Aljabar Akivis

Dalam matematika dan khususnya studi aljabar, aljabar Akivis adalah aljabar nonasosiatif yang dilengkapi dengan operator biner, komutator $[x,y]$ dan operator terner, asosiasi $[x,y,z]$ yang memenuhi hubungan tertentu yang dikenal sebagai identitas Akivis. Nama tersebut digunakan untuk menghormati matematikawan asal Rusia Maks A. Akivis.

Secara formal, jika $A$ adalah ruang vektor Medan atas $\mathbb {F}$ dari karakteristik nol, $A$ adalah aljabar Akivis jikalau operasi $\left(x,y\right)\mapsto \left[x,y\right]$ adalah bilinear dan antikomutatif; dan operator trilinear $\left(x,y,z\right)\mapsto \left[x,y,z\right]$ memenuhi identitas Akivis:

$\left[\left[x,y\right],z\right]+\left[\left[y,z\right],x\right]+\left[\left[z,x\right],y\right]=\left[x,y,z\right]+\left[y,z,x\right]+\left[z,x,y\right]-\left[x,z,y\right]-\left[y,x,z\right]-\left[z,y,x\right].$

Aljabar Akivis dengan $\left[x,y,z\right]=0$ adalah sebuah aljabar Lie, karena identitas Akivis direduksi sebagai identitas Jacobi. Perhatikan bahwa suku-suku pada ruas kanan memiliki tanda positif untuk permutasi genap dan tanda negatif untuk permutasi ganjil dari $x,y,z$.

Aljabar apa-pun (bahkan jika nonasosiatif) adalah aljabar Akivis kalau didefinisikan $\left[x,y\right]=xy-yx$ dan $\left[x,y,z\right]=(xy)z-x(yz)$. Diketahui bahwa semua aljabar Akivis direpresentasikan sebagai subaljabar dari aljabar (mungkin nonasosiatif) dengan cara ini (untuk aljabar asosiatif, pengasosiasinya identik dengan nol, dan identitas Akivis direduksi sebagai identitas Jacobi).

Referensi

• M. R. Bremner, I. R. Hentzel, and L. A. Peresi 2005. "Dimension formulas for the free nonassociative algebra". Communications in Algebra 33:4063-4081.