Medan terurut: Perbedaan antara revisi

← Revisi sebelumnya Revisi selanjutnya →

Konten dihapus Konten ditambahkan

Sebaris

Revisi per 25 Maret 2024 14.32

Dalam matematika, lapangan terurut atau medan terurut, adalah lapangan dengan urutan total pada elemen-elemennya dan sesuai dengan operasi-operasi pada lapangan tersebut. Contoh sederhana dari lapangan terurut adalah lapangan bilangan rasional dan bilangan real, masin-masing dengan pengurutan standar mereka.

Setiap sublapangan dari sebarang lapangan terurut juga merupakan suatu lapangan terurut dengan urutan yang sama. Setiap lapangan terurut mengandung suatu sublapangan terurut yang isomorfik ke (sistem) bilangan rasional. Setiap lapangan terurut lengkap-Dedekind isomorfik ke bilangan real. Kuadrat harus bernilai non-negatif dalam sebarang lapangan terurut. Hal ini mengartikan bilangan kompleks tidak dapat diurutkan, karena kuadrat dari unit imajiner $i$ adalah ${\textstyle -1}$ (yang bersifat negatif dalam sebarang lapangan terurut). Lapangan hingga tidak dapat diurutkan.

Dari aspek sejarah, aksiomatisasi lapangan terurut adalah proses abstraksi yang perlahan dari sistem bilangan real, oleh para matematikawan yang meliputi David Hilbert, Otto Hölder, dan Hans Hahn. Upaya ini akhirnya berkembang menjadi teorema Artin–Schreier untuk lapangan terurut dan lapangan real yang formal (formally real field).

Definisi

Ada dua definisi umum yang saling setara untuk lapangan terurut. Definisi menggunakan urutan total muncul pertama kali dalam sejarah, dan merupakan aksiomatisasi tingkat-pertama dari urutan ${\textstyle \leq }$ sebagai predikat biner. Artin dan Schereier memberikan definisi menggunakan kerucut positif di tahun 1926, yang mengaksiomatisasi subkoleksi dari elemen-elemen non-negatif.

Urutan total

Sebarang lapangan ${\textstyle (F,+,\cdot \,)}$ dengan suatu urutan total ${\textstyle \leq }$ pada ${\textstyle F}$ disebut sebagai lapangan terurut jika pengurutan yang digunakan memenuhi sifat-sifat berikut untuk sebarang ${\textstyle a,b,c\in F:}$

Jika ${\textstyle a\leq b}$ maka ${\textstyle a+c\leq b+c,}$ dan
Jika ${\textstyle 0\leq a}$ dan ${\textstyle 0\leq b}$ maka ${\textstyle 0\leq a\cdot b.}$

Seperti biasa, notasi ${\textstyle a<b}$ digunakan untuk merujuk ${\textstyle a\leq b}$ dan ${\textstyle a\neq b}$ . Notasi $b\geq a$ dan $b>a$ masing-masing mengartikan $a\leq b$ dan $a<b$ . Elemen-elemen $a\in F$ dengan $a>0$ disebut positif.

Kerucut positif

Kerucut prepositif atau pra-pengurutan dari sebarang lapangan ${\textstyle F}$ adalah suatu subset ${\textstyle P\subseteq F}$ yang memenuhi sifat-sifat berikut:^[1]

Untuk $x$ dan $y$ di $P,$ elemen $x+y$ dan $x\cdot y$ berada di $P.$
Jika $x\in F,$ maka $x^{2}\in P.$ Secara khusus, $0=0^{2}\in P$ dan $1=1^{2}\in P.$
Elemen $-1$ tidak ada di $P.$

Suatu lapangan pra-terurut adalah lapangan yang dilengkapi dengan suatu pra-pengurutan $P.$ Elemen-elemen tak-nol $P^{*}$ membentuk suatu subgrup dari grup multiplikatif dari $F.$ Jika, sebagai tambahan, himpunan ${\textstyle F}$ adalah gabungan dari $P$ dan $-P,$ subset $P$ disebut sebagai suatu kerucut positif dari $F.$ Elemen-elemen tak-nol di $P$ disebut elemen positif dari $F.$ Lapangan terurut adalah lapangan ${\textstyle F}$ yang dilengkapi kerucut positif $P.$

Pra-pengurutan pada $F$ adalah irisan dari kerucut-kerucut positif pada $F.$ Kerucut positif adalah maksimal dari pra-pengurutan.^[1]

Kesetaraan kedua definisi

Misalkan $F$ merupakan lapangan. Terdapat suatu bijeksi antara pengurutan lapangan dari $F$ dengan kerucut-kerucut positif dari $F.$

Dari definisi pertama, $F$ memiliki pengurutan ${\textstyle \leq }$ , dan himpunan semua elemen $x\geq 0$ membentuk suatu kerucut positif dari $F.$ Kebalikannya, dari definisi kedua, $F$ memiliki kerucut positif $P$ , dan suatu pengurutan total $\leq _{P}$ pada $F$ dapat disusun dengan menetapkan $x\leq _{P}y$ untuk mengartikan $y-x\in P.$ Hal ini mengartikan $\leq _{P}$ memenuhi sifat-sifat dari definisi pertama. $\square$

Contoh

Beberapa contoh lapangan terurut antara lain:

