Rentang linear: Perbedaan antara revisi

← Revisi sebelumnya Revisi selanjutnya →

Konten dihapus Konten ditambahkan

Sebaris

Revisi per 20 Maret 2024 11.47

Dalam aljabar linear, rentang linear atau span dari sebarang himpunan $S$ berisi vektor-vektor (yang berasal dari suatu ruang vektor) adalah himpunan semua kombinasi linear dari vektor-vektor di $S.$ ^[1] Rentang linear dari $S$ umum disimbolkan dengan ${\text{span}}(S).$ ^[2] Sebagai contoh, dua vektor yang saling bebas linear akan merentang suatu bidang. Rentang dapat dikarakterisasikan sebagai irisan dari semua subruang (vektor) yang mengandung $S,$ maupun sebagai subruang yang mengandung $S.$ Alhasil, rentang dari himpunan vektor menghasilkan suatu ruang vektor. Rentang dapat diperumum untuk matroid dan modul.

Untuk menyatakan bahwa suatu ruang vektor $V$ adalah rentang linear dari subset $S,$ beberapa pernyataan berikut umum digunakan: $S$ merentang $V,$ $S$ adalah himpunan merentang dari $V,$ $V$ direntang/dibangkitkan oleh $S,$ atau $S$ adalah pembangkit atau himpunan pembangkit dari $V.$

Definisi

Untuk sebarang ruang vektor $V$ atas lapangan $K,$ rentang dari suatu himpunan $S$ yang beranggotakan vektor-vektor (tidak harus berhingga) didefinisikan sebagai irisan $W$ dari semua subruang dari $V$ yang mengandung $S.$ Irisan $W$ disebut sebagai subruang yang direntang oleh $S,$ atau oleh vektor-vektor di $S.$ Kebalikannya, $S$ disebut himpunan merentang dari $W$ , dan kita katakan $S$ merentang $W.$

Rentang dari $S$ juga dapat didefinisikan sebagai himpunan dari semua kombinasi linear terhingga dari vektor-vektor di $S.$ ^[3]^[4]^[5]^[6] Secara matematis, ini dituliskan sebagai

\operatorname {span} (S)=\left\{{\left.\sum _{i=1}^{k}\lambda _{i}\mathbf {v} _{i}\;\right|\;k\in \mathbb {N} ,\mathbf {v} _{i}\in S,\lambda _{i}\in K}\right\}.

Pada kasus

S

berukuran tak-hingga, syarat kombinasi linear yang tak-terhingga (yakni, keadaan ketika kombinasi menggunakan konsep penjumlahan tak-hingga, dengan mengasumsikan penjumlahan seperti itu dapat didefinisikan) tidak disertakan dalam definisi.

Contoh

Ruang vektor riil $\mathbb {R} ^{3}$ dapat direntang oleh himpunan $\{(-1,0,0),\,(0,1,0),\,(0,0,1)\}$ . Himpunan ini juga merupakan suatu basis dari $\mathbb {R} ^{3}$ . Jika $(-1,0,0)$ digantikan dengan $(1,0,0)$ , himpunan tersebut merupakan basis standar dari $\mathbb {R} ^{3}$ . Contoh himpunan pembangkit lain dari $\mathbb {R} ^{3}$ adalah $\{(1,2,3),\,(0,1,2),\,(-1,{\tfrac {1}{2}},3),\,(1,1,1)\}$ , namun himpunan ini bukan basis karena bersifat bergantung linear.

Himpunan $\{(1,0,0),\,(0,1,0),\,(1,1,0)\}$ bukan himpunan merentang dari $\mathbb {R} ^{3}$ , karena rentangnya adalah subruang semua vektor di $\mathbb {R} ^{3}$ yang komponen terakhirnya bernilai $0.$ Subruang tersebut juga direntang oleh himpunan $\{(1,0,0),\,(0,1,0)\},$ karena $(1,1,0)$ adalah kombinasi linear dari $(1,0,0)$ dan $(0,1,0).$

Himpunan kosong adalah himpunan merentang dari $\{(0,0,0)\},$ karena himpunan kosong adalah subset dari semua subruang vektor yang mungkin di $\mathbb {R} ^{3},$ dan $\{(0,0,0)\}$ adalah irisan dari semua subruang tersebut.

