Dari Wikipedia bahasa Indonesia, ensiklopedia bebas
Integral Gauss, juga dikenal dengan nama integral Euler–Poisson, merupakan integral dari fungsi Gausse−x2 di sepanjang garis real. Integral ini dinamai dari matematikawan Jerman Carl Friedrich Gauss, yang dirumuskan sebagai
Jenis integral ini awalnya ditemukan oleh Abraham de Moivre pada tahun 1733, tetapi Gauss menerbitkan integral yang tepat pada tahun 1809.[1] Integral ini dapat diaplikasikan untuk berbagai macam hal. Contohnya, dengan sedikit perubahan dalam variabel, integral ini digunakan untuk menghitung konstanta normalisasi dari distribusi normal. Integral yang sama dengan limit yang terbatas sangat terkait dengan fungsi galat dan fungsi distribusi kumulatif dari distribusi normal. Integral ini juga sering digunakan dalam ilmu fisika (khususnya mekanika kuantum).
Cara yang kedua adalah dengan menggunakan integral kulit tabung (kasus integrasi ganda dalam sistem koordinat polar), yang memberikan hasil integral sama dengan π.
Kedua perhitungan di atas memperoleh integral, walaupun perhitungan ini melibatkan integral takwajar:
dengan faktor r merupakan determinan Jacobi yang muncul karena transformasi ke koordinat polar, dan juga karena melibatkan pengambilan s = −r2, sehingga ds = −2rdr. Dengan menggabungkannya, akan menghasilkan
Jadi ketika kedua ruas diakarkuadratkan akan menghasilkan
dengan integral dipahami di . Rumus di atas berlaku dalam studi tentang distribusi normal multivariat. Selain itu, terdapat integral dengan bentuk
dengan adalah permutasi dari dan faktor tambahan di ruas kanan merupakan jumlah dari semua pasangan kombinatorial untuk salinan dari . Di sisi lain,
untuk setiap fungsi analitik, asalkan memenuhi beberapa batasan yang sesuai pada pertumbuhannya dan beberapa kriteria teknis lainnya. Ini bekerja untuk setiap fungsi dan gagal untuk fungsi yang lain. Polinomial juga bekerja untuk hal tersebut. Eksponensial atas operator diferensial dipahami sebagai deret pangkat.
dengan adalah bilangan bulat positif dan menyatakan faktorial ganda. Cara mudah untuk menurunkannya adalah dengan mendiferensialkannya terhadap simbol integral.
Cara lain untuk menghitungnya adalah dengan menggunakan integral parsial dan menemukan relasi pengulangan agar memperoleh solusinya.
Menerapkan perubahan basis linier memperlihatkan bahwa integral dari eksponensial dari polinomial homogen pada n variabel hanya dapat bergantung pada invarian-SL(n) dari polinomial. Salah satu invarian tersebut adalah diskriminan, akar fungsi yang menandai singularitas integral. Sayangnya, integral tersebut juga dapat bergantung pada invarian lainnya.[2]