Magma (aljabar): Perbedaan antara revisi
Tidak ada ringkasan suntingan Tag: Suntingan perangkat seluler Suntingan peramban seluler Suntingan seluler lanjutan |
Dedhert.Jr (bicara | kontrib) Memperbaiki kategori |
||
(10 revisi perantara oleh 4 pengguna tidak ditampilkan) | |||
Baris 1: | Baris 1: | ||
{{periksaterjemahan|en|Magma (algebra)}} |
|||
{{About|struktur aljabar|grupoid dalam teori kategori|Grupoid|kegunaan lain|Magma (disambiguasi)}} |
{{About|struktur aljabar|grupoid dalam teori kategori|Grupoid|kegunaan lain|Magma (disambiguasi)}} |
||
{{Struktur aljabar |Grup}} |
{{Struktur aljabar |Grup}} |
||
[[Gambar:Magma to group4.svg|thumb|right|300px|Struktur aljabar antara magma dan [[Grup (matematika) |
[[Gambar:Magma to group4.svg|thumb|right|300px|Struktur aljabar antara magma dan [[Grup (matematika)|grup]].]] |
||
Dalam [[aljabar abstrak]], '''magma''', '''biner'''<ref>{{citation |first=Clifford |last=Bergman|title=Universal Algebra: Fundamentals and Selected Topics}}</ref> atau '''grupoid''' adalah jenis dasar dari [[struktur aljabar]]. Magma terdiri dari [[Himpunan (matematika) |
Dalam [[aljabar abstrak]], '''magma''', '''biner'''<ref>{{citation |first=Clifford |last=Bergman|title=Universal Algebra: Fundamentals and Selected Topics}}</ref> atau '''grupoid''' adalah jenis dasar dari [[struktur aljabar]]. Magma terdiri dari [[Himpunan (matematika)|himpunan]] dengan [[operasi biner]] tunggal [[penutupan (operasi biner)|tertutup]] menurut definisi. |
||
== Sejarah dan istilah == |
== Sejarah dan istilah == |
||
Istilah ''groupoid'' ditemukan pada tahun 1927 oleh [[Heinrich Brandt]] yang menggambarkan [[Brandt groupoid]] (dari [[bahasa Jerman]] ''Gruppoid''). Istilah ini kemudian digunakan oleh B. A. Hausmann dan [[Øystein Ore]] (1937).<ref>{{citation |first=B. A. |last=Hausmann |first2=Øystein |last2=Ore |title=Theory of quasi-groups |journal=American Journal of Mathematics |volume=59 |issue=4 |pages=983–1004 |year=October 1937 |jstor=2371362 |doi=10.2307/2371362}}</ref> Dalam beberapa ulasan makalah [[Zentralblatt]] tidak setuju dengan istilah yang berlebihan ini. Groupoid Brandt adalah [[grupoid]] dalam arti yang digunakan dalam teori kategori dalam arti yang digunakan oleh Hausmann dan Ore. Namun, buku dalam teori semigrup, termasuk [[Alfred Hoblitzelle Clifford |
Istilah ''groupoid'' ditemukan pada tahun 1927 oleh [[Heinrich Brandt]] yang menggambarkan [[Brandt groupoid]] (dari [[bahasa Jerman]] ''Gruppoid''). Istilah ini kemudian digunakan oleh B. A. Hausmann dan [[Øystein Ore]] (1937).<ref>{{citation |first=B. A. |last=Hausmann |first2=Øystein |last2=Ore |title=Theory of quasi-groups |journal=American Journal of Mathematics |volume=59 |issue=4 |pages=983–1004 |year=October 1937 |jstor=2371362 |doi=10.2307/2371362}}</ref> Dalam beberapa ulasan makalah [[Zentralblatt]] tidak setuju dengan istilah yang berlebihan ini. Groupoid Brandt adalah [[grupoid]] dalam arti yang digunakan dalam teori kategori dalam arti yang digunakan oleh Hausmann dan Ore. Namun, buku dalam teori semigrup, termasuk [[Alfred Hoblitzelle Clifford|Clifford]] dan [[G. B. Preston|Preston]] (1961) dan [[John Mackintosh Howie|Howie]] (1995) menggunakan grupoid. Hollings (2014) menulis bahwa istilah '' groupoid '' adalah "mungkin paling sering digunakan dalam matematika modern" dalam arti yang digunakan dalam teori kategori.<ref name="Hollings2014">{{citation |first=Christopher |last=Hollings |title=Mathematics across the Iron Curtain: A History of the Algebraic Theory of Semigroups |url=https://books.google.com/books?id=O9wJBAAAQBAJ&pg=PA142 |year=2014 |publisher=American Mathematical Society |isbn=978-1-4704-1493-1 |pages=142–3}}</ref> |