Himpunan semua monomial $x^{n},$ dengan $n$ adalah bilangan bulat non-negatif, merentang ruang polinomial.

Teorema

Kesetaraan antar definisi

Untuk sebarang ruang vektor $V$ atas lapangan $K,$ himpunan semua kombinasi linear dari subset $S$ dari $V,$ adalah subruang terkecil dari $V$ yang mengandung $S.$

Bukti. Pertama kita tunjukkan bahwa

{\text{span}}(S)

adalah subruang dari

V.

Karena

S

adalah subset dari

V,

kita cukup membuktikan bahwa vektor

\mathbf {0}

anggota dari

{\text{span}}(S),

bahwa

{\text{span}}(S)

dibawah penjumlahan, dan bahwa

{\text{span}}(S)

tertutup dibawah perkalian skalar. Misalkan

S=\{\mathbf {v} _{1},\mathbf {v} _{2},\ldots ,\mathbf {v} _{n}\}

, mudah ditunjukkan bahwa vektor nol di

V

ada di

{\text{span}}(S),

karena

\mathbf {0} =0\mathbf {v} _{1}+0\mathbf {v} _{2}+\cdots +0\mathbf {v} _{n}.

Menjumlahkan sebarang dua kombinasi linear dari

S

akan menghasilkan kombinasi linear dari

S:

(\lambda _{1}\mathbf {v} _{1}+\cdots +\lambda _{n}\mathbf {v} _{n})+(\mu _{1}\mathbf {v} _{1}+\cdots +\mu _{n}\mathbf {v} _{n})=(\lambda _{1}+\mu _{1})\mathbf {v} _{1}+\cdots +(\lambda _{n}+\mu _{n})\mathbf {v} _{n},

dengan semua

\lambda _{i},\mu _{i}\in K

, dan mengalikan sebarang kombinasi linear dari

S

dengan sebarang skalar

c\in K

akan menghasilkan kombinasi linear dari

S:

c(\lambda _{1}\mathbf {v} _{1}+\cdots +\lambda _{n}\mathbf {v} _{n})=c\lambda _{1}\mathbf {v} _{1}+\cdots +c\lambda _{n}\mathbf {v} _{n}.

Alhasil,

{\text{span}}(S)

adalah subruang dari

V.

Misalkan

W

adalah subruang

V

yang mengandung

S.

Perhatikan bahwa

S\subseteq \operatorname {span} S,

karena semua

\mathbf {v} _{i}

merupakan kombinasi linear dari

S

(secara langsung). Karena

W

tertutup dibawah penjumlahan dan perkalian skalar, maka setiap kombinasi linear

\lambda _{1}\mathbf {v} _{1}+\cdots +\lambda _{n}\mathbf {v} _{n}

harus berada di

W.

Akibatnya,

{\text{span}}(S)

terkandung di semua subruang dari

V

yang mengandung

S.

Lebih lanjut, irisan semua subruang tersebut, yakni subruang terkecil, sama dengan himpunan semua kombinasi linear dari

S.

Kardinalitas himpunan merentang setidaknya sebesar himpunan bebas linear

Sebarang himpunan $S$ yang merentang ruang vektor $V$ harus memiliki anggota setidaknya sebanyak jumlah anggota pada sebarang himpunan bebas linear dari $V.$

Bukti. Misalkan

S=\{\mathbf {v} _{1},\ldots ,\mathbf {v} _{m}\}

adalah suatu himpunan merentang dan

W=\{\mathbf {w} _{1},\ldots ,\mathbf {w} _{n}\}

adalah himpunan vektor-vektor yang saling bebas linear di

V.

Kita akan menunjukkan bahwa

m\geq n.

Karena

S

merentang

V,

maka

S\cup \{\mathbf {w} _{1}\}

juga harus merentang

V,

dan

\mathbf {w} _{1}

harus merupakan hasil kombinasi linear dari

S.

