Lompat ke isi

Teorema apit

Dari Wikipedia bahasa Indonesia, ensiklopedia bebas
Ilustrasi teorema apit, dengan fungsi berwarna biru, diapit oleh fungsi berwarna hijau dan merah.

Dalam kalkulus, teorema apit merupakan teorema yang melibatkan limit pada suatu fungsi yang diapit oleh dua fungsi lain sehingga ketiga fungsi tersebut memiliki nilai limit yang sama.[1] Sebagai ilustrasi, dapat terlihat pada gambar di samping bahwa fungsi yang berwarna biru diapit dari atas oleh fungsi yang berwarna hijau dan di apit dari bawah oleh fungsi yang berwarna merah.

Teorema apit sering digunakan pada bidang kalkulus dan analisis matematika untuk mencari nilai limit dengan cara membandingkannya dengan dua fungsi lain yang nilai limitnya diketahui. Teorema ini pertama kali digunakan secara geometris oleh matematikawan Archimedes dan Eudoksos untuk menghitung nilai π, yang kemudian dirumuskan menggunakan notasi modern oleh Carl Friedrich Gauss.

Pernyataan

[sunting | sunting sumber]

Teorema apit secara formal dapat dinyatakan sebagai berikut:[2][3]

Teorema —  Misalkan adalah selang yang memuat titik . Misalkan , , dan adalah fungsi yang terdefinisi pada , dengan

untuk setiap . Jika , maka

  • Fungsi dan (berturut-turut) disebut sebagai batas bawah dan atas dari fungsi
  • Titik tidak diharuskan berada pada interior dari . Jika adalah titik ujung dari , maka limit di atas adalah limit kiri atau limit kanan.
  • Pernyataan serupa juga berlaku untuk selang takhingga. Sebagai contoh, jika , maka teorema apit dapat digunakan dengan mengambil limit saat mendekati

Supremum dan Infimum

[sunting | sunting sumber]

Menurut hipotesis di atas, maka

  • , dan

Oleh karena , maka dengan mengambil limit saat mendekati , diperoleh rantai pertidaksamaan

[butuh rujukan]

Perhatikan bahwa , sehingga rantai pertidaksamaan di atas menjadi rantai persamaan, maka dapat disimpulkan bahwa

Definisi (ε, δ) dari limit

[sunting | sunting sumber]

Diketahui dan . Jika diberikan suatu , maka

Oleh karena pertidaksamaan ekuivalen dengan pertidaksamaan , dengan memilih , maka diperoleh rantai pertidaksamaan

yang mengakibatkan (atau menggunakan tanda mutlak, ). Sehingga, terbukti bahwa .[4] Q.E.D.

Teorema apit untuk barisan

[sunting | sunting sumber]
Ilustrasi teorema apit untuk barisan.

Teorema ini juga dapat diterapkan pada barisan. Misalkan dan adalah barisan yang konvergen ke dan adalah suatu barisan. Jika terdapat suatu bilangan sedemikian sehingga berlaku

untuk setiap nilai , maka barisan juga konvergen ke .[5][6]

Pernyataan di atas dapat dibuktikan dengan cara serupa seperti sebelumnya. Diketahui dan sama-sama konvergen ke . Jika diberikan suatu , maka

Oleh karena pertidaksamaan ekuivalen dengan pertidaksamaan , dengan memilih , maka diperoleh rantai pertidaksamaan

yang mengakibatkan (atau menggunakan tanda mutlak, ). Sehingga, terbukti bahwa barisan juga akan konvergen ke .

Contoh permasalahan

[sunting | sunting sumber]

Contoh pertama

[sunting | sunting sumber]
Fungsi diapit saat nilai nya menuju

Nilai limit dari tidak dapat dicari dengan menggunakan sifat perkalian dari limit, yaitu

sebab nilai tidak ada. Akan tetapi, perhatikan bahwa berlaku pertidaksamaan

untuk setiap bilangan riil . Dengan memilih , maka didapatkan rantai pertidaksamaan

Sehingga, dapat disimpulkan bahwa

Rincian penjelasan

Baris kedua diperoleh dengan mengalikan semua ruas pertidaksamaannya dengan . Tanda pertidaksamaan pada baris kedua tidak berubah, sebab nilai selalu non-negatif.

Oleh karena dan , maka menurut teorema apit, nilai haruslah 0 juga.

Contoh kedua

[sunting | sunting sumber]
Ilustrasi geometris untuk membuktikan

Salah satu contoh yang paling terkenal mengenai pencarian limit melalui proses penghimpitan adalah pembuktian nilai

Untuk membuktikan hasil pertama, dapat dengan mudah terlihat (dengan menggunakan ilustrasi geometris di bagian kanan) bahwa[butuh rujukan]

sehingga diperoleh rantai pertidaksamaan

untuk nilai yang cukup dekat dengan . Oleh karena fungsi kosinus dan fungsi sinc sama-sama merupakan fungsi genap, maka pertidaksamaan di atas juga berlaku untuk nilai negatif. Dengan mengambil nilai limit saat mendekati , maka didapatkan