||
Menurut Bergman dan Hausknecht (1996): |
Menurut Bergman dan Hausknecht (1996): |
||
{{Quote|"Tidak ada kata yang diterima secara umum untuk himpunan dengan operasi biner asosiatif yang tidak harus. Kata '' groupoid '' digunakan aljabar universal, tetapi para pekerja dalam teori kategori dan bidang terkait sangat menolak penggunaan ini karena mereka menggunakan kata yang sama untuk mengartikan 'kategori di mana semua morfisme invers'. Istilah '' magma '' digunakan oleh [[Jean-Pierre Serre |
{{Quote|"Tidak ada kata yang diterima secara umum untuk himpunan dengan operasi biner asosiatif yang tidak harus. Kata '' groupoid '' digunakan aljabar universal, tetapi para pekerja dalam teori kategori dan bidang terkait sangat menolak penggunaan ini karena mereka menggunakan kata yang sama untuk mengartikan 'kategori di mana semua morfisme invers'. Istilah '' magma '' digunakan oleh [[Jean-Pierre Serre|Serre]] [aljabar Lie dan grup Lie, 1965]."<ref name="BergmanHausknecht1996">{{citation |first=George M. |last=Bergman |first2=Adam O. |last2=Hausknecht |title=Cogroups and Co-rings in Categories of Associative Rings |url=https://books.google.com/books?id=s6NnkQs3JBMC&pg=PA61 |year=1996 |publisher=American Mathematical Society |isbn=978-0-8218-0495-7 |page=61}}</ref>}} Hal ini juga muncul dalam buku oleh [[Nicolas Bourbaki|Bourbaki]] ''[[Éléments de mathématique]]'', Algèbre, chapitres 1 à 3, 1970.<ref name="Bourbaki1998">{{citation |first=N. |last=Bourbaki |title=Algebra I: Chapters 1–3 |chapter=Algebraic Structures: §1.1 Laws of Composition: Definition 1 |chapter-url=https://books.google.com/books?id=STS9aZ6F204C&pg=PA1 |year=1998 |publisher=Springer |isbn=978-3-540-64243-5 |page=1 |orig-year=1970}}</ref> |
||
== Definisi == |
== Definisi == |
||
Magma adalah [[himpunan (matematika) |
Magma adalah [[himpunan (matematika)|himpunan]] <math>M</math> dengan [[Operasi biner|operasi]] <math>\bullet</math> dimana [[elemen (matematika)|elemen]] <math>a, b \in M</math> ke elemen <math>a \bullet b</math>. Simbol <math>\bullet</math> adalah ''placeholder'' umum untuk operasi yang ditentukan. Untuk magma, himpunan dan operasi <math>(M,\bullet)</math> menggunakan sebagai berikut (dikenal sebagai ''magma ''atau '' aksioma ketertutupan''): |
||
: Untuk |
: Untuk <math>a</math>, <math>b</math> dan <math>M</math>, hasil operasi <math>a \bullet b</math> adalah <math>M</math>. |
||
Dan dalam notasi matematika: |
Dan dalam notasi matematika: |
||
: <math>a,b \in M \implies a \cdot b \in M</math>. |
: <math>a,b \in M \implies a \cdot b \in M</math>. |
||
Jika |
Jika <math>\bullet</math> [[operasi parsial]], maka <math>(M,\bullet)</math> disebut '''magma parsial'''<ref name="Müller-HoissenPallo2012">{{citation |editor-first=Folkert |editor-last=Müller-Hoissen |editor2-first=Jean Marcel |editor2-last=Pallo |editor3-first=Jim |editor3-last=Stasheff |title=Associahedra, Tamari Lattices and Related Structures: Tamari Memorial Festschrift |url=https://books.google.com/books?id=Y01d6g5UemQC&pg=PA11 |year=2012 |publisher=Springer |isbn=978-3-0348-0405-9 |page=11}}</ref> atau disebut juga [[grupoid parsial]].<ref name="Müller-HoissenPallo2012"/><ref name="Silver">{{citation |editor-first=Ben |editor-last=Silver |title=Nineteen Papers on Algebraic Semigroups |publisher=American Mathematical Society |isbn=0-8218-3115-1 |last=Evseev |first=A. E. |chapter=A survey of partial groupoids |year=1988}}</ref> |
