Pengguna:Kekavigi/bak pasir
Dalam aljabar linear, rentang linear atau span dari sebarang himpunan berisi vektor-vektor (yang berasal dari suatu ruang vektor) adalah himpunan semua kombinasi linear dari vektor-vektor di [1] Rentang linear dari umum disimbolkan dengan [2] Sebagai contoh, dua vektor yang saling bebas linear akan merentang suatu bidang. Rentang dapat dikarakterisasikan sebagai irisan dari semua subruang (vektor) yang mengandung maupun sebagai subruang yang mengandung Alhasil, rentang dari himpunan vektor menghasilkan suatu ruang vektor. Rentang dapat diperumum untuk matroid dan modul.
Untuk menyatakan bahwa suatu ruang vektor adalah rentang linear dari subset beberapa pernyataan berikut umum digunakan: merentang adalah himpunan merentang dari direntang/dibangkitkan oleh atau adalah pembangkit atau himpunan pembangkit dari
Definisi
Untuk sebarang ruang vektor atas lapangan rentang dari suatu himpunan yang beranggotakan vektor-vektor (tidak harus berhingga) didefinisikan sebagai irisan dari semua subruang dari yang mengandung Irisan disebut sebagai subruang yang direntang oleh atau oleh vektor-vektor di Kebalikannya, disebut himpunan merentang dari , dan kita katakan merentang
Rentang dari juga dapat didefinisikan sebagai himpunan dari semua kombinasi linear terhingga dari vektor-vektor di [3][4][5][6] Secara matematis, ini dituliskan sebagai
Contoh
Ruang vektor riil dapat direntang oleh himpunan . Himpunan ini juga merupakan suatu basis dari . Jika digantikan dengan , himpunan tersebut merupakan basis standar dari . Contoh himpunan pembangkit lain dari adalah , namun himpunan ini bukan basis karena bersifat bergantung linear.
Himpunan bukan himpunan merentang dari , karena rentangnya adalah subruang semua vektor di yang komponen terakhirnya bernilai Subruang tersebut juga direntang oleh himpunan karena adalah kombinasi linear dari dan
Himpunan kosong adalah himpunan merentang dari karena himpunan kosong adalah subset dari semua subruang vektor yang mungkin di dan adalah irisan dari semua subruang tersebut.
Himpunan semua monomial dengan adalah bilangan bulat non-negatif, merentang ruang polinomial.
Teorema
Kesetaraan antar definisi
Untuk sebarang ruang vektor atas lapangan himpunan semua kombinasi linear dari subset dari adalah subruang terkecil dari yang mengandung
- Bukti. Pertama kita tunjukkan bahwa adalah subruang dari Karena adalah subset dari kita cukup membuktikan bahwa vektor anggota dari bahwa dibawah penjumlahan, dan bahwa tertutup dibawah perkalian skalar. Misalkan , mudah ditunjukkan bahwa vektor nol di ada di karena Menjumlahkan sebarang dua kombinasi linear dari akan menghasilkan kombinasi linear dari : dengan semua , dan mengalikan sebarang kombinasi linear dari dengan sebarang skalar akan menghasilkan kombinasi linear dari :Alhasil, adalah subruang dari
- Misalkan adalah subruang yang mengandung Perhatikan bahwa karena semua merupakan kombinasi linear dari (secara langsung). Karena tertutup dibawah penjumlahan dan perkalian skalar, maka setiap kombinasi linear harus berada di Akibatnya, terkandung di semua subruang dari yang mengandung Lebih lanjut, irisan semua subruang tersebut, yakni subruang terkecil, sama dengan himpunan semua kombinasi linear dari
Size of spanning set is at least size of linearly independent set
Every spanning set S of a vector space V must contain at least as many elements as any linearly independent set of vectors from V.
- Proof. Let be a spanning set and be a linearly independent set of vectors from V. We want to show that .
- Since S spans V, then must also span V, and must be a linear combination of S. Thus is linearly dependent, and we can remove one vector from S that is a linear combination of the other elements. This vector cannot be any of the wi, since W is linearly independent. The resulting set is , which is a spanning set of V. We repeat this step n times, where the resulting set after the pth step is the union of and m - p vectors of S.
- It is ensured until the nth step that there will always be some vi to remove out of S for every adjoint of v, and thus there are at least as many vi's as there are wi's—i.e. . To verify this, we assume by way of contradiction that . Then, at the mth step, we have the set and we can adjoin another vector . But, since is a spanning set of V, is a linear combination of . This is a contradiction, since W is linearly independent.