Lapangan bilangan rasional $\mathbb {Q}$ dengan pengurutan standarnya (yang juga merupakan satu-satunya pengurutan yang dimilikinya).
Lapangan bilangan real $\mathbb {R}$ dengan pengurutan standarnya (yang juga merupakan satu-satunya pengurutan yang dimilikinya).
Sebarang sublapangan dari lapangan terurut; seperti bilangan aljabar dan bilangan terhitung real, merupakan lapangan terurut dengan membatasi pengurutan ke sublapangan tersebut.
Lapangan fungsi rasional real ${\textstyle p(x)/q(x),}$ dengan $p(x)$ dan $q(x)$ berupa polinomial dengan koefisien rasional dan $q(x)\neq 0\,$ , dapat dibuat menjadi lapangan terurut dengan menetapkan suatu bilangan transenden $\alpha$ dan mendefinisikan $p(x)/q(x)>0$ jika dan hanya jika $p(\alpha )/q(\alpha )>0.$ Cara tersebut setara dengan menyisipkan $\mathbb {Q} (x)$ ke $\mathbb {R}$ lewat $x\mapsto \alpha$ dan membatasi pengurutan dari $\mathbb {R}$ ke suatu pengurutan dari bayangan dari $\mathbb {Q} (x)$ . Dalam gaya ini, kita dapat mendapatkan banyak pengurutan dari $\mathbb {Q} (x)$ .
Lapangan $\mathbb {R} (x)$ dari fungsi rasional $p(x)/q(x)$ , dengan $p(x)$ dan $q(x)$ berupa polinomal dengan koefisien real dan $q(x)\neq 0$ , dapat dibuat menjadi lapangan terurut dengan mendefinisikan $p(x)/q(x)>0$ untuk mengartikan $p_{n}/q_{m}>0$ , dengan $p_{n}\neq 0$ dan $q_{m}\neq 0$ masing-masing adalah koefisien terdepan dari polinomial $p(x)=p_{n}x^{n}+\dots +p_{0}$ dan $q(x)=q_{m}x^{m}+\dots +q_{0}$ . Cara lain yang setara: untuk setiap fungsi rasional $f(x),g(x)\in \mathbb {R} (x)$ kita memiliki $f(x)<g(x)$ jika dan hanya jika $f(t)<g(t)$ untuk semua $t\in \mathbb {R}$ yang cukup besar. Dalam lapangan terurut ini, polinomial $p(x)=x$ lebih besar dari sebarang polinomial konstan, mengakibatkan lapangan terurut tidak bersifat Archimedes.
Lapangan $\mathbb {R} ((x))$ dari deret Laurent formal dengan koefisien real dan $x$ dianggap infitesimal dan positif.

Sifat

Untuk sebarang

x<y

akan berlaku

a+x<a+y.

Untuk sebarang lapangan terurut ${\textstyle F}$ dan sebarang $a,b,c,d$ di $F$ , sifat-sifat ini berlaku untuk ${\textstyle F}$ :

Antara $-a\leq 0\leq a$ atau $a\leq 0\leq -a.$
Pertidaksamaan dapat "dijumlahkan": jika $a\leq b$ dan $c\leq d$ , maka $a+c\leq b+d$ .
Pertidaksamaan dapat "dikalikan dengan elemen positif": jika $a\leq b$ dan $0\leq c$ , maka $ac\leq bc$ .
"Mengalikan dengan elemen negatif akan membalik pertidaksamaan": jika $a\leq b$ dan $c\leq 0$ , maka $ac\geq bc$ .
Transitivitas dari pertidaksamaan: jika $a<b$ dan $b<c$ , maka $a<c$ .
Jika $a<b$ dan $a,b>0$ , maka ${\textstyle 1/b<1/a}$ .
Penguadratan selalu non-negatif: $0\leq a^{2}$ . Secara khusus, karena $1=1^{2},$ kita dapatkan $0\leq 1.$ Tapi $0\neq 1,$ sehingga kita simpulkan $0\leq 1.$
Medan terurut memiliki karakteristik 0. (Karena $1>0,$ , maka $1+1>0,$ dan $1+1+1>0,$ dst., sehingga tidak ada jumlah terhingga dari $1$ yang dapat bernilai $0$ ). Secara khusus, ini mengartikan lapangan hingga tidak dapat diurutkan.
Setiap jumlah tak-trivial dari penguadratan bernilai tak-nol. Secara matematis, ${\textstyle \sum _{k=1}^{n}a_{k}^{2}=0\;\Longrightarrow \;\forall k\;\colon a_{k}=0.}$ ^[2]^[3]

Semua sublapangan dari sebarang lapangan terurut $F$ juga merupakan lapangan terurut (mewarisi pengurutan yang digunakan $F$ ). Sublapangan terkecil dari $F$ isomorfik ke rasional (sama seperti semua lapangan dengan karakteristik 0 lainnya), dan urutan pada sublapangan rasional ini akan sama dengan urutan pada bilangan rasional. Lapangan terurut $F$ isomorfik ke lapangan bilangan real ${\textstyle \mathbb {R} }$ jika dan hanya jika, setiap subset tak-kosong dari $F$ dengan batas atas di $F$ memiliki batas atas terkecil di $F$ .

