Bilangan yang sangat melimpah

Dalam Teori bilangan, sebuah bilangan bisa disebut colossally abundant(CA) atau Bilangan yang sangat melimpah jika memiliki jumlah pembagi yang luar biasa banyak menurut definisi khusus. Konsep ini ditentukan dengan menghitung rasio antara jumlah pembagi suatu bilangan dan bilangan tersebut yang dipangkatkan lebih dari satu. Bilangan dengan rasio tertinggi untuk eksponen tertentu disebut colossally abundant. Pembatasan ini lebih ketat dibandingkan superabundant number, namun tidak sepenuhnya lebih ketat dari abundant number.

Secara formal, suatu bilangan $n$ dikatakan berlimpah secara kolosal jika ada $ε > 0$ sehingga untuk semua $k > 1$ ,

{\frac {\sigma (n)}{n^{1+\varepsilon }}}\geq {\frac {\sigma (k)}{k^{1+\varepsilon }}}

Di mana $σ$ menunjukkan fungsi penjumlahan pembagi . ^[1]

15 bilangan colossally abundant pertama, yaitu 2, 6, 12, 60, 120, 360, 2520, 5040, 55440, 720720, 1441440, 4324320, 21621600, 367567200, 6983776800 (barisan A004490 pada OEIS), ternyata juga merupakan 15 bilangan superior highly composite pertama. Namun, kedua himpunan tersebut tidak sepenuhnya saling beririsan, artinya tidak ada yang merupakan himpunan bagian dari yang lain.

Sejarah

Srinivasa Ramanujan adalah orang pertama yang meneliti bilangan colossally abundant, dan dia berencana untuk memasukkan temuannya dalam makalahnya pada tahun 1915 tentang bilangan komposit tinggi. Namun, karena London Mathematical Society—penerbit jurnal, tempat Ramanujan mengirimkan makalahnya sedang mengalami masalah keuangan, Ramanujan sepakat untuk mengurangi bagian dari penelitiannya demi menekan biaya cetak.^[2]Sebagian besar penemuannya berkaitan dengan hipotesis Riemann, dan dengan asumsi itu, ia berhasil menentukan batas atas dan bawah untuk bilangan colossally abundant dan membuktikan bahwa ketidaksamaan Robin (dijelaskan di bawah) berlaku untuk semua n yang cukup besar.^[3]

Kelas angka tersebut dipertimbangkan kembali dalam bentuk yang sedikit lebih kuat dalam makalah tahun 1944 karya Leonidas Alaoglu dan Paul Erdős di mana mereka mencoba memperluas hasil Ramanujan. ^[4]

Referensi

^ K. Briggs, "Abundant Numbers and the Riemann Hypothesis", Experimental Mathematics 15:2 (2006), pp. 251–256, DOI:10.1080/10586458.2006.10128957.
^ S. Ramanujan, Collected papers, Chelsea, 1962.
^ S. Ramanujan, "Highly composite numbers. Annotated and with a foreword by J.-L. Nicholas and G. Robin", Ramanujan Journal 1 (1997), pp. 119–153.
^ Alaoglu, L.; Erdős, P. (1944), "On highly composite and similar numbers" (PDF), Transactions of the American Mathematical Society, 56 (3): 448–469, doi:10.2307/1990319, JSTOR 1990319, MR 0011087 .

[abundant-1] K. Briggs, "Abundant Numbers and the Riemann Hypothesis", Experimental Mathematics 15:2 (2006), pp. 251–256, DOI:10.1080/10586458.2006.10128957.

[Ramanujan-2] S. Ramanujan, Collected papers, Chelsea, 1962.

[Journal-3] S. Ramanujan, "Highly composite numbers. Annotated and with a foreword by J.-L. Nicholas and G. Robin", Ramanujan Journal 1 (1997), pp. 119–153.

[Alaoglu-4] Alaoglu, L.; Erdős, P. (1944), "On highly composite and similar numbers" (PDF), Transactions of the American Mathematical Society, 56 (3): 448–469, doi:10.2307/1990319, JSTOR 1990319, MR 0011087 .

[1]

[2]

[3]

[4]