Lompat ke isi

Daftar grup kecil

Dari Wikipedia bahasa Indonesia, ensiklopedia bebas

Daftar berikut dalam matematika berisi grup terbatas kecil urutan hingga isomorfisme grup.

Untuk jumlah grup nonisomorfik dari order adalah

1, 1, 1, 2, 1, 2, 1, 5, 2, 2, 1, 5, 1, 2, 1, 14, 1, 5, 1, 5, ... (barisan A000001 pada OEIS)

Untuk grup berlabel, lihat (barisan A034383 pada OEIS).

Glosarium

[sunting | sunting sumber]

Setiap grup diberi nama oleh Perpustakaan Grup Kecil sebagai Goi, di mana o adalah urutan grup, dan i adalah indeks grup dalam urutan itu.

Nama grup umum:

Notasi Zn dan Dihn memiliki keuntungan bahwa grup titik dalam tiga dimensi Cn dan Dn tidak memiliki notasi yang sama. Ada lebih banyak grup isometri daripada keduanya, dari jenis kelompok abstrak yang sama.

Notasi G × H menunjukkan produk langsung dari dua kelompok; Gn menunjukkan produk langsung dari grup dengan waktu n itu sendiri. G H menunjukkan produk semidirect di mana H bekerja pada G ; ini mungkin juga tergantung pada pilihan aksi H pada G .

Abelian dan grup sederhana dicatat. (Untuk grup urutan n < 60, grup sederhana tepatnya adalah grup siklik Zn, untuk prime n.) Tanda persamaan ("=") menunjukkan isomorfisme.

Elemen identitas dalam grafik siklus diwakili oleh lingkaran hitam. Urutan terendah di mana grafik siklus tidak secara unik mewakili sebuah grup adalah urutan 16.

Dalam daftar subgrup, trivial group dan group itu sendiri tidak terdaftar. Jika ada beberapa subgrup isomorfik, jumlah subgrup tersebut ditunjukkan dalam tanda kurung.

Daftar grup abelian kecil

[sunting | sunting sumber]

Grup abelian hingga adalah kelompok siklik, atau produk langsungnya; lihat grup abelian. Jumlah grup urutan abelian nonisomorfik adalah

1, 1, 1, 2, 1, 1, 1, 3, 2, 1, 1, 2, 1, 1, 1, 5, 1, 2, 1, 2, ... (barisan A000688 pada OEIS)

Untuk kelompok Abelian berlabel, lihat (barisan A034382 pada OEIS).

Daftar semua grup abelian hingga urutan 31
Urutan ID Goi Kelompok Subgrup yang tepat Nontrivial Siklus
grafik
Sifat
1 1 G11 Z1 = S1 = A2 Trivial. Berhubung dgn putaran. Bergantian. Simetris. SD.
2 2 G21 Z2 = S2 = Dih1 Sederhana. Simetris. Berhubung dgn putaran. Dasar. (Grup non-trivial terkecil.)
3 3 G31 Z3 = A3 Sederhana. Bergantian. Berhubung dgn putaran. Dasar.
4 4 G41 Z4 = Dic1 Z2 Siklik.
5 G42 Z22 = K4 = Dih2 Z2 (3) Dasar. Produk. (Klein empat grup. Grup non-siklik terkecil.)
5 6 G51 Z5 Sederhana. Siklik. Dasar.
6 8 G62 Z6 = Z3 × Z2[1] Z3, Z2 Siklik. Produk.
7 9 G71 Z7 Sederhana. Siklik. Dasar.
8 10 G81 Z8 Z4, Z2 Siklik.
11 G82 Z4 × Z2 Z22, Z4 (2), Z2 (3) Produk.
14 G85 Z23 Z22 (7), Z2 (7) Produk. Dasar. (Elemen non-identitas sesuai dengan titik pada bidang Fano, Z2 × Z2 subgrup ke baris.)
9 15 G91 Z9 Z3 Siklik.
16 G92 Z32 Z3 (4) Dasar. Produk.
10 18 G102 Z10 = Z5 × Z2 Z5, Z2 Siklik. Produk.
11 19 G111 Z11 Sederhana. Siklik. Dasar.
12 21 G122 Z12 = Z4 × Z3 Z6, Z4, Z