Jika setiap elemen dari suatu lapangan terurut selalu terletak diantara dua elemen dari sublapangan rasionalnya, maka lapangan tersebut dikatakan bersifat Archimedes. Tapi jika tidak, lapangan bersifat non-Archimedes dan mengandung infinitesimal. Sebagai contoh, bilangan real membentuk suatu lapangan Archimedes, namun bilangan hiperreal tidak, karena sistem bilangan ini memperluas bilangan real dengan elemen-elemen yang lebih besar daripada semua bilangan asli standar.^[4]

Ruang vektor atas lapangan terurut

Ruang vektor (khususnya ruang koordinat) atas suatu lapangan terurut memiliki beberapa sifat penting dan memiliki struktur yang khusus, yakni: orientasi, kecembungan, dan hasil-kali dalam yang definit-positif.

Keterurutan lapangan

Semua lapangan terurut merupakan lapangan real yang formal (formally real field), artinya, elemen 0 tidak dapat dituliskan sebagai jumlah dari kuadrat-kuadrat elemen tak-nol.^[2]^[3] Kebalikannya, semua lapangan real yang formal dapat dilengkapi dengan suatu urutan total (yang sesuai), yang mengubahnya menjadi lapangan terurut. Bukti hubungan ini memerlukan lema Zorn.^[5]

Lapangan hingga dan secara umum lapangan dengan karakteristik positif, tidak dapat diubah menjadi lapangan terurut. Bilangan kompleks juga tidak dapat diubah menjadi lapangan terurut, karena ${\textstyle -1}$ adalah kuadrat dari unit imajiner $i$ . Selain itu, bilangan p-adik tidak dapat diurutkan karena berdasarkan lema Hensel, $\mathbb {Q} _{2}$ mengandung akar kuadrat dari ${\textstyle -7}$ sehingga ${\textstyle 1^{2}+1^{2}+1^{2}+2^{2}+({\sqrt {-7}})^{2}=0,}$ dan $\mathbb {Q} _{p}$ dengan $p>2$ mengandung akar kuadrat dari ${\textstyle 1-p}$ sehingga ${\textstyle (p-1)\cdot 1^{2}+({\sqrt {1-p}})^{2}=0.}$

Lihat pula

Catatan kaki

^ ^a ^b Lam (2005) p. 289
^ ^a ^b Lam (2005) hlm. 41
^ ^a ^b Lam (2005) hlm. 232
^ Bair, Jaques; Henry, Valérie. "Implicit differentiation with microscopes" (PDF). University of Liège. Diakses tanggal 2013-05-04.
^ Lam (2005) p. 236

Pustaka

Lam, T. Y. (1983), Orderings, valuations and quadratic forms, CBMS Regional Conference Series in Mathematics, 52, American Mathematical Society, ISBN 0-8218-0702-1, Zbl 0516.12001
Lam, Tsit-Yuen (2005). Introduction to Quadratic Forms over Fields. Graduate Studies in Mathematics. 67. American Mathematical Society. ISBN 0-8218-1095-2. Zbl 1068.11023.

[Lam289-1] Lam (2005) p. 289

[Lam412-2] Lam (2005) hlm. 41

[Lam2322-3] Lam (2005) hlm. 232

[BairHenry2-4] Bair, Jaques; Henry, Valérie. "Implicit differentiation with microscopes" (PDF). University of Liège. Diakses tanggal 2013-05-04.

