Lompat ke isi

Substitusi tangen setengah sudut

Dari Wikipedia bahasa Indonesia, ensiklopedia bebas

Dalam integral kalculus, substitusi tangen setengah sudut adalah teknik pergantian variabel untuk menyelesaikan integral tak tentu, yang mengubah fungsi rasional dari fungsi trigonometri terhadap menjadi fungsi rasional biasa terhadap dengan menetapkan . Ini adalah proyeksi stereografik satu dimensi dari lingkaran satuan yang diparameterkan oleh ukuran sudut ke garis bilangan real. Rumus umum[1] transformasinya ialah:

Tangen setengah sudut itu penting dalam trigonometri bola dan kadang dikenal pada abad ke-17 sebagai setengah tangen atau semi-tangen.[2] Leonhard Euler menggunakan substitusi ini untuk menyelesaikan integral dalam buku cetak integral kalkulus tahun 1768 miliknya,[3] dan Adrien-Marie Legendre menjelaskan metodenya secara umum pada 1817.[4]

Substitusi ini dijelaskan pada sebagian besar buku integral kalkulus sejak akhir abad ke-19, biasanya tanpa nama khusus.[5] Substitusi ini dikenal dalam Rusia sebagai substitusi trigonometri universal (universal trigonometry substitution),[6] dan dikenal juga variasi nama seperti substitusi setengah tangen atau substitusi sudut paruh. Substitusi ini terkadang salah dikaitkan sebagai substitusi Weierstrass.[7] Michael Spivak menyebutnya "substitusi terlicik sedunia".[8]

Substitusi

[sunting | sunting sumber]

Dengan memperkenalkan variabel baru fungsi sinus dan kosinus dapat dinyatakan sebagai fungsi rasional terhadap dan dapat dinyatakan sebagai hasil perkalian dengan fungsi rasional terhadap sebagai berikut:

Penurunan rumus

[sunting | sunting sumber]

Dengan menggunakan rumus sudut rangkap sebagai pembilang, dan penggunaan identitas Pythagoras sebagai penyebut, lalu membagi pembilang dan penyebutnya dengan maka diperoleh

Dan terakhir, karena , kaidah pendiferensialan mengakibatkan

sehingga

Integral dari kosekan

[sunting | sunting sumber]

Jawaban di atas bisa dikonfirmasi menggunakan metode standar dalam mencari integral kosekan dengan mengalikan bagian pembilang dan penyebutnya dengan lalu melakukan substitusi .

Kedua jawaban ini adalah sama, karena

Integral fungsi sekan dapat dicari dengan cara yang serupa.

Integral tentu

[sunting | sunting sumber]

Pada baris pertama, kedua batas integralnya tidak bisa langsung diganti menjadi . Titik singularnya (pada kasus ini, asimtot vertikal) dengan pada saat harus diperhitungkan. Cara lainnya adalah selesaikan dulu integral tak tentunya, lalu terapkan batas integrasinya. yang merupakan jawaban yang sama seperti cara sebelumnya.

Sinus dan kosinus bersamaan

[sunting | sunting sumber]

dengan asumsi nilai . Nilai akan diasumsikan positif (sehingga substitusi yang relevan digunakan ialah substitusi trigonometri tangen. Jika , maka substitusi trigonometri yang dipilih ialah fungsi sekan). Misalkan , maka

Oleh karena dan , maka diperoleh :

Substitusi tangen setengah sudut memparameterkan lingkaran satuan yang berpusat pada  (0, 0). Dari pada +∞ dan −∞, hanya ada ∞, pada kedua ujung garis bilangan riil. Hal ini seringkali lumrah saat berhadapan dengan fungsi rasional dan dengan fungsi trigonometri.

Saat nilai x berganti, titik (cos x, sin x) berulang kali mengitari lingkaran satuan yang berpusat pada titik  (0, 0). Titik

hanya sekali mengitari lingkaran saat t berganti nilai dari −∞ menuju  +∞, dan tidak pernah menyentuh titik  (−1, 0), yaitu limit saat t mendekati  ±∞. Saat t berganti nilai dari −∞ ke −1, titik yang ditentukan oleh t melewati bagian lingkaran pada kuadran ketiga, dari (−1, 0) ke  (0, −1). Saat t berganti nilai dari −1 ke  0, titiknya melewati bagian lingkaran pada kuadran keempat, dari (0, −1) ke  (1, 0). Saat t berganti nilai dari 0 ke 1, titiknya melewati bagian lingkaran pada kuadran pertama, dari (1, 0) ke  (0, 1). Terakhir, saat t berganti nilai dari 1 ke  +∞, titiknya melewati bagian lingkaran pada kuadran kedua, dari (0, 1) ke  (−1, 0).