Spanning set can be reduced to a basis
Let V be a finite-dimensional vector space. Any set of vectors that spans V can be reduced to a basis for V, by discarding vectors if necessary (i.e. if there are linearly dependent vectors in the set). If the axiom of choice holds, this is true without the assumption that V has finite dimension. This also indicates that a basis is a minimal spanning set when V is finite-dimensional.
Generalizations
Generalizing the definition of the span of points in space, a subset X of the ground set of a matroid is called a spanning set if the rank of X equals the rank of the entire ground set[butuh rujukan].
The vector space definition can also be generalized to modules.[7][8] Given an R-module A and a collection of elements a1, ..., an of A, the submodule of A spanned by a1, ..., an is the sum of cyclic modules
Closed linear span (functional analysis)
In functional analysis, a closed linear span of a set of vectors is the minimal closed set which contains the linear span of that set.
Suppose that X is a normed vector space and let E be any non-empty subset of X. The closed linear span of E, denoted by or , is the intersection of all the closed linear subspaces of X which contain E.
One mathematical formulation of this is
The closed linear span of the set of functions xn on the interval [0, 1], where n is a non-negative integer, depends on the norm used. If the L2 norm is used, then the closed linear span is the Hilbert space of square-integrable functions on the interval. But if the maximum norm is used, the closed linear span will be the space of continuous functions on the interval. In either case, the closed linear span contains functions that are not polynomials, and so are not in the linear span itself. However, the cardinality of the set of functions in the closed linear span is the cardinality of the continuum, which is the same cardinality as for the set of polynomials.
Notes
The linear span of a set is dense in the closed linear span. Moreover, as stated in the lemma below, the closed linear span is indeed the closure of the linear span.
Closed linear spans are important when dealing with closed linear subspaces (which are themselves highly important, see Riesz's lemma).
A useful lemma
Let X be a normed space and let E be any non-empty subset of X. Then
- is a closed linear subspace of X which contains E,
- , viz. is the closure of ,
(So the usual way to find the closed linear span is to find the linear span first, and then the closure of that linear span.)
Catatan kaki
- ^ (Axler 2015) p. 29, § 2.7
- ^ (Axler 2015) pp. 29-30, §§ 2.5, 2.8
- ^ (Hefferon 2020) p. 100, ch. 2, Definition 2.13
- ^ (Axler 2015) pp. 29-30, §§ 2.5, 2.8
- ^ (Roman 2005) pp. 41-42
- ^ (MathWorld 2021) Vector Space Span.
- ^ (Roman 2005) p. 96, ch. 4
- ^ (Lane & Birkhoff 1999) p. 193, ch. 6
Daftar pustaka
Buku
- Axler, Sheldon Jay (2015). Linear Algebra Done Right (edisi ke-3rd). Springer. ISBN 978-3-319-11079-0.
- Hefferon, Jim (2020). Linear Algebra (edisi ke-4th). Orthogonal Publishing. ISBN 978-1-944325-11-4.
- Lane, Saunders Mac; Birkhoff, Garrett (1999) [1988]. Algebra (edisi ke-3rd). AMS Chelsea Publishing. ISBN 978-0821816462.
- Roman, Steven (2005). Advanced Linear Algebra (edisi ke-2nd). Springer. ISBN 0-387-24766-1.
- Rynne, Brian P.; Youngson, Martin A. (2008). Linear Functional Analysis. Springer. ISBN 978-1848000049.
- Lay, David C. (2021) Linear Algebra and Its Applications (6th Edition). Pearson.
Situs
- Lankham, Isaiah; Nachtergaele, Bruno; Schilling, Anne (13 February 2010). "Linear Algebra - As an Introduction to Abstract Mathematics" (PDF). University of California, Davis. Diakses tanggal 27 September 2011.
- Weisstein, Eric Wolfgang. "Vector Space Span". MathWorld. Diakses tanggal 16 Feb 2021.
- "Linear hull". Encyclopedia of Mathematics. 5 April 2020. Diakses tanggal 16 Feb 2021.
Pranala luar
- Linear Combinations and Span: Understanding linear combinations and spans of vectors, khanacademy.org.
- Sanderson, Grant (August 6, 2016). "Linear combinations, span, and basis vectors". Essence of Linear Algebra. Diarsipkan dari versi asli tanggal 2021-12-11 – via YouTube.