[Lam2362-5] Lam (2005) p. 236

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

@@ Baris 1: / Baris 1: @@
+{{Short description|Objek aljabar dengan suatu struktur yang terurut}}
-Dalam [[matematika]], '''medan terurut''' atau '''lapangan terurut''' adalah [[Lapangan (matematika)|medan]] yang [[urutan total]] elemen-elemennya serasi dengan operasi pada medan tersebut. Contoh sederhana dari medan terurut adalah medan [[bilangan real]], dan setiap medan terurut [[Sifat batas atas terkecil|lengkap Dedekind]] bersifat isomorfik ke real.
+Dalam [[matematika]], '''lapangan terurut''' atau '''medan terurut''', adalah [[Lapangan (matematika)|lapangan]] dengan [[urutan total]] pada elemen-elemennya dan sesuai dengan operasi-operasi pada lapangan tersebut. Contoh sederhana dari lapangan terurut adalah lapangan [[bilangan rasional]] dan [[Bilangan riil|bilangan real]], masin-masing dengan pengurutan standar mereka.
-Setiap [[Ekstensi bidang|submedan]] dari medan terurut juga merupakan medan terurut dalam urutan yang diwariskan. Setiap medan terurut berisi submedan terurut yaitu [[isomorfisme|isomorfik]] ke [[bilangan rasional]]. [[kuadrat (aljabar)|Kuadrat]] selalu bukan negatif dalam medan berurutan. Ini berarti bahwa [[bilangan kompleks]] tidak dapat diurut karena kuadrat dari [[unit imajiner]]'' i ''adalah {{num | −1}}. [[medan hingga]] tidak dapat diurutkan.
+Setiap [[Perluasan lapangan|sublapangan]] dari sebarang lapangan terurut juga merupakan suatu lapangan terurut dengan urutan yang sama. Setiap lapangan terurut mengandung suatu sublapangan terurut yang [[Isomorfisme|isomorfik]] ke (sistem) bilangan rasional. Setiap lapangan terurut [[lengkap-Dedekind]] isomorfik ke bilangan real. [[Kuadrat (aljabar)|Kuadrat]] harus bernilai non-negatif dalam sebarang lapangan terurut. Hal ini mengartikan [[bilangan kompleks]] tidak dapat diurutkan, karena kuadrat dari [[unit imajiner]] <math>i</math> adalah <math display="inline">-1</math> (yang bersifat negatif dalam sebarang lapangan terurut). [[Lapangan hingga]] tidak dapat diurutkan.
-Secara historis, [[aksiomatisasi]] medan terurut disarikan secara bertahap dari bilangan real, oleh ahli matematika termasuk [[David Hilbert]], [[Otto Hölder]], dan [[Hans Hahn (matematikawan)|Hans Hahn]]. Hal ini akhirnya berkembang menjadi [[Teorema Artin–Schreier|Teori Artin–Schreier]] medan terurut dan [[secara formal bidang riil|secara formal medan riil]].
+Dari aspek sejarah, [[Sistem aksioma|aksiomatisasi]] lapangan terurut adalah proses abstraksi yang perlahan dari sistem bilangan real, oleh para matematikawan yang meliputi [[David Hilbert]], [[Otto Hölder]], dan [[Hans Hahn (matematikawan)|Hans Hahn]]. Upaya ini akhirnya berkembang menjadi [[teorema Artin–Schreier]] untuk lapangan terurut dan lapangan real yang formal (''formally real field)''.
-== Contoh medan terurut ==
-Contoh medan terurut adalah:
-* [[bilangan rasional]]
-* [[bilangan real]]
-* submedan apa pun dari medan terurut, seperti [[bilangan aljabar]] atau [[bilangan terhitungkan]] real
-* medan [[fungsi rasional]] nyata <math>\frac {p(x)} {q(x)}\,</math>, dimana <math>p(x)</math> dan <math>q(x)</math> adalah [[polinomial]] dengan koefisien nyata, <math>q(x) \ne 0\,</math>, dapat dibuat menjadi sebuah field berurutan dimana polinomial <math>p(x)=x</math> lebih besar dari polinomial tetapan, dengan mendefinisikan <math>\frac {p(x)} {q(x)} > 0\,</math> maka <math>\frac {p_0} {q_0} > 0\,</math>, pada <math>p(x) = p_0\sdot x^n + \cdots</math> dan <math>q(x) = q_0\sdot x^m + \cdots\,</math>. medan terurut ini bukan [[Medan Archimedes|Archimedes]].
-* medan <math>\mathbb{R}((x))</math> dari [[deret pangkat formal|deret Laurent formal]] dengan koefisien real, di mana ''x ''dianggap sangat kecil dan positif
-* [[transderet]]
-* [[medan tertutup riil]]
-* [[bilangan superriil]]
-* [[bilangan hiperiil]]
+== Definisi ==
-[[Bilangan surreal]] membentuk [[kelas (teori himpunan)|kelas yang tepat]] daripada [[Himpunan (matematika)|himpunan]], tetapi sebaliknya mematuhi aksioma dari medan terurut. Setiap medan yang diurut dapat disematkan ke dalam bilangan surreal.
+Ada dua definisi umum yang saling setara untuk lapangan terurut. Definisi menggunakan ''urutan total'' muncul pertama kali dalam sejarah, dan merupakan aksiomatisasi [[Logika predikat tingkat pertama|tingkat-pertama]] dari urutan <math display="inline">\leq</math> sebagai [[Relasi biner|predikat biner]]. Artin dan Schereier memberikan definisi menggunakan ''kerucut positif'' di tahun 1926, yang mengaksiomatisasi subkoleksi dari elemen-elemen non-negatif.