Akibatnya

S\cup \{\mathbf {w} _{1}\}

bergantung linear, dan kita dapat membuat satu vektor dari

S

yang dapat dinyatakan sebagai kombinasi anggota

S

lainnya. Vektor ini tidak mungkin

\mathbf {w} _{i}

karena

W

bebas linear. Himpunan yang dihasilkan proses ini adalah

\{\mathbf {w} _{1},\mathbf {v} _{1},\ldots ,\mathbf {v} _{i-1},\mathbf {v} _{i+1},\ldots ,\mathbf {v} _{m}\},

yang merupakan himpunan merentang bagi

V.

Kita ulangi proses ini sebanyak

n

kali, yang tahap ke-

p

-nya akan menghasilkan himpunan hasil gabungan

\{\mathbf {w} _{1},\ldots ,\mathbf {w} _{p}\}

dan

m-p

vektor dari

S.

Dapat dipastikan sampai tahap ke-

n

akan selalu ada suatu

\mathbf {v} _{i}

untuk dibuang dari

S

, akibatnya

\mathbf {v} _{i}

setidaknya sama banyaknya dengan

\mathbf {w} _{i}

; dengan kata lain,

m\geq n.

Untuk membuktikan hal ini, kita menggunakan bukti kontradiksi dengan menganggap

m<n.

Saat tahap ke-

m

, kita memiliki himpunan

\{\mathbf {w} _{1},\ldots ,\mathbf {w} _{m}\}

dan kita dapat menambahkan vektor baru

\mathbf {w} _{m+1}.

Tapi karena

\{\mathbf {w} _{1},\ldots ,\mathbf {w} _{m}\}

adalah himpunan merentang dari

V,

vektor

\mathbf {w} _{m+1}

adalah kombinasi linear dari

\{\mathbf {w} _{1},\ldots ,\mathbf {w} _{m}\}

. Ini adalah kontradiksi, karena

W

bersifat bebas linear.

Himpunan merentang dapat disederhanakan menjadi suatu basis

Misalkan $V$ adalah ruang vektor dimensi terhingga. Sebarang himpunan vektor yang merentang $V$ dapat disederhanakan menjadi suatu basis bagi $V,$ dengan membuang vektor dari keanggotaannya jika diperlukan (maksudnya, ketika ada vektor yang bergantung linear pada vektor-vektor lainnya). Jika aksioma pemilihan berlaku, teorema ini juga berlaku untuk kasus $V$ berdimensi tak-hingga. Teorema ini juga mengartikan sebarang basis adalah himpunan merentang terkecil, ketika $V$ berdimensi hingga.

Catatan kaki

^ (Axler 2015) p. 29, § 2.7
^ (Axler 2015) pp. 29-30, §§ 2.5, 2.8
^ (Hefferon 2020) p. 100, ch. 2, Definition 2.13
^ (Axler 2015) pp. 29-30, §§ 2.5, 2.8
^ (Roman 2005) pp. 41-42
^ (MathWorld 2021) Vector Space Span.

Daftar pustaka

Buku

Axler, Sheldon Jay (2015). Linear Algebra Done Right (edisi ke-3rd). Springer. ISBN 978-3-319-11079-0.
Hefferon, Jim (2020). Linear Algebra (edisi ke-4th). Orthogonal Publishing. ISBN 978-1-944325-11-4.
Lane, Saunders Mac; Birkhoff, Garrett (1999) [1988]. Algebra (edisi ke-3rd). AMS Chelsea Publishing. ISBN 978-0821816462.
Roman, Steven (2005). Advanced Linear Algebra (edisi ke-2nd). Springer. ISBN 0-387-24766-1.
Rynne, Brian P.; Youngson, Martin A. (2008). Linear Functional Analysis. Springer. ISBN 978-1848000049.
Lay, David C. (2021) Linear Algebra and Its Applications (6th Edition). Pearson.

