Titik (geometri)

Untuk kegunaan lain, lihat Titik (disambiguasi).

Dalam geometri Euklides, titik adalah suatu gagasan primitif yang memodelkan lokasi yang tepat di dalam ruang, serta tidak memiliki panjang, lebar, atau kedalaman. Gagasan primitif pada konteks ini berarti bahwa suatu titik tidak dapat didefinisikan dalam objek yang didefinisikan sebelumnya, dalam artian bahwa titik hanya didefinisikan dengan beberapa aksioma yang harus terpenuhi. Titik dalam matematika yang modern lebih mengacu pada suatu anggota dari suatu himpunan yang dikenal dengan sebutan ruang.

Titik dalam geometri Euklides

Suatu himpunan berhingga dari titik-titk (biru) di dalam ruang Euklides dua dimensi.

Titik, yang sering dipandang di dalam kerangka kerja geometri Euklides, merupakan salah satu objek yang paling mendasar. Euklides mulanya mendefinisikan titik sebagai "objek yang tidak memiliki bagian". Dalam ruang Euklides dua dimensi, titik dinyatakan sebagai pasangan terurut $\,(x,y)$; bilangan pertama pada pasangan tersebut, menurut konvensi, menyatakan horizontal dan sering dituliskan sebagai $\,x$, sementara bilangan kedua menyatakan vertikal dan sering dituliskan sebagai $\,y$. Gagasan ini mudah diperumum ke dalam ruang Euklides tiga dimensi, dengan titik dinyatakan oleh pasangan terurut rangkap tiga$\,(x,y,z)$, dengan bilangan tambahan ketiga menyatakan kedalaman dan dinyatakan dengan $z$. Perumuman lebih lanjut dinyatakan dengan pasangan terurut rangkap $n$,$\,(a_{1},a_{2},...,a_{n})$, dengan $n$ adalah dimensi ruang tempat titik berada.

Banyak objek yang dibangun di dalam geometri Euklides terdiri dari tak berhingga banyaknya kumpulan titik-titik yang sesuai dengan aksioma-aksioma tertentu. Hal ini biasanya dinyatakan oleh himpunan titik-titik; misalnya, garis adalah himpunan tak hingga banyaknya titik-titik yang berbentuk

$$\,L=\lbrace (a_{1},a_{2},...a_{n})|a_{1}c_{1}+a_{2}c_{2}+...a_{n}c_{n}=d\rbrace ,$$

dengan $\,c_{1}$ melalui $\,c_{n}$ dan $\,d$ adalah konstanta, serta $n$ adalah dimensi ruang. Juga terdapat konstruksi-konstruksi serupa yang mendefinisikan bidang, ruas garis, dan konsep-konsep lainnya yang saling berkaitan.

Geometri tanpa titik

Titik sudah dianggap merupakan gagasan yang fundamental dalam geometri dan topologi. Meskipun demikian, terdapat beberapa cabang yang tidak menggunakan gagasan titik, seperti geometri nonkomutatif (noncommutative geometry) dan topologi bebas titik (pointless topology). “Ruang bebas titik” (pointfree space) atau "ruang tanpa titik" (pointless space) tidak didefinisikan sebagai himpunan, melainkan didefinisikan melalui beberapa struktur (aljabar atau logika) yang terlihat seperti ruang fungsi yang terkenal pada himpunan tersebut, yaitu aljabar dari fungsi kontinu atau aljabar himpunan. Lebih tepatnya, struktur tersebut memperumum ruang yang terkenal dari fungsi menurut suatu cara di mana operasi “mengambil nilai pada titik tersebut” dapat didefinisikan.

Lihat pula

• Titik limit
• Ruang afin
• Titik batas
• Titik kritis
• Titik puncak
• Titik singular

Referensi

• de Laguna, T. (1922). "Point, line and surface as sets of solids,". The Journal of Philosophy. 19 (17): 449–461. doi:10.2307/2939504. JSTOR 2939504. 
• Gerla, G (1995). "Pointless Geometries" (PDF). Dalam Buekenhout, F.; Kantor, W. Handbook of Incidence Geometry: Buildings and Foundations. North-Holland. hlm. 1015–1031. Diarsipkan dari versi asli (PDF) tanggal 2011-07-17. Diakses tanggal 2023-02-26. 
• Heath, Thomas L. (1956). The Thirteen Books of Euclid's Elements. 1 (edisi ke-2nd). New York: Dover Publications. ISBN 0-486-60088-2. 
• Silverman, Richard A. (1969). Modern Calculus and Analytic Geometry. Macmillan. 

Pranala luar

• Definisi Titik dengan applet interaktif
• Halaman definisi titik, dengan animasi interaktif yang juga berguna di dalam suasana ruang kelas. Math Open Reference