-== Sifat medan terurut ==
+=== Urutan total ===
+Sebarang [[Lapangan (matematika)|lapangan]] <math display="inline">(F, +, \cdot\,)</math> dengan suatu urutan total <math display="inline"> \leq  </math> pada <math display="inline">F</math> disebut sebagai ''lapangan terurut'' jika pengurutan yang digunakan memenuhi sifat-sifat berikut untuk sebarang <math display="inline">a, b, c \in F:</math>
-[[Berkas:Invariance of less-than-relation by multiplication with positive number.svg|thumb|Sifat <math>a > 0 \land x < y \Rightarrow ax < ay</math>]]
-[[Berkas:Translation invariance of less-than-relation.svg|thumb|Sifat <math>x < y \Rightarrow a+x < a+y</math>]]
-Untuk setiap <math>a,b,c,d</math>di<math>F</math>:
+* Jika <math display="inline">a \leq b</math> maka <math display="inline">a + c \leq b + c,</math> dan
+* Jika <math display="inline">0 \leq a </math> dan <math display="inline">0  \leq b</math> maka <math display="inline">0 \leq a \cdot b. </math>
-* Antara −''a'' ≤ 0 ≤ ''a'' atau ''a'' ≤ 0 ≤ −''a''.
-* Salah satu dapat "menambahkan pertidaksamaan": jika <math>a \le b</math> dan <math>c \le d</math>, maka <math>a + c \le b + d</math>.
-* Salah satu dapat "mengalikan pertidaksamaan dengan elemen positif": jika <math>a \le b</math> dan <math>0 \le c</math>, maka <math>ac \le bc</math>.
-* [[sifat transitif|Transitivitas]] dari pertidaksamaan: jika <math>a < b</math> dan <math>b < c</math>, maka <math>a < c</math>.
-* Jika <math>a < b</math> dan <math>a, b > 0</math>, maka <math>\frac 1 b < \frac 1 a</math>.
-* Medan terurut memiliki [[karakteristik (aljabar)|karakteristik]] 0. (Karena 1> 0, maka <math>1 + 1 > 0</math>, dan <math>1 + 1 + 1 > 0</math>, dll. Jika medan memiliki karakteristik '' p ''> 0, maka −1 akan menjadi jumlah dari <math>p - 1</math>satuan, tetapi <math>-1</math> tidak positif.)  Khususnya, medan hingga tidak dapat diurut.
-* Bilangan kuadrat tidak negatif: <math>0 \le a^2</math> untuk semua <math>a</math> di <math>F</math>.
-* {{anchor|nontrivial Square Sum}}Setiap jumlah taktrivial dari kuadrat adalah bukan nol. Setara: <math>\sum_{k=1}^n a_k^2 = 0 \; \Longrightarrow \; \forall k \; \colon a_k = 0 .</math><ref name=Lam41/><ref name=Lam232/>
+Seperti biasa, notasi <math display="inline">a < b</math> digunakan untuk merujuk <math display="inline">a\le b </math> dan <math display="inline">a\ne b</math>. Notasi <math>b\ge a</math> dan <math>b> a</math> masing-masing mengartikan <math>a\le b</math> dan <math>a<b</math>. Elemen-elemen <math>a\in F</math> dengan <math>a>0</math> disebut positif.
-Setiap submedan dari medan terurut juga merupakan medan terurut (mewarisi pengurutan yang diinduksi). Submedan terkecil adalah [[Isomorfisme|isomorfik]] ke [[bilangan rasional|rasional]] (seperti untuk medan lain dengan karakteristik 0), dan urutan pada submedan rasional ini sama dengan urutan rasional itu sendiri. Jika setiap elemen medan terurut terletak di antara dua elemen submedan rasionalnya, maka medan tersebut dikatakan sebagai ''[[Sifat Archimedes|Archimedes]]'' . Jika tidak, medan tersebut adalah [[medan terurut takArchimedes]] dan berisi [[Infinitesimal]]. Misalnya, [[bilangan real]] membentuk medan Archimedes, tetapi [[bilangan hiperreal]] membentuk medan takArchimedes, karena [[ekstensi bidang|meluas]] bilangan riil dengan elemen lebih besar.<ref name="BairHenry">{{cite web | url=http://orbi.ulg.ac.be/bitstream/2268/13591/1/ImplicitDiff.pdf | title=Implicit differentiation with microscopes | publisher=[[University of Liege]] | access-date=2013-05-04 |author1=Bair, Jaques |author2=Henry, Valérie }}</ref>
+=== Kerucut positif ===
-medan terurut <math>F</math> isomorfik dengan medan bilangan real <math>\R</math> jika setiap himpunan bagian yang tidak kosong dari <math>F</math> dengan batas atas di <math>F</math> memiliki [[Infimum dan supremum|batas atas terkecil]] di ''<math>F</math> ''.
+''Kerucut prepositif'' atau ''pra-pengurutan'' dari sebarang lapangan <math display="inline">F</math> adalah suatu [[subset]] <math display="inline">P \subseteq F</math> yang memenuhi sifat-sifat berikut:<ref name="Lam289">Lam (2005) p. 289</ref>
+* Untuk <math>x</math> dan <math>y</math> di <math>P,</math> elemen <math>x + y</math> dan <math>x \cdot y</math> berada di <math>P.</math>
-=== Ruang vektor atas medan terurut ===
+* Jika <math>x \in F,</math> maka <math>x^2 \in P.</math>  Secara khusus, <math>0 = 0^2 \in P</math>  dan  <math>1 = 1^2 \in P.</math>