||
== Morfisme magma == |
== Morfisme magma == |
||
Sebuah [[morfisme]] magma adalah sebuah fungsi, |
Sebuah [[morfisme]] magma adalah sebuah fungsi, <math>f \colon M \to N</math>, memetakan magma <math>M</math> ke magma <math>N</math>, yang dimana operasi biner: |
||
: |
:<math>f(x \bullet _M y) = f(x) \bullet_N f(y)</math> |
||
dimana |
dimana <math>\bullet_M</math> dan <math>\bullet_N</math> menunjukkan operasi biner pada <math>M</math> dan <math>N</math>. |
||
== Notasi dan kombinatorik == |
== Notasi dan kombinatorik == |
||
Operasi magma |
Operasi magma, dan takasosiatif, urutan dinotasikan dengan tanda kurung. Maka operasi <math>\bullet</math> dihilangkan dan dinotasikan dengan penjajaran: |
||
: |
: <math>(a \bullet (b \bullet c)) \bullet d = (a(bc))d</math> |
||
Singkatan |
Singkatan untuk mengurangi jumlah tanda kurung, di mana operasi paling dalam dan tanda kurung dihilangkan, diganti hanya dengan penjajaran, <math>xy \bullet z = (x \bullet y) \bullet z</math>. Sebagai contoh, di atas menjadi ekspresi berikut: |
||
: |
:<math>(a \bullet bc)d</math>. |
||
Penggunaan tanda kurung adalah [[notasi prefiks]], di mana ekspresi ditulis <math>\bullet \bullet a \bullet bcd</math>. Maka, [[notasi postfiks]] ([[Notasi Polandia invers]]) di mana ekspresi ditulis <math>abc\bullet \bullet d \bullet</math>, di mana urutan dari kiri ke kanan (tanpa [[Currying]]). |
|||
Himpunan dari |
Himpunan dari [[Untai (ilmu komputer)|untai]] yang terdiri dari simbol yang menunjukkan elemen magma, dan himpunan tanda kurung disebut [[bahasa Dyck]]. Jumlah total berbeda untuk menulis aplikasi <math>n</math> dari operator magma dari [[bilangan Catalan]], <math>C_n</math>. Jadi, <math>C_2 = 2</math>, yang mana hanya pernyataan <math>(ab)c</math> dan <math>a(bc)</math> adalah dua untuk tiga elemen magma dengan dua operasi: <math>C_3 = 5</math>: <math>((ab)c)d</math>, <math>(a(bc))d</math>, <math>(ab)(cd)</math>, <math>a((bc)d)</math>, dan <math>a(b(cd))</math>. |
||
Terdapat <math>n^{n^2}</math> magma dengan elemen <math>n</math> adalah 1, 1, 16, 19683, 4294967296, ... {{OEIS|A002489}} dan magma dengan elemen 0, 1, 2, 3, 4, .... Jumlah magma tak[[isomorfik]] adalah 1, 1, 10, 3330, 178981952, ... {{OEIS|A001329}} dan jumlah magma takisomorfik dan tak[[antiisomorfik]] adalah 1, 1, 7, 1734, 89521056, ... {{OEIS|A001424}}.<ref>{{mathworld|urlname=Groupoid|title=Groupoid}}</ref> |
|||
== Magma bebas == |
== Magma bebas == |
||
'''Magma bebas''', |
'''Magma bebas''', <math>M_X</math>, himpunan <math>X</math> adalah magma yang digunakan untuk <math>X</math> (yaitu, tidak memiliki hubungan atau aksioma pada pembangkit; lihat [[objek bebas]]). Hal ini dijelaskan sebagai himpunan takasosiatif pada <math>X</math> dengan tanda kurung dan menjajarkannya dalam urutan yang sama. Contohnya: |
||
:<math>(a \bullet b) = (a)(b)</math> |
|||
:<math>(a \bullet (a \bullet b)) = (a)((a)(b))</math> |
|||
:<math>(a \bullet a) \bullet b = ((a)(a))(b)</math> |
|||
<math>M_X</math> dapat dijelaskan sebagai himpunan kata takasosiatif <math>X</math> dengan tanda kurung dipertahankan.<ref>{{citation | title=Graduate Algebra: Noncommutative View | page=321 | series=[[Graduate Studies in Mathematics]] | first=Louis Halle | last=Rowen | publisher=[[American Mathematical Society]] | year=2008 | isbn=0-8218-8408-5 |chapter=Definition 21B.1. |chapter-url=https://books.google.com/books?id=8svFC09gGeMC&pg=PA321 }}</ref> |
|||
Hal ini juga dapat dilihat |