Situs web

Lankham, Isaiah; Nachtergaele, Bruno; Schilling, Anne (13 February 2010). "Linear Algebra - As an Introduction to Abstract Mathematics" (PDF). University of California, Davis. Diakses tanggal 27 September 2011.
Weisstein, Eric Wolfgang. "Vector Space Span". MathWorld. Diakses tanggal 16 Feb 2021.
"Linear hull". Encyclopedia of Mathematics. 5 April 2020. Diakses tanggal 16 Feb 2021.

Pranala luar

Linear Combinations and Span: Understanding linear combinations and spans of vectors, khanacademy.org.
Sanderson, Grant (August 6, 2016). "Linear combinations, span, and basis vectors". Essence of Linear Algebra. Diarsipkan dari versi asli tanggal 2021-12-11 – via YouTube.

[1] (Axler 2015) p. 29, § 2.7

[:0-2] (Axler 2015) pp. 29-30, §§ 2.5, 2.8

[3] (Hefferon 2020) p. 100, ch. 2, Definition 2.13

[:02-4] (Axler 2015) pp. 29-30, §§ 2.5, 2.8

[5] (Roman 2005) pp. 41-42

[6] (MathWorld 2021) Vector Space Span.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

@@ Baris 1: / Baris 1: @@
+{{Short description|Ruang vektor yang dihasilkan dari kombinasi linear elemen-elemen di suatu himpunan}}
-Dalam [[aljabar linear]], '''rentang linear''' ([[bahasa Inggris]]: ''linear span'') suatu kumpulan vektor ''S''= (''v<sub>1</sub>'', ''v<sub>2</sub>'', ''v<sub>3</sub>'', ... ''v<sub>n</sub>'') dari suatu [[ruang vektor]] ''V'' adalah semua [[kombinasi linear]] dari kumpulan vektor tersebut. Rentang linear ''S'' biasanya dilambangkan dengan notasi span(''S''). Rentang linear tersebut juga adalah ruang bagian linear dari ''V''<ref>{{cite book|title=Linear Algebra Done Right|url=https://archive.org/details/linearalgebradon00saxl|last=Axler|first=Sheldon|edition=2|publisher=Springer|year=1997|page=[https://archive.org/details/linearalgebradon00saxl/page/n35 22]}}</ref>
+[[Berkas:Basis_for_a_plane.svg|jmpl|Bidang yang direntang oleh vektor '''u''' dan '''v''' di '''R'''<sup>3</sup>.]]
+Dalam [[aljabar linear]], '''rentang linear''' atau '''span''' dari sebarang [[Himpunan (matematika)|himpunan]] <math>S</math> berisi [[Vektor Euklides|vektor-vektor]] (yang berasal dari suatu ruang vektor) adalah himpunan semua [[kombinasi linear]] dari vektor-vektor di <math>S.</math><ref>{{Harvard citation text|Axler|2015}} p. 29, § 2.7</ref> Rentang linear dari <math>S</math> umum disimbolkan dengan <math>\text{span}(S).</math><ref name=":0">{{Harvard citation text|Axler|2015}} pp. 29-30, §§ 2.5, 2.8</ref> Sebagai contoh, dua vektor yang saling [[Kebebasan linear|bebas linear]] akan merentang suatu [[Bidang (geometri)|bidang]]. Rentang dapat dikarakterisasikan<!-- istilah 'dikarakterisasikan' secara praktis sama saja dengan istilah 'didefinisikan', namun saya ragu untuk menggunakan padanan ini. --kekavigi --> sebagai [[Irisan (teori himpunan)|irisan]] dari semua [[Subruang vektor|subruang (vektor)]] yang mengandung <math>S,</math> maupun sebagai subruang yang mengandung <math>S.</math> Alhasil, rentang dari himpunan vektor menghasilkan suatu ruang vektor. Rentang dapat diperumum untuk [[matroid]] dan [[Modul (matematika)|modul]].