-[[Ruang vektor]] (khususnya, [[Contoh ruang vektor#Ruang koordinat|ruang-n]]) atas medan terurut menunjukkan beberapa sifat khusus dan memiliki beberapa struktur khusus, yaitu: [[orientasi (ruang vektor)|orientasi]], [[analisis cembung|konveksitas]], dan [[ruang produk dalam|darab dalam tentu positif]]. Lihat [[Ruang koordinat riil#Sifat dan penggunaan geometris]] untuk diskusi tentang sifat tersebut '''R'''<sup>''n''</sup>, yang dapat dirampatkan ke ruang vektor atas medan terurut lainnya.
+* Elemen <math>- 1</math> tidak ada di <math>P.</math>
+Suatu ''lapangan pra-terurut'' adalah lapangan yang dilengkapi dengan suatu pra-pengurutan <math>P.</math> Elemen-elemen tak-nol <math>P^*</math> membentuk suatu [[subgrup]] dari grup multiplikatif dari <math>F.</math> Jika, sebagai tambahan, himpunan <math display="inline">F</math> adalah gabungan dari <math>P</math> dan <math>- P,</math> subset <math>P</math> disebut sebagai suatu ''kerucut positif'' dari <math>F.</math>  Elemen-elemen tak-nol di <math>P</math> disebut elemen ''positif'' dari <math>F.</math> Lapangan terurut adalah lapangan <math display="inline">F</math> yang dilengkapi kerucut positif <math>P.</math>
-== Medan mana yang bisa diurutkan? ==
-Setiap medan yang diurutkan adalah [[bidang riil secara formal|medan riil secara formal]], yaitu, 0 tidak dapat ditulis sebagai jumlah dari kuadrat bukan nol.<ref name="Lam41">Lam (2005) hlm. 41</ref><ref name="Lam232">Lam (2005) hlm. 232</ref>
+Pra-pengurutan pada <math>F</math> adalah irisan dari kerucut-kerucut positif pada <math>F.</math> Kerucut positif adalah maksimal dari pra-pengurutan.<ref name="Lam289" />
-Sebaliknya, setiap medan yang secara formal nyata dapat dilengkapi dengan tatanan total yang serasi, yang akan mengubahnya menjadi medan yang teratur. (Urutan ini tidak perlu ditentukan secara unik). Buktinya menggunakan [[Lemma Zorn]].<ref name="Lam236">Lam (2005) hlm. 236</ref>
+=== Kesetaraan kedua definisi ===
-[[Bidang hingga|medan hingga]] dan yang lebih umum medan positif [[Karakteristik (aljabar)|karakteristik]] tidak dapat diubah menjadi medan terurut, karena pada karakteristik ''p'', elemen −1 dapat ditulis sebagai penjumlahan dari (''p '' - 1) menguadratkan 1<sup>2</sup>. [[Bilangan kompleks]] juga tidak dapat diubah menjadi medan terurut, karena −1 adalah kuadrat (dari bilangan imajiner '' i '') dan karenanya akan menjadi positif. Selain itu, [[nomor p-adic]] tidak dapat diurut, karena menurut [[lemma Hensel#Contoh|Lemma Hensel]] '''Q'''<sub>2</sub> mengandung akar kuadrat dari −7, jadi 1<sup>2</sup>+1<sup>2</sup>+1<sup>2</sup>+2<sup>2</sup>+({{radic|−7}})<sup>2</sup>=0, dan '''Q'''<sub>''p''</sub> (''p''&nbsp;>&nbsp;2) mengandung akar kuadrat dari 1 - '' p '', jadi (''p''−1)&sdot;1<sup>2</sup>+({{radic|1−''p''}})<sup>2</sup>=0.
+Misalkan <math>F</math> merupakan lapangan. Terdapat suatu bijeksi antara pengurutan lapangan dari <math>F</math> dengan kerucut-kerucut positif dari <math>F.</math>
+Dari definisi pertama, <math>F</math> memiliki pengurutan <math display="inline"> \leq  </math>, dan himpunan semua elemen <math>x \geq 0</math> membentuk suatu kerucut positif dari <math>F.</math> Kebalikannya, dari definisi kedua, <math>F</math> memiliki kerucut positif <math>P</math>, dan suatu pengurutan total <math>\leq_P</math> pada <math>F</math> dapat disusun dengan menetapkan <math>x \leq_P y</math> untuk mengartikan <math>y - x \in P.</math> Hal ini mengartikan <math>\leq_P</math> memenuhi sifat-sifat dari definisi pertama. <math>\square</math>
-== Topologi diinduksi oleh urutan ==
-Jika <math>F</math> dilengkapi dengan [[topologi tatanan]] yang muncul dari tatanan total ≤, maka aksioma menjamin bahwa operasi + dan × adalah [[fungsi kontinu (topologi)|kontinu]], sehingga <math>F</math> adalah [[medan topologi]].
-== Topologi Harrison ==
+== Contoh ==
+Beberapa contoh lapangan terurut antara lain:
-'''Topologi Harrison''' adalah topologi pada himpunan urutan ''X''<sub>''F''</sub> dari medan formal yang nyata '' F ''. Setiap urutan dapat dianggap sebagai homomorfisme kelompok perkalian dari ''F''<sup>∗</sup> ke ± 1. Memberikan ± 1 [[topologi diskret]] dan ±1<sup>''F''</sup> [[topologi produk]] menginduksi [[topologi subruang]] ''X''<sub>''F''</sub>. '''Himpunan Harrison''' <math>H(a) = \{ P \in X_F : a \in P \}</math> membentuk [[subbasis]] untuk topologi Harrison. Produknya adalah [[Ruang Boole]] ([[Ruang kompak|padat]], [[Ruang Hausdorff|Hausdorff]] dan [[Ruang terputus total|terputus]]), dan ''X''<sub>''F''</sub> adalah himpunan bagian tertutup Boolean.<ref name=Lam271>Lam (2005) p. 271</ref><ref name=L8312>Lam (1983) pp.&nbsp;1–2</ref>