Untuk membuktikan hasil kedua, dengan menggunakan ilustrasi yang sama, perhatikan bahwa dan sama-sama merupakan jari-jari lingkaran, sehingga segitiga merupakan segitiga sama kaki. Oleh karena , maka didapatkan . Akibatnya,

Sehingga,

untuk nilai positif yang cukup dekat dengan . Oleh karena fungsi dan fungsi sinus sama-sama merupakan fungsi ganjil, maka pertidaksamaan di atas akan menjadi

yang berlaku untuk nilai negatif yang cukup dekat dengan . Dengan mengambil nilai limit saat mendekati dari kiri dan dari kanan, maka didapatkan

Pembuktian alternatif

Dengan menggunakan identitas Pythagoras beserta informasi yang telah diperoleh sebelumnya, maka didapatkan

Kedua nilai limit ini digunakan untuk membuktikan turunan dari fungsi sinus adalah fungsi kosinus.

Contoh ketiga

[sunting | sunting sumber]

Proses penghimpitan juga dapat digunakan untuk membuktikan

Ilustrasi geometris untuk membuktikan

Berikut adalah penjelasan ilustrasi di bagian kanan :

  • Konstruksikan lingkaran satuan yang berpusat pada titik asal beserta garis dan garis , untuk suatu parameter .
    • Dengan bantuan identitas Pythagoras, maka diperoleh jarak titik dengan titik adalah .
  • Kemudian, dikonstruksikan lingkaran berjari-jari dengan pusat yang sama.
  • Lakukan hal serupa untuk sudut

Perhatikan juring lingkaran yang berjari-jari . Saat mendekati , bagian busur lingkaran nya akan mendekati garis lurus, sehingga luas juringnya dapat didekati dengan bangun segitiga. Jika panjang busurnya (yaitu ) dijadikan sebagai alas segitiga, maka tinggi segitiganya adalah jari-jari lingkaran (yaitu ), sehingga diperoleh

Sekarang perhatikan juring lingkaran yang berjari-jari . Dengan argumentasi serupa, maka dapat dengan mudah ditunjukkan bahwa luas juringnya (yang dinotasikan dengan ) adalah

Bangun yang akan dihimpit oleh dan adalah segitiga yang memiliki titik sudut pada koordinat , dan . Jika tinggi segitiganya adalah satuan, maka panjang alasnya adalah , sehingga luas segitiganya ialah

Akibatnya, diperoleh rantai pertidaksamaan

dengan asumsi bahwa . Apabila , maka didapatkan

Pada kedua kasus di atas, ekspresi pertama dan ketiga sama-sama mendekati saat mendekati , sedangkan ekspresi di tengah akan mendekati saat mendekati , sehingga terbukti bahwa nilai menggunakan teorema apit.

Contoh keempat

[sunting | sunting sumber]

Teorema apit masih dapat digunakan pada kalkulus multivariabel, namun batas bawah (dan batas atas) fungsinya harus berada di bawah (dan di atas) nilai fungsinya untuk setiap persekitaran titik yang akan diselidiki, bukan untuk suatu lintasan tertentu saja.[7] Misalnya, nilai

terbatas ke atas oleh fungsi dan terbatas ke bawah oleh fungsi untuk setiap titik pada persekitaran .

Penjelasan

Perhatikan bahwa untuk setiap bilangan riil . Akibatnya,

Dengan menggunakan pertidaksamaan yang berlaku untuk setiap bilangan riil , maka didapatkan

Oleh karena dan , maka menurut teorema apit,

Referensi

[sunting | sunting sumber]
  1. ^ "World Web Math: The Squeeze Theorem" [World Web Math: Teorema Apit]. web.mit.edu (dalam bahasa Inggris). Diakses tanggal 2021-12-07. 
  2. ^ "Teorema Apit Limit Fungsi Satu Peubah – Kalkulus dan Aplikasinya" (dalam bahasa Inggris). Diakses tanggal 2021-12-08. 
  3. ^ Sohrab, Houshang H. (2003). Basic Real Analysis [Analisis Riil Dasar] (dalam bahasa Inggris) (edisi ke-2nd). Birkhäuser. hlm. 104. ISBN 978-1-4939-1840-9. 
  4. ^ Varberg, Dale; Purcell, Edward; Rigdon, Steve (2006). Calculus [Kalkulus] (dalam bahasa Inggris) (edisi ke-9th). Pearson. hlm. 72. ISBN 978-0-1314-2924-6. 
  5. ^ Johnsonbaugh, Richard; Pfaffenberger, W. E. (2012-09-11). Foundations of Mathematical Analysis [Pondasi Analisis Matematis] (dalam bahasa Inggris). Courier Corporation. ISBN 978-0-486-13477-2. 
  6. ^ Rossi, Richard J. (2011-10-05). Theorems, Corollaries, Lemmas, and Methods of Proof [Teorema, Akibat, Lemma, dan Metode Pembuktian] (dalam bahasa Inggris). John Wiley & Sons. ISBN 978-1-118-03057-8. 
  7. ^ Stewart, James (2008). "Chapter 15.2 Limits and Continuity". Multivariable Calculus [Kalkulus Multivariabel] (dalam bahasa Inggris) (edisi ke-6th). hlm. 909–910. ISBN 978-0495011637. 

Pranala luar

[sunting | sunting sumber]