+Untuk menyatakan bahwa suatu ruang vektor <math>V</math> adalah rentang linear dari subset <math>S,</math> beberapa pernyataan berikut umum digunakan: <math>S</math> merentang <math>V,</math> <math>S</math> adalah ''himpunan merentang'' dari <math>V,</math> <math>V</math> direntang/dibangkitkan oleh <math>S,</math> atau <math>S</math> adalah [[Pembangkit (matematika)|pembangkit]] atau himpunan pembangkit dari <math>V.</math>
-== Rujukan ==
-{{reflist}}
+== Definisi ==
-{{Aljabar linear}}
+Untuk sebarang [[ruang vektor]] <math>V</math> atas [[Lapangan (matematika)|lapangan]] <math>K,</math> rentang dari suatu himpunan <math>S</math> yang beranggotakan vektor-vektor (tidak harus berhingga) didefinisikan sebagai irisan <math>W</math> dari semua [[Subruang vektor|subruang]] dari <math>V</math> yang mengandung <math>S.</math> Irisan <math>W</math> disebut sebagai subruang yang ''direntang oleh'' <math>S,</math> atau oleh vektor-vektor di <math>S.</math> Kebalikannya, <math>S</math> disebut ''himpunan merentang'' dari <math>W</math>, dan kita katakan <math>S</math> ''merentang <math>W.</math>''
+Rentang dari <math>S</math> juga dapat didefinisikan sebagai himpunan dari semua [[kombinasi linear]] terhingga dari vektor-vektor di <math>S.</math><ref>{{Harvard citation text|Hefferon|2020}} p. 100, ch. 2, Definition 2.13</ref><ref name=":02">{{Harvard citation text|Axler|2015}} pp. 29-30, §§ 2.5, 2.8</ref><ref>{{Harvard citation text|Roman|2005}} pp. 41-42</ref><ref>{{Harvard citation text|MathWorld|2021}} Vector Space Span.</ref> Secara matematis, ini dituliskan sebagai<math display="block"> \operatorname{span}(S) =  \left \{ {\left.\sum_{i=1}^k \lambda_i \mathbf v_i \;\right|\; k \in \N, \mathbf v_i  \in S, \lambda _i  \in K} \right \}.</math>Pada kasus <math>S</math> berukuran tak-hingga, syarat kombinasi linear yang tak-terhingga (yakni, keadaan ketika kombinasi menggunakan konsep penjumlahan tak-hingga, dengan mengasumsikan penjumlahan seperti itu dapat didefinisikan) tidak disertakan dalam definisi.
-[[Kategori:Aljabar linear]]
+== Contoh ==
+Ruang vektor [[Bilangan riil|riil]] <math>\mathbb R^3</math> dapat direntang oleh himpunan <math>\{(-1,0,0),\,(0,1,0),\,(0,0,1)\} </math>. Himpunan ini juga merupakan suatu [[Basis (aljabar linear)|basis]] dari <math>\mathbb R^3</math>. Jika <math>(-1,0,0)</math> digantikan dengan <math>(1,0,0)</math>, himpunan tersebut merupakan [[Basis (aljabar linear)|basis standar]] dari <math>\mathbb R^3</math>. Contoh himpunan pembangkit lain dari <math>\mathbb R^3</math> adalah <math>\{(1,2,3),\, (0, 1, 2),\, (-1, \tfrac{1}{2}, 3),\, (1, 1, 1)\}</math>, namun himpunan ini bukan basis karena bersifat [[Kebebasan linear|bergantung linear]].
+Himpunan <math>\{(1, 0, 0),\,(0, 1, 0),\,(1,1,0)\}</math> bukan himpunan merentang dari <math>\mathbb R^3</math>, karena rentangnya adalah subruang semua vektor di <math>\mathbb R^3</math> yang komponen terakhirnya bernilai <math>0.</math> Subruang tersebut juga direntang oleh himpunan <math>\{(1,0,0),\,(0,1,0)\},  </math> karena <math>(1,1,0)</math> adalah kombinasi linear dari <math>(1,0,0)</math> dan <math>(0,1,0).</math>
-{{matematika-stub}}