Hal ini juga dapat dilihat dalam istilah yang dikenal di [[ilmu komputer]], sebagai magma [[pohon biner]] dengan daun label elemen <math>X</math>. Operasi menggabungkan pohon di akarnya, maka peran mendasar dalam [[sintaks]]. |
||
Magma bebas memiliki [[sifat universal]] |
Magma bebas memiliki [[sifat universal]], jika <math>f \colon X \to N</math> adalah fungsi dari <math>X</math> ke magma, <math>N</math>, maka perluasan dari <math>f</math> ke morfisme magma, <math>f'</math> |
||
: <math>f' \colon M_X \to N</math>. |
|||
: ''f'' ′ : ''M<sub>X</sub>'' → ''N''. |
|||
{{see also|Semigrup bebas|Grup bebas|Himpunan Hall|Bilangan Wedderburn–Etherington}} |
{{see also|Semigrup bebas|Grup bebas|Himpunan Hall|Bilangan Wedderburn–Etherington}} |
||
== Jenis magma == |
== Jenis magma == |
||
Magma |
Magma kadang dipelajari; beberapa jenis magma, bergantung pada aksioma apa yang harus dipenuhi oleh operasi tersebut. Jenis magma yang umum dipelajari meliputi: |
||
;[[Grup semu]]: Magma di mana [[pembagian]] selalu |
;[[Grup semu]]: Magma di mana [[pembagian]] selalu mungkin |
||
;[[ |
;[[Gelung (aljabar)|Gelung]]: Kuasigrup dengan [[elemen identitas]] |
||
;[[Semigrup]]: Magma yang operasinya [[asosiatif]] |
;[[Semigrup]]: Magma yang dimana operasinya [[asosiatif]] |
||
;[[Semigrup |
;[[Semigrup balikan]]: Semigrup dengan balikan. |
||
;[[Semikisi]]: Semigrup operasinya [[komutatif]] dan [[idempoten]] |
;[[Semikisi]]: Semigrup operasinya [[komutatif]] dan [[idempoten]] |
||
;[[Monoid]]: |
;[[Monoid]]: Semigrup dengan [[elemen identitas]] |
||
;[[Grup (matematika) |
;[[Grup (matematika)|Grup]]: Sebuah monoid dengan [[elemen invers]], atau ekuivalennya, gelung asosiatif, atau kuasigroup asosiatif yang tidak kosong |
||
;[[Grup Abelian]]: Grup yang operasinya bersifat komutatif |
;[[Grup Abelian]]: Grup yang operasinya bersifat komutatif |
||
Perhatikan bahwa |
Perhatikan bahwa pembagian dan pembatalan adalah [[sifat pembatalan]]. |
||
== |
== Penggolongan berdasarkan sifat == |
||
{{Group-like structures}} |
{{Group-like structures}} |
||
Magma |
Magma <math>(S,\bullet)</math>, dengan <math>x, y, u, z \in S</math>, disebut |
||
;[[Magma medial |
;[[Magma medial|Medial]]: Jika identitas, <math>xy \bullet uz \equiv xu \bullet yz</math> |
||
;Semimedial kiri: Jika identitas, |
;Semimedial kiri: Jika identitas, <math>xx \bullet yz \equiv xy \bullet xz</math> |
||
;Semimedial kanan: Jika identitas, |
;Semimedial kanan: Jika identitas, <math>yz \bullet xx \equiv yx \bullet zx</math> |
||
;Semimedial: Jika keduanya kiri dan kanan |
;Semimedial: Jika keduanya semimedial kiri dan kanan |
||
;Distributif kiri: Jika memenuhi identitas, |
;Distributif kiri: Jika memenuhi identitas, <math>x \bullet yz \equiv xy \bullet xz</math> |
||
;Distributif kanan: Jika memenuhi identitas, |
;Distributif kanan: Jika memenuhi identitas, <math>yz \bullet x \equiv yx \bullet zx</math> |
||
;Autodistributif: Jika keduanya distributif kiri dan kanan |
;Autodistributif: Jika keduanya distributif kiri dan kanan |
||
;[[Magma komutatif |
;[[Magma komutatif|Komutatif]]: Jika memenuhi identitas, <math>xy \equiv yx</math> |
||
;[[Idempoten]]: Jika identitas, |
;[[Idempoten]]: Jika identitas, <math>xx \equiv x</math> |
||
;[[Unipoten]]: Jika identitas, |
;[[Unipoten]]: Jika identitas, <math>xx \equiv yy</math> |
||
;Nolpoten: Jika identitas, |
;Nolpoten: Jika identitas, <math>xx \bullet y \equiv xx \equiv y \bullet xx</math><ref>{{citation |first=T. |last=Kepka |first2=P. |last2=Němec |title=Simple balanced groupoids |journal=Acta Universitatis Palackianae Olomucensis. Facultas Rerum Naturalium. Mathematica |volume=35 |issue=1 |pages=53–60 |year=1996 |format=PDF |url=http://dml.cz/bitstream/handle/10338.dmlcz/120353/ActaOlom_35-1996-1_7.pdf }}</ref> |