Berikut adalah sudut pandang geometris yang lain. Buatlah lingkaran satuan, dan misalkan P adalah titik (−1, 0). Sebuah garis yang melewati P (kecuali garis vertikal) ditentukan oleh kemiringannya. Nah, setiap garis tersebut (kecuali garis vertikal) memotong lingkaran satuan pada tepat dua titik, yang salah satunya merupakan titik P. Hal ini dapat dipandang sebagai sebuah fungsi yang memetakan titik pada lingkaran satuan ke kemiringan. Fungsi trigonometri sendiri adalah fungsi yang memetakan sudut ke titik pada lingkaran satuan, dan dengan menyatukan kedua fungsi ini, maka diperoleh sebuah fungsi yang memetakan sudut ke kemiringan.


Fungsi hiperbolik

[sunting | sunting sumber]

Sama seperti sifat lain yang dimiliki fungsi trigonometri dan fungsi hiperbolik, identitas hiperbolik dapat digunakan untuk mengonstruksikan substitusi yang serupa, :

Lihat juga

[sunting | sunting sumber]

Bacaan lebih lanjut

[sunting | sunting sumber]
  • Edwards, Joseph (1921). "§1.6.193". A Treatise on the Integral Calculus [Risalah tentang Integral Kalkulus] (dalam bahasa Inggris). 1. Macmillan. hlm. 187–188. 

Catatan dan Referensi

[sunting | sunting sumber]
  1. ^ Fungsi trigonometri lainnya dapat ditulis sebagai fungsi sinus dan kosinus.
  2. ^ Gunter, Edmund (1673) [1624]. The Works of Edmund Gunter. Francis Eglesfield.  p. 73
  3. ^ Euler, Leonhard (1768). "§1.1.5.261 Problema 29" (PDF). Institutiones calculi integralis [Fondasi dari Integral Kalkulus] (dalam bahasa Latin). I. Impensis Academiae Imperialis Scientiarum. hlm. 148–150.  E342, Terjemahan bahasa Inggris oleh Ian Bruce.
  4. ^ Legendre, Adrien-Marie (1817). Exercices de calcul intégral [Latihan untuk integral kalkulus] (dalam bahasa Prancis). 2. Courcier.  p. 245–246.
  5. ^ Sebagai contoh,
  6. ^ Piskunov, Nikolai (1969). Differential and Integral Calculus [Kalkulus Differensial dan Integral]. Mir.  p. 379
  7. ^ James Stewart menyinggung Karl Weierstrass saat membicarakan substitusi tersebut dalam buku cetak kalkulus populer miliknya, yang terbit pertama kali tahun 1987:

    Stewart, James (1987). "§7.5 Rationalizing substitutions"Perlu mendaftar (gratis). Calculus [Kalkulus]. Brooks/Cole. hlm. 431. Matematikawan Jerman Karl Weierstrauss (1815–1897) menyadari substitusi t = tan(x/2) akan mengubah fungsi rasional terhadap sin x dan cos x menjadi fungsi rasional biasa. 

    Penulis setelahnya, menyitasi Stewart, terkadang merujuk ini sebagai Substitusi Weierstrass, misalnya:

    Jeffrey, David J.; Rich, Albert D. (1994). "The evaluation of trigonometric integrals avoiding spurious discontinuities". Transactions on Mathematical Software. 20 (1): 124–135. 

    Merlet, Jean-Pierre (2004). "A Note on the History of Trigonometric Functions" [Catatan dalam Sejarah Fungsi Trigonometri] (PDF). Dalam Ceccarelli, Marco. International Symposium on History of Machines and Mechanisms (dalam bahasa Inggris). Kluwer. hlm. 195–200. doi:10.1007/1-4020-2204-2_16. 

    Weisstein, Eric W. (2011). "Weierstrass Substitution" [Substitusi Weierstrass]. MathWorld (dalam bahasa Inggris). Diakses tanggal 2020-04-01. 

    Stewart tidak memberikan bukti for the attribution to Weierstrass. Substitusi yang mirip muncul dalam Weierstrass’s Mathematical Works, from an 1875 lecture dimana Weierstrass credits Carl Gauss (1818) dengan ide untuk menyelesaikan integral dalam bentuk dengan substitusi

    Weierstrass, Karl (1915). "8. Bestimmung des Integrals ...". Mathematische Werke von Karl Weierstrass (dalam bahasa Jerman). 6. Mayer & Müller. hlm. 89–99. 

  8. ^ Spivak, Michael (1967). "Ch. 9, problems 9–10" [Bab 9, soal 9-10]. Calculus [Kalkulus] (dalam bahasa Inggris). Benjamin. hlm. 325–326. 

Pranala luar

[sunting | sunting sumber]