+* Lapangan [[bilangan rasional]] <math>\Q</math> dengan pengurutan standarnya (yang juga merupakan satu-satunya pengurutan yang dimilikinya).
+* Lapangan [[bilangan real]] <math>\R</math> dengan pengurutan standarnya (yang juga merupakan satu-satunya pengurutan yang dimilikinya).
+* Sebarang sublapangan dari lapangan terurut; seperti [[bilangan aljabar]] dan [[bilangan terhitung]] real, merupakan lapangan terurut dengan membatasi pengurutan ke sublapangan tersebut.
+* Lapangan [[fungsi rasional]] real <math display="inline">p(x)/q(x),</math> dengan <math>p(x)</math> dan <math>q(x)</math> berupa [[polinomial]] dengan koefisien rasional dan <math>q(x) \ne 0\,</math>, dapat dibuat menjadi lapangan terurut dengan menetapkan suatu [[bilangan transenden]] <math>\alpha</math> dan mendefinisikan  <math>p(x)/q(x) > 0</math> jika dan hanya jika <math>p(\alpha)/q(\alpha) > 0.</math> Cara tersebut setara dengan menyisipkan <math>\mathbb{Q}(x)</math> ke <math>\mathbb{R}</math> lewat <math>x\mapsto \alpha</math> dan membatasi pengurutan dari <math>\mathbb{R}</math> ke suatu pengurutan dari bayangan dari <math>\mathbb{Q}(x)</math>. Dalam gaya ini, kita dapat mendapatkan banyak pengurutan dari <math>\mathbb{Q}(x)</math>.
+* Lapangan <math>\mathbb{R}(x)</math> dari [[fungsi rasional]] <math>p(x)/q(x)</math>, dengan <math>p(x)</math> dan <math>q(x)</math> berupa polinomal dengan koefisien real dan <math>q(x) \ne 0</math>, dapat dibuat menjadi lapangan terurut dengan mendefinisikan <math>p(x)/q(x) > 0</math> untuk mengartikan <math>p_n/q_m > 0</math>, dengan <math>p_n \neq 0</math> dan <math>q_m \neq 0</math> masing-masing adalah koefisien terdepan dari polinomial <math>p(x) = p_n x^n + \dots + p_0</math> dan <math>q(x) = q_m x^m + \dots + q_0</math>. Cara lain yang setara: untuk setiap fungsi rasional <math>f(x), g(x)\in \mathbb{R}(x)</math> kita memiliki <math>f(x) < g(x)</math> jika dan hanya jika <math>f(t) < g(t)</math> untuk semua <math>t\in\mathbb{R}</math> yang cukup besar. Dalam lapangan terurut ini, polinomial <math>p(x)=x</math> lebih besar dari sebarang polinomial konstan, mengakibatkan lapangan terurut tidak [[Sifat Archimedes|bersifat Archimedes]].
+* Lapangan <math>\mathbb{R}((x))</math> dari [[Deret pangkat formal|deret Laurent formal]] dengan koefisien real dan <math>x</math> dianggap ''infitesimal'' dan positif.
+== Sifat ==
+[[Berkas:Invariance_of_less-than-relation_by_multiplication_with_positive_number.svg|jmpl|Untuk sebarang <math>a>0</math> dan <math>x<y</math>, akan berlaku <math>ax<ay.</math>]]
+[[Berkas:Translation_invariance_of_less-than-relation.svg|jmpl|Untuk sebarang <math>x < y </math> akan berlaku <math>a+x < a+y. </math>]]
+Untuk sebarang lapangan terurut <math display="inline">F</math> dan sebarang <math>a,b,c,d</math> di <math>F</math>, sifat-sifat ini berlaku untuk <math display="inline">F</math>:
+* Antara <math>-a \leq 0 \leq a</math> atau <math>a \leq 0 \leq -a.</math>
+* Pertidaksamaan dapat "dijumlahkan": jika <math>a \le b</math> dan <math>c \le d</math>, maka <math>a + c \le b + d</math>.
+* Pertidaksamaan dapat "dikalikan dengan elemen positif": jika <math>a \le b</math> dan <math>0 \le c</math>, maka <math>ac \le bc</math>.
+* "Mengalikan dengan elemen negatif akan membalik pertidaksamaan": jika <math>a \le b</math> dan <math>c \le 0</math>, maka <math>ac \ge bc</math>.
+* [[Sifat transitif|Transitivitas]] dari pertidaksamaan: jika <math>a < b</math> dan <math>b < c</math>, maka <math>a < c</math>.
+* Jika <math>a < b</math> dan <math>a, b > 0</math>, maka <math display="inline">1/b < 1/a </math>.
+* Penguadratan selalu non-negatif: <math>0\le a^2 </math>. Secara khusus, karena <math>1=1^2,</math> kita dapatkan <math>0\le 1.</math> Tapi <math>0\ne1,</math> sehingga kita simpulkan <math>0\le1.</math>
+* Medan terurut memiliki [[Karakteristik (aljabar)|karakteristik]] 0. (Karena <math>1>0,</math>, maka <math>1 + 1 > 0,</math> dan <math>1 + 1 + 1 > 0,</math> dst., sehingga tidak ada jumlah terhingga dari <math>1</math> yang dapat bernilai <math>0</math>). Secara khusus, ini mengartikan [[lapangan hingga]] tidak dapat diurutkan.
+* Setiap jumlah tak-trivial dari penguadratan bernilai tak-nol. Secara matematis, <math display="inline">\sum_{k=1}^n a_k^2 = 0 \; \Longrightarrow \; \forall k \; \colon a_k = 0 .</math><ref name="Lam412">Lam (2005) hlm. 41</ref><ref name="Lam2322">Lam (2005) hlm. 232</ref>