||
;Alternatif: Jika identitas |
;Alternatif: Jika identitas <math>xx \bullet y \equiv x \bullet xy</math> dan <math>x \bullet yy \equiv xy \bullet y</math> |
||
;[[Daya-asosiatif]]: Jika submagma yang dihasilkan oleh elemen |
;[[Daya-asosiatif]]: Jika submagma yang dihasilkan oleh suatu elemen bersifat asosiatif |
||
;[[Aljabar fleksibel |
;[[Aljabar fleksibel|Fleksibel]]: jika <math>xy \bullet x \equiv x \bullet xy</math> |
||
;[[Semigrup]], atau [[asosiatif]]: Jika identitas, |
;[[Semigrup]], atau [[asosiatif]]: Jika identitas, <math>x \bullet yz \equiv xy \bullet z</math> |
||
; |
;Uner kiri: Jika identitas, <math>xy \equiv xz</math> |
||
; |
;Uner kanan: Jika identitas, <math>yx \equiv zx</math> |
||
; |
;Semigrup dengan perkalian nol, atau [[semigrup nol]]: Jika identitas, <math>xy \equiv uv</math> |
||
; |
;Unital: Jika memiliki elemen identitas |
||
== Kategori magma == |
== Kategori magma == |
||
Kategori magma, dilambangkan '''Mag''', adalah [[Kategori (matematika) |
Kategori magma, dilambangkan '''Mag''', adalah [[Kategori (matematika)|kategori]] objek dari magma, dan [[morfisme]] adalah [[#Kategori magma|homomorfisme magma]]. Kategori '''Mag''' memiliki [[Produk (teori kategori)|produk langsung]], dan [[funktor inklusi]]: {{nobr|'''[[kategori himpunan|Himpunan]] → [[kategori magma medial|Med]] ↪ Mag'''}} sebagai magma trivial, dengan [[operasi biner|operasi]] oleh [[Projeksi (matematika)|projeksi]]: <math>x \, \mathrm T \, y = y</math>. |
||
Sifat adalah [[injeksi]] [[endomorfisme]] yang digunakan [[automorfisme]] dari magma [[ekstensi aljabar|perluasan]], [[kolimit]] dari (urutan [[Fungsi konstan|tetapan]]) [[keendomorfan]]. |
|||
Karena [[ |
Karena [[himpunan satuan]] <math>(\{^*\},^*)</math> adalah [[objek nol]] dari '''Mag''', dan karena '''Mag''' adalah [[kategori aljabar|aljabar]] '''Mag''' pada [[kategori kompleks|kompleks]].<ref>{{Cite book |title=Mal'cev, protomodular, homological and semi-abelian categories |last1=Borceux |first1=Francis |last2=Bourn |first2=Dominique |publisher=Springer |year=2004 |pages=7,19 |isbn=1-4020-1961-0|url=https://books.google.com/books?id=olmeksCI22cC&pg=PA19}}</ref> |
||
== |
== Perampatan == |
||
Lihat [[grup n- |
Lihat [[Grup n-er|grup ''n''-er]]. |
||
== Lihat pula == |
== Lihat pula == |
||
* [[Kategori |
* [[Kategori magma]] |
||
* [[Objek magma otomatis]] |
* [[Objek magma otomatis]] |
||
* [[Aljabar universal]] |
* [[Aljabar universal]] |
||
* [[Sistem aljabar komputer magma]], dinamai menurut objek artikel ini. |
* [[Sistem aljabar komputer magma]], dinamai menurut objek artikel ini. |
||
* [[Magma |
* [[Magma takasosiatif komutatif]] |
||
* [[Struktur aljabar#Struktur |
* [[Struktur aljabar#Struktur dimana semua aksioma adalah identitas|Struktur aljabar yang semua aksioma adalah identitas]] |
||
* [[Aljabar grupoid]] |
* [[Aljabar grupoid]] |
||
* [[Himpunan Hall]] |
* [[Himpunan Hall]] |
||
Baris 120: | Baris 123: | ||
{{DEFAULTSORT:Magma (Algebra)}} |
{{DEFAULTSORT:Magma (Algebra)}} |
||
[[Kategori: |
[[Kategori:Aljabar takasosiatif]] |
||
[[Kategori: |
[[Kategori:Operasi biner]] |
||
[[Kategori: |
[[Kategori:Struktur aljabar]] |
Revisi terkini sejak 13 Juni 2021 06.56
Struktur aljabar |
---|
Dalam aljabar abstrak, magma, biner[1] atau grupoid adalah jenis dasar dari struktur aljabar. Magma terdiri dari himpunan dengan operasi biner tunggal tertutup menurut definisi.
