Akar satuan

Terdapat lima akar satuan di bidang kompleks. Akar-akar satuan tersebut ditandai dengan titik berwarna biru.

Dalam matematika, akar satuan (Inggris: root of unity), berarti bahwa untuk sebarang bilangan kompleks akan menghasilkan 1 apabila dipangkatkan suatu bilangan bulat n. Akar satuan digunakan pada berbagai cabang ilmu matematika, dan sangat penting untuk teori bilangan dan transformasi Fourier diskrit.

Definisi umum

Akar satuan ke-n, dengan n adalah bilangan bulat positif, adalah sebuah bilangan z yang memenuhi persamaan

$z^{n}=1.$

Terdapat pengecualian bahwa kalau ditentukan, akar satuan dapat dianggap bilangan kompleks (termasuk bilangan 1, dan bilangan −1 jika n itu genap, yang merupakan bilangan kompleks dengan bagian imajinernya 0), dan dalam kasus ini, akar satuan ke-n ialah

$\exp \left({\frac {2k\pi i}{n}}\right)=\cos {\frac {2k\pi }{n}}+i\sin {\frac {2k\pi }{n}},\qquad k=0,1,\dots ,n-1.$

Sifat dasar

Setiap perpangkatan bilangan bulat dari akar satuan ke-n juga merupakan akar satuan ke-n, sebab

$(z^{k})^{n}=z^{kn}=(z^{n})^{k}=1^{k}=1.$

Hal ini juga berlaku untuk pangkat negatif. Lebih jelasnya, invers perkalian dari akar satuan ke-n adalah konjugat kompleksnya, yang sama-sama merupakan akar satuan ke-n:

${\frac {1}{z}}=z^{-1}=1\cdot z^{-1}=z^{n}\cdot z^{-1}=z^{n-1}={\bar {z}}.$

Sifat pada grup

Grup semua akar satuan

Hasil perkalian dan invers perkalian dari dua akar satuan juga merupakan akar satuan. Bahkan, jika x^m = 1 dan yⁿ = 1, maka (x⁻¹)^m = 1, dan (xy)^k = 1, dengan k adalah kelipatan persekutuan terkecil dari m dan n.

Oleh karena itu, himpunan akar satuan membentuk grup abelian terhadap perkalian. group ini merupakan subgrup torsi dari grup lingkaran.

Grup akar satuan ke-n

Untuk bilangan bulat n, hasil perkalian dan invers perkalian dari dua akar satuan ke-n juga merupakan akar satuan ke-n. Oleh karena itu, akar satuan ke-n membentuk gruo abelian terhadap perkalian.

Ekspresi trigonometri

Rumus de Moivre, yang valid untuk setiap bilangan riil x dan bilangan bulat n, adalah

$\left(\cos x+i\sin x\right)^{n}=\cos nx+i\sin nx.$

Substitusi x = 2πn menghasilkan akar satuan primitif ke-n – yaitu

$\left(\cos {\frac {2\pi }{n}}+i\sin {\frac {2\pi }{n}}\right)^{\!n}=\cos 2\pi +i\sin 2\pi =1,$

akan tetapi

$\left(\cos {\frac {2\pi }{n}}+i\sin {\frac {2\pi }{n}}\right)^{\!k}=\cos {\frac {2k\pi }{n}}+i\sin {\frac {2k\pi }{n}}\neq 1$

untuk k = 1, 2, …, n − 1. Dengan kata lain,

$\cos {\frac {2\pi }{n}}+i\sin {\frac {2\pi }{n}}$

merupakan akar satuan primitif ke-n.

Dalam bidang kompleks, rumus ini menunjukkan kalau akar satuan ke-n berada pada sudut sebuah segi-n beraturan di dalam lingkaran satuan, dengan satu sudut di 1 (lihat gambar n = 3 dan n = 5 di kanan).

Rumus Euler

$e^{ix}=\cos x+i\sin x,$

yang valid untuk setiap bilangan riil x, bisa digunakan untuk mengubah akar satuan ke-n dalam bentuk

$e^{2\pi i{\frac {k}{n}}},\quad 0\leq k<n.$

Grup siklik

Akar satuan ke-n membentuk grup siklik dengan orde n terhadap perkalian, dan bahkan grup ini mencakup semua subgrup berhingga dari grup perkalian dalam bidang kompleks.