+Semua sublapangan dari sebarang lapangan terurut <math>F</math> juga merupakan lapangan terurut (mewarisi pengurutan yang digunakan <math>F</math>). Sublapangan terkecil dari <math>F</math> [[Isomorfisme|isomorfik]] ke [[Bilangan rasional|rasional]] (sama seperti semua lapangan dengan karakteristik 0 lainnya), dan urutan pada sublapangan rasional ini akan sama dengan urutan pada bilangan rasional. Lapangan terurut <math>F</math> isomorfik ke lapangan bilangan real <math display="inline">\R</math> jika dan hanya jika, setiap subset tak-kosong dari <math>F</math> dengan batas atas di <math>F</math> memiliki batas atas terkecil di <math>F</math>.
+Jika setiap elemen dari suatu lapangan terurut selalu terletak diantara dua elemen dari sublapangan rasionalnya, maka lapangan tersebut dikatakan bersifat [[Sifat Archimedes|Archimedes]]. Tapi jika tidak, lapangan bersifat non-Archimedes dan mengandung [[infinitesimal]]. Sebagai contoh, [[Bilangan riil|bilangan real]] membentuk suatu lapangan Archimedes, namun bilangan hiperreal tidak, karena sistem bilangan ini [[Perluasan lapangan|memperluas]] bilangan real dengan elemen-elemen yang lebih besar daripada semua [[bilangan asli]] standar.<ref name="BairHenry2">{{cite web|author1=Bair, Jaques|author2=Henry, Valérie|title=Implicit differentiation with microscopes|url=http://orbi.ulg.ac.be/bitstream/2268/13591/1/ImplicitDiff.pdf|publisher=[[University of Liège]]|access-date=2013-05-04}}</ref>
+=== Ruang vektor atas lapangan terurut ===
+{{Utama|Ruang koordinat}}
+[[Ruang vektor]] (khususnya ruang koordinat) atas suatu lapangan terurut memiliki beberapa sifat penting dan memiliki struktur yang khusus, yakni: [[Orientasi (ruang vektor)|orientasi]], [[Analisis konveks|kecembungan]], dan [[Ruang hasil-kali dalam|hasil-kali dalam]] yang definit-positif.
+== Keterurutan lapangan ==
+Semua lapangan terurut merupakan lapangan real yang formal (''formally real field''), artinya, elemen 0 tidak dapat dituliskan sebagai jumlah dari kuadrat-kuadrat elemen tak-nol.<ref name="Lam412" /><ref name="Lam2322" /> Kebalikannya, semua lapangan real yang formal dapat dilengkapi dengan suatu urutan total (yang sesuai), yang mengubahnya menjadi lapangan terurut. Bukti hubungan ini memerlukan [[Lemma Zorn|lema Zorn]].<ref name="Lam2362">Lam (2005) p. 236</ref>
+[[Lapangan terhingga|Lapangan hingga]] dan secara umum lapangan dengan karakteristik positif, tidak dapat diubah menjadi lapangan terurut. Bilangan kompleks juga tidak dapat diubah menjadi lapangan terurut, karena <math display="inline">-1</math> adalah kuadrat dari unit imajiner <math>i</math>. Selain itu, [[bilangan p-adik]] tidak dapat diurutkan karena berdasarkan [[Lemma Hensel|lema Hensel]], <math>\Q_2</math> mengandung akar kuadrat dari <math display="inline">-7</math> sehingga <math display="inline">1^2+1^2+1^2+2^2+(\sqrt{-7})^2=0, </math> dan <math>\Q_p</math> dengan <math>p>2</math> mengandung akar kuadrat dari <math display="inline">1-p</math> sehingga <math display="inline">(p-1)\cdot1^2 + (\sqrt{1-p})^2 = 0.</math>
 == Lihat pula ==
 * [[Gelanggang terurut]]
 * [[Ruang vektor terurut]]
-* [[Medan praurutan]]
-== Catatan ==
-{{reflist}}
-== Referensi ==
+== Catatan kaki ==
+<references />
-* {{citation | last=Lam | first=T. Y. | author-link=Tsit Yuen Lam | title=Orderings, valuations and quadratic forms | series=CBMS Regional Conference Series in Mathematics | volume=52 | publisher=[[American Mathematical Society]] | year=1983 | isbn=0-8218-0702-1 | zbl=0516.12001 | url-access=registration | url=https://archive.org/details/orderingsvaluati0000lamt }}
+== Pustaka ==
-* {{cite book | title=Introduction to Quadratic Forms over Fields | volume=67 | series=[[Graduate Studies in Mathematics]] | first=Tsit-Yuen | last=Lam | author-link=Tsit Yuen Lam | publisher=American Mathematical Society | year=2005 | isbn=0-8218-1095-2 | zbl=1068.11023 }}
-* {{Lang Algebra|edition=3}}
+* {{citation| last=Lam | first=T. Y. | author-link=Tsit Yuen Lam | title=Orderings, valuations and quadratic forms | series=CBMS Regional Conference Series in Mathematics | volume=52 | publisher=[[American Mathematical Society]] | year=1983 | isbn=0-8218-0702-1 | zbl=0516.12001 | url-access=registration | url=https://archive.org/details/orderingsvaluati0000lamt }}
+* {{cite book|last=Lam|first=Tsit-Yuen|year=2005|title=Introduction to Quadratic Forms over Fields|publisher=American Mathematical Society|isbn=0-8218-1095-2|series=[[Graduate Studies in Mathematics]]|volume=67|zbl=1068.11023|author-link=Tsit Yuen Lam}}
 {{DEFAULTSORT:Ordered Field}}
 [[Kategori:Struktur aljabar terurut]]