Sejarah dan istilah[sunting | sunting sumber]
Istilah groupoid ditemukan pada tahun 1927 oleh Heinrich Brandt yang menggambarkan Brandt groupoid (dari bahasa Jerman Gruppoid). Istilah ini kemudian digunakan oleh B. A. Hausmann dan Øystein Ore (1937).[2] Dalam beberapa ulasan makalah Zentralblatt tidak setuju dengan istilah yang berlebihan ini. Groupoid Brandt adalah grupoid dalam arti yang digunakan dalam teori kategori dalam arti yang digunakan oleh Hausmann dan Ore. Namun, buku dalam teori semigrup, termasuk Clifford dan Preston (1961) dan Howie (1995) menggunakan grupoid. Hollings (2014) menulis bahwa istilah groupoid adalah "mungkin paling sering digunakan dalam matematika modern" dalam arti yang digunakan dalam teori kategori.[3]
Menurut Bergman dan Hausknecht (1996):
"Tidak ada kata yang diterima secara umum untuk himpunan dengan operasi biner asosiatif yang tidak harus. Kata groupoid digunakan aljabar universal, tetapi para pekerja dalam teori kategori dan bidang terkait sangat menolak penggunaan ini karena mereka menggunakan kata yang sama untuk mengartikan 'kategori di mana semua morfisme invers'. Istilah magma digunakan oleh Serre [aljabar Lie dan grup Lie, 1965]."[4]
Hal ini juga muncul dalam buku oleh Bourbaki Éléments de mathématique, Algèbre, chapitres 1 à 3, 1970.[5]
Definisi[sunting | sunting sumber]
Magma adalah himpunan dengan operasi dimana elemen ke elemen . Simbol adalah placeholder umum untuk operasi yang ditentukan. Untuk magma, himpunan dan operasi menggunakan sebagai berikut (dikenal sebagai magma atau aksioma ketertutupan):
- Untuk , dan , hasil operasi adalah .
Dan dalam notasi matematika:
- .
Jika operasi parsial, maka disebut magma parsial[6] atau disebut juga grupoid parsial.[6][7]
Morfisme magma[sunting | sunting sumber]
Sebuah morfisme magma adalah sebuah fungsi, , memetakan magma ke magma , yang dimana operasi biner:
dimana dan menunjukkan operasi biner pada dan .
Notasi dan kombinatorik[sunting | sunting sumber]
Operasi magma, dan takasosiatif, urutan dinotasikan dengan tanda kurung. Maka operasi dihilangkan dan dinotasikan dengan penjajaran:
Singkatan untuk mengurangi jumlah tanda kurung, di mana operasi paling dalam dan tanda kurung dihilangkan, diganti hanya dengan penjajaran, . Sebagai contoh, di atas menjadi ekspresi berikut:
- .
Penggunaan tanda kurung adalah notasi prefiks, di mana ekspresi ditulis . Maka, notasi postfiks (Notasi Polandia invers) di mana ekspresi ditulis , di mana urutan dari kiri ke kanan (tanpa Currying).
Himpunan dari untai yang terdiri dari simbol yang menunjukkan elemen magma, dan himpunan tanda kurung disebut bahasa Dyck. Jumlah total berbeda untuk menulis aplikasi dari operator magma dari bilangan Catalan, . Jadi, , yang mana hanya pernyataan dan adalah dua untuk tiga elemen magma dengan dua operasi: : , , , , dan .
Terdapat magma dengan elemen adalah 1, 1, 16, 19683, 4294967296, ... (barisan A002489 pada OEIS) dan magma dengan elemen 0, 1, 2, 3, 4, .... Jumlah magma takisomorfik adalah 1, 1, 10, 3330, 178981952, ... (barisan A001329 pada OEIS) dan jumlah magma takisomorfik dan takantiisomorfik adalah 1, 1, 7, 1734, 89521056, ... (barisan A001424 pada OEIS).[8]
Magma bebas[sunting | sunting sumber]
Magma bebas, , himpunan adalah magma yang digunakan untuk (yaitu, tidak memiliki hubungan atau aksioma pada pembangkit; lihat objek bebas). Hal ini dijelaskan sebagai himpunan takasosiatif pada dengan tanda kurung dan menjajarkannya dalam urutan yang sama. Contohnya:
dapat dijelaskan sebagai himpunan kata takasosiatif dengan tanda kurung dipertahankan.[9]
Hal ini juga dapat dilihat dalam istilah yang dikenal di ilmu komputer, sebagai magma pohon biner dengan daun label elemen . Operasi menggabungkan pohon di akarnya, maka peran mendasar dalam sintaks.
