengan superatraksi titik tetap dengan orde n pada a, (that is, $h(z)=a+c(z-a)^{n}+O((z-a)^{n+1})~,$ di lingkungan dari a), dengan n ≥ 2
• F adalah fungsi yang dicari.

Logaritma dari persamaan fungsional ini berjumlah persamaan Schröder.

Nama

Persamaan ini dinamai Lucjan Böttcher.

Solusi

Solusi dari persamaan fungsional adalah fungsi dalam bentuk implisit.

Lucian Emil Böttcher membuat sketsa bukti pada tahun 1904 tentang keberadaan solusi: fungsi analitik F di lingkungan titik tetap a , sedemikian rupa sehingga:

$F(a)=0$

Solusi ini terkadang disebut:

• koordinat Böttcher
• fungsi Böttcher
• peta Boettcher.

Bukti lengkapnya diterbitkan oleh Joseph Ritt pada tahun 1920, yang tidak mengetahui formulasi aslinya.

Koordinat Böttcher (logaritma dari fungsi Schröder) konjugasi h(z) di lingkungan titik tetap ke fungsi tersebut zⁿ. Kasus yang sangat penting adalah ketika h (z) adalah polinomial derajat n, dan a = ∞ .

Contoh

Untuk fungsi h dan n = 2

$h(x)={\frac {x^{2}}{1-2x^{2}}}$

fungsi Böttcher F adalah:

$F(x)={\frac {x}{1+x^{2}}}$

Aplikasi

Persamaan Böttcher memainkan peran fundamental di bagian dinamika holomorfik yang mempelajari iterasi dari polinomial dari satu variabel kompleks.

Properti global dari koordinat Böttcher dipelajari oleh Fatou dan Douady dan Hubbard.

Lihat pula

• Persamaan Schröder
• Sinar eksternal