+Himpunan kosong adalah himpunan merentang dari <math>\{(0, 0, 0)\}, </math> karena himpunan kosong adalah subset dari semua subruang vektor yang mungkin di <math>\mathbb R^3,</math> dan <math>\{(0, 0, 0)\} </math> adalah irisan dari semua subruang tersebut.
-[[pl:Podprzestrzeń liniowa#Powłoka liniowa]]
-[[ru:Векторное пространство#Линейная оболочка]]
+Himpunan semua [[monomial]] <math>x^n,</math> dengan <math>n</math> adalah bilangan bulat non-negatif, merentang ruang [[polinomial]].
+== Teorema ==
+=== Kesetaraan antar definisi ===
+Untuk sebarang ruang vektor <math>V</math> atas lapangan <math>K,</math> himpunan semua kombinasi linear dari subset <math>S</math> dari <math>V,</math> adalah subruang terkecil dari <math>V</math> yang mengandung <math>S.</math>
+: ''Bukti.'' Pertama kita tunjukkan bahwa <math>\text{span}(S)</math> adalah subruang dari <math>V.</math> Karena <math>S</math> adalah subset dari <math>V,</math> kita cukup membuktikan bahwa vektor <math>\mathbf 0</math> anggota dari <math>\text{span}(S), </math> bahwa <math>\text{span}(S)</math> dibawah penjumlahan, dan bahwa <math>\text{span}(S)</math> tertutup dibawah perkalian skalar. Misalkan <math>S = \{ \mathbf v_1, \mathbf v_2, \ldots, \mathbf v_n \}</math>, mudah ditunjukkan bahwa vektor nol di <math>V</math> ada di <math>\text{span}(S), </math> karena <math>\mathbf 0 = 0 \mathbf v_1 + 0 \mathbf v_2 + \cdots + 0 \mathbf v_n.  </math> Menjumlahkan sebarang dua kombinasi linear dari <math>S</math> akan menghasilkan kombinasi linear dari <math>S:</math><math display="block">(\lambda_1 \mathbf v_1 + \cdots + \lambda_n \mathbf v_n) + (\mu_1 \mathbf v_1 + \cdots + \mu_n \mathbf v_n) = (\lambda_1 + \mu_1) \mathbf v_1 + \cdots + (\lambda_n + \mu_n) \mathbf v_n,</math>dengan semua <math>\lambda_i, \mu_i \in K</math>, dan mengalikan sebarang kombinasi linear dari <math>S</math> dengan sebarang skalar <math>c \in K</math> akan menghasilkan kombinasi linear dari <math>S:</math> <math display="block">c(\lambda_1 \mathbf v_1 + \cdots + \lambda_n \mathbf v_n) = c\lambda_1 \mathbf v_1 + \cdots + c\lambda_n \mathbf v_n. </math>Alhasil, <math>\text{span}(S)</math> adalah subruang dari <math>V.</math>
+: Misalkan <math>W</math> adalah subruang <math>V</math> yang mengandung <math>S.</math> Perhatikan bahwa <math>S \subseteq \operatorname{span} S,</math> karena semua <math>\mathbf{v}_i</math> merupakan kombinasi linear dari <math>S</math> (secara langsung). Karena <math>W</math> tertutup dibawah penjumlahan dan perkalian skalar, maka setiap kombinasi linear <math>\lambda_1 \mathbf v_1 + \cdots + \lambda_n \mathbf v_n</math> harus berada di <math>W.</math> Akibatnya, <math>\text{span}(S)</math> terkandung di semua subruang dari <math>V</math> yang mengandung <math>S.</math> Lebih lanjut, irisan semua subruang tersebut, yakni subruang terkecil, sama dengan himpunan semua kombinasi linear dari <math>S.</math>
+=== Kardinalitas himpunan merentang setidaknya sebesar himpunan bebas linear ===
+Sebarang himpunan <math>S</math> yang merentang ruang vektor <math>V</math> harus memiliki anggota setidaknya sebanyak jumlah anggota pada sebarang himpunan [[bebas linear]] dari <math>V.</math>