Magma bebas memiliki sifat universal, jika adalah fungsi dari ke magma, , maka perluasan dari ke morfisme magma,
- .
Jenis magma[sunting | sunting sumber]
Magma kadang dipelajari; beberapa jenis magma, bergantung pada aksioma apa yang harus dipenuhi oleh operasi tersebut. Jenis magma yang umum dipelajari meliputi:
- Grup semu
- Magma di mana pembagian selalu mungkin
- Gelung
- Kuasigrup dengan elemen identitas
- Semigrup
- Magma yang dimana operasinya asosiatif
- Semigrup balikan
- Semigrup dengan balikan.
- Semikisi
- Semigrup operasinya komutatif dan idempoten
- Monoid
- Semigrup dengan elemen identitas
- Grup
- Sebuah monoid dengan elemen invers, atau ekuivalennya, gelung asosiatif, atau kuasigroup asosiatif yang tidak kosong
- Grup Abelian
- Grup yang operasinya bersifat komutatif
Perhatikan bahwa pembagian dan pembatalan adalah sifat pembatalan.
Penggolongan berdasarkan sifat[sunting | sunting sumber]
Struktur grup | |||||
---|---|---|---|---|---|
Totalitasα | Asosiatif | Identitas | Invers | Komutativitas | |
Semigrupoid | Tidak dibutuhkan | Dibutuhkan | Tidak dibutuhkan | Tidak dibutuhkan | Tidak dibutuhkan |
Kategori Kecil | Tidak dibutuhkan | Dibutuhkan | Dibutuhkan | Tidak dibutuhkan | Tidak dibutuhkan |
Grupoid | Tidak dibutuhkan | Dibutuhkan | Dibutuhkan | Dibutuhkan | Tidak dibutuhkan |
Magma | Dibutuhkan | Tidak dibutuhkan | Tidak dibutuhkan | Tidak dibutuhkan | Tidak dibutuhkan |
Kuasigrup | Dibutuhkan | Tidak dibutuhkan | Tidak dibutuhkan | Dibutuhkan | Tidak dibutuhkan |
Magma Unital | Dibutuhkan | Tidak dibutuhkan | Dibutuhkan | Tidak dibutuhkan | Tidak dibutuhkan |
Loop | Dibutuhkan | Tidak dibutuhkan | Dibutuhkan | Dibutuhkan | Tidak dibutuhkan |
Semigrup | Dibutuhkan | Dibutuhkan | Tidak dibutuhkan | Tidak dibutuhkan | Tidak dibutuhkan |
Semigrup invers | Dibutuhkan | Dibutuhkan | Tidak dibutuhkan | Dibutuhkan | Tidak dibutuhkan |
Monoid | Dibutuhkan | Dibutuhkan | Dibutuhkan | Tidak dibutuhkan | Tidak dibutuhkan |
Monoid komutatif | Dibutuhkan | Dibutuhkan | Dibutuhkan | Tidak dibutuhkan | Dibutuhkan |
Grup | Dibutuhkan | Dibutuhkan | Dibutuhkan | Dibutuhkan | Tidak dibutuhkan |
Grup Abelian | Dibutuhkan | Dibutuhkan | Dibutuhkan | Dibutuhkan | Dibutuhkan |
^α Penutupan, yang digunakan dalam banyak sumber, merupakan aksioma yang setara dengan totalitas, meskipun didefinisikan secara berbeda. |
Magma , dengan , disebut
- Medial
- Jika identitas,
- Semimedial kiri
- Jika identitas,
- Semimedial kanan
- Jika identitas,
- Semimedial
- Jika keduanya semimedial kiri dan kanan
- Distributif kiri
- Jika memenuhi identitas,
- Distributif kanan
- Jika memenuhi identitas,
- Autodistributif
- Jika keduanya distributif kiri dan kanan
- Komutatif
- Jika memenuhi identitas,
- Idempoten
- Jika identitas,
- Unipoten
- Jika identitas,
- Nolpoten
- Jika identitas, [10]
- Alternatif
- Jika identitas dan
- Daya-asosiatif
- Jika submagma yang dihasilkan oleh suatu elemen bersifat asosiatif
- Fleksibel
- jika
- Semigrup, atau asosiatif
- Jika identitas,
- Uner kiri
- Jika identitas,
- Uner kanan
- Jika identitas,
- Semigrup dengan perkalian nol, atau semigrup nol
- Jika identitas,
- Unital
- Jika memiliki elemen identitas
Kategori magma[sunting | sunting sumber]
Kategori magma, dilambangkan Mag, adalah kategori objek dari magma, dan morfisme adalah homomorfisme magma. Kategori Mag memiliki produk langsung, dan funktor inklusi: Himpunan → Med ↪ Mag sebagai magma trivial, dengan operasi oleh projeksi: .
Sifat adalah injeksi endomorfisme yang digunakan automorfisme dari magma perluasan, kolimit dari (urutan tetapan) keendomorfan.
Karena himpunan satuan adalah objek nol dari Mag, dan karena Mag adalah aljabar Mag pada kompleks.[11]
Perampatan[sunting | sunting sumber]
Lihat grup n-er.
Lihat pula[sunting | sunting sumber]
- Kategori magma
- Objek magma otomatis
- Aljabar universal
- Sistem aljabar komputer magma, dinamai menurut objek artikel ini.
- Magma takasosiatif komutatif
- Struktur aljabar yang semua aksioma adalah identitas
- Aljabar grupoid
- Himpunan Hall
Referensi[sunting | sunting sumber]
- ^ Bergman, Clifford, Universal Algebra: Fundamentals and Selected Topics
- ^ Hausmann, B. A.; Ore, Øystein (October 1937), "Theory of quasi-groups", American Journal of Mathematics, 59 (4): 983–1004, doi:10.2307/2371362, JSTOR 2371362
- ^ Hollings, Christopher (2014), Mathematics across the Iron Curtain: A History of the Algebraic Theory of Semigroups, American Mathematical Society, hlm. 142–3, ISBN 978-1-4704-1493-1
- ^ Bergman, George M.; Hausknecht, Adam O. (1996), Cogroups and Co-rings in Categories of Associative Rings, American Mathematical Society, hlm. 61, ISBN 978-0-8218-0495-7
- ^ Bourbaki, N. (1998) [1970], "Algebraic Structures: §1.1 Laws of Composition: Definition 1", Algebra I: Chapters 1–3, Springer, hlm. 1, ISBN 978-3-540-64243-5
- ^ a b Müller-Hoissen, Folkert; Pallo, Jean Marcel; Stasheff, Jim, ed. (2012), Associahedra, Tamari Lattices and Related Structures: Tamari Memorial Festschrift, Springer, hlm. 11, ISBN 978-3-0348-0405-9
- ^ Evseev, A. E. (1988), "A survey of partial groupoids", dalam Silver, Ben, Nineteen Papers on Algebraic Semigroups, American Mathematical Society, ISBN 0-8218-3115-1
- ^ Weisstein, Eric W. "Groupoid". MathWorld.
- ^ Rowen, Louis Halle (2008), "Definition 21B.1.", Graduate Algebra: Noncommutative View, Graduate Studies in Mathematics, American Mathematical Society, hlm. 321, ISBN 0-8218-8408-5
- ^ Kepka, T.; Němec, P. (1996), "Simple balanced groupoids" (PDF), Acta Universitatis Palackianae Olomucensis. Facultas Rerum Naturalium. Mathematica, 35 (1): 53–60
- ^ Borceux, Francis; Bourn, Dominique (2004). Mal'cev, protomodular, homological and semi-abelian categories. Springer. hlm. 7,19. ISBN 1-4020-1961-0.
- M. Hazewinkel (2001) [1994], "Magma", dalam Hazewinkel, Michiel, Encyclopedia of Mathematics, Springer Science+Business Media B.V. / Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1-55608-010-4
- M. Hazewinkel (2001) [1994], "Groupoid", dalam Hazewinkel, Michiel, Encyclopedia of Mathematics, Springer Science+Business Media B.V. / Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1-55608-010-4
- M. Hazewinkel (2001) [1994], "Free magma", dalam Hazewinkel, Michiel, Encyclopedia of Mathematics, Springer Science+Business Media B.V. / Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1-55608-010-4
- Weisstein, Eric W. "Groupoid". MathWorld.
Bacaan lebih lanjut[sunting | sunting sumber]
- Bruck, Richard Hubert (1971), A survey of binary systems (edisi ke-3rd), Springer, ISBN 978-0-387-03497-3