+: ''Bukti.'' Misalkan <math>S = \{ \mathbf v_1, \ldots, \mathbf v_m \}</math> adalah suatu himpunan merentang dan <math>W = \{ \mathbf w_1, \ldots, \mathbf w_n \}</math> adalah himpunan vektor-vektor yang saling bebas linear di <math>V.</math> Kita akan menunjukkan bahwa <math>m \geq n.</math>
+: Karena <math>S</math> merentang <math>V,</math> maka <math>S \cup \{ \mathbf w_1 \}</math> juga harus merentang <math>V,</math> dan <math>\mathbf w_1</math> harus merupakan hasil kombinasi linear dari <math>S.</math> Akibatnya <math>S \cup \{ \mathbf w_1 \}</math> bergantung linear, dan kita dapat membuat satu vektor dari <math>S</math> yang dapat dinyatakan sebagai kombinasi anggota <math>S</math> lainnya. Vektor ini tidak mungkin <math>\mathbf{w}_i</math> karena <math>W</math> bebas linear. Himpunan yang dihasilkan proses ini adalah <math>\{ \mathbf w_1, \mathbf v_1, \ldots, \mathbf v_{i-1}, \mathbf v_{i+1}, \ldots, \mathbf v_m \},</math> yang merupakan himpunan merentang bagi <math>V.</math> Kita ulangi proses ini sebanyak <math>n</math> kali, yang tahap ke-<math>p</math>-nya akan menghasilkan himpunan hasil gabungan <math>\{ \mathbf w_1, \ldots, \mathbf w_p \}</math> dan <math>m-p</math> vektor dari <math>S.</math>
+: Dapat dipastikan sampai tahap ke-<math>n</math> akan selalu ada suatu <math>\mathbf{v}_i</math> untuk dibuang dari <math>S</math>, akibatnya <math>\mathbf{v}_i</math> setidaknya sama banyaknya dengan <math>\mathbf{w}_i</math>; dengan kata lain, <math>m \geq n.</math> Untuk membuktikan hal ini, kita menggunakan bukti kontradiksi dengan menganggap <math>m < n.</math> Saat tahap ke-<math>m</math>, kita memiliki himpunan <math>\{ \mathbf w_1, \ldots, \mathbf w_m \}</math> dan kita dapat menambahkan vektor baru <math>\mathbf w_{m+1}.</math> Tapi karena <math>\{ \mathbf w_1, \ldots, \mathbf w_m \}</math> adalah himpunan merentang dari <math>V,</math> vektor <math>\mathbf w_{m+1}</math> adalah kombinasi linear dari <math>\{ \mathbf w_1, \ldots, \mathbf w_m \}</math>. Ini adalah kontradiksi, karena <math>W</math> bersifat bebas linear.
+=== Himpunan merentang dapat disederhanakan menjadi suatu basis ===
+Misalkan <math>V</math> adalah ruang vektor dimensi terhingga. Sebarang himpunan vektor yang merentang <math>V</math> dapat disederhanakan menjadi suatu [[Basis (aljabar linear)|basis]] bagi <math>V,</math> dengan membuang vektor dari keanggotaannya jika diperlukan (maksudnya, ketika ada vektor yang bergantung linear pada vektor-vektor lainnya). Jika [[aksioma pemilihan]] berlaku, teorema ini juga berlaku untuk kasus <math>V</math> berdimensi tak-hingga. Teorema ini juga mengartikan sebarang basis adalah himpunan merentang terkecil, ketika <math>V</math> berdimensi hingga.
+== Catatan kaki ==
+<references responsive="" />
+== Daftar pustaka ==
+=== Buku ===
+* {{Cite book|last=Axler|first=Sheldon Jay|year=2015|title=Linear Algebra Done Right|publisher=[[Springer Science+Business Media | Springer]]|isbn=978-3-319-11079-0|edition=3rd|author-link=Sheldon Axler}}
+* {{Cite book|last=Hefferon|first=Jim|year=2020|title=Linear Algebra|publisher=Orthogonal Publishing|isbn=978-1-944325-11-4|edition=4th|author-link=Jim Hefferon}}
+* {{Cite book|last1=Lane|first1=Saunders Mac|last2=Birkhoff|first2=Garrett|year=1999|title=Algebra|publisher=[[American Mathematical Society|AMS Chelsea Publishing]]|isbn=978-0821816462|edition=3rd|author-link=Saunders Mac Lane|author-link2=Garrett Birkhoff|orig-year=1988}}
+* {{Cite book|last=Roman|first=Steven|year=2005|title=Advanced Linear Algebra|publisher=[[Springer Science+Business Media|Springer]]|isbn=0-387-24766-1|edition=2nd|author-link=Steven Roman}}
+* {{Cite book|last1=Rynne|first1=Brian P.|last2=Youngson|first2=Martin A.|year=2008|title=Linear Functional Analysis|location=|publisher=Springer|isbn=978-1848000049|pages=}}
+* Lay, David C. (2021) ''Linear Algebra and Its Applications (6th Edition)''. Pearson.
+=== Situs web ===
+* {{cite web|last1=Lankham|first1=Isaiah|last2=Nachtergaele|first2=Bruno|author2-link=Bruno Nachtergaele|date=13 February 2010|title=Linear Algebra - As an Introduction to Abstract Mathematics|url=https://www.math.ucdavis.edu/~anne/linear_algebra/mat67_course_notes.pdf|publisher=University of California, Davis|access-date=27 September 2011|last3=Schilling|first3=Anne|author3-link=Anne Schilling}}
+* {{Cite web|last=Weisstein|first=Eric Wolfgang|author-link=Eric W. Weisstein|title=Vector Space Span|url=https://mathworld.wolfram.com/VectorSpaceSpan.html|website=[[MathWorld]]|access-date=16 Feb 2021|ref=CITEREFMathWorld2021}}
+* {{Cite web|date=5 April 2020|title=Linear hull|url=https://encyclopediaofmath.org/wiki/Linear_hull|website=[[Encyclopedia of Mathematics]]|access-date=16 Feb 2021|ref=CITEREFEncyclopedia_of_Mathematics2020}}
+== Pranala luar ==
+* [https://www.khanacademy.org/math/linear-algebra/vectors_and_spaces/linear_combinations/v/linear-combinations-and-span Linear Combinations and Span: Understanding linear combinations and spans of vectors], khanacademy.org.
+* {{Cite web|last=Sanderson|first=Grant|author-link=3Blue1Brown|date=August 6, 2016|title=Linear combinations, span, and basis vectors|url=https://www.youtube.com/watch?v=k7RM-ot2NWY&list=PLZHQObOWTQDPD3MizzM2xVFitgF8hE_ab&index=3|series=Essence of Linear Algebra|archive-url=https://ghostarchive.org/varchive/youtube/20211211/k7RM-ot2NWY|archive-date=2021-12-11|via=[[YouTube]]|url-status=live}}
+{{Aljabar linear}}
+[[Kategori:Aljabar linear]]

l b s Aljabar linear
Konsep dasar	Skalar Vektor Ruang vektor Perkalian skalar Proyeksi vektor Rentang linear Peta linear Proyeksi linear Kebebasan linear Kombinasi linear Basis Vektor kolom dan baris Ruang kolom dan baris Keortogonalan Kernel Nilai eigen dan vektor eigen Hasil kali luar Ruang hasil kali dalam Hasil kali titik Transpos Proses Gram–Schmidt Persamaan linear
Aljabar vektor	Hasil kali silang Hasil kali tripel Hasil kali silang tujuh dimensi
Aljabar multilinear	Aljabar geometri Aljabar eksterior Bivektor Multivektor Tensor Morfisme luar
Matriks	Blok Penguraian Dapat dibalik Minor Perkalian Rank Transformasi Aturan Cramer Eliminasi Gauss Determinan
Konstruksi aljabar	Dual Hasil kali tensor Jumlah langsung Kuosien Ruang fungsi Subruang
Numerik	Floating-point Stabilitas numerik Basic Linear Algebra Subprograms (BLAS) Matriks rongga Perbandingan pustaka aljabar linear Perbandingan perangkat lunak analisis numerik
Kategori Garis besar Portal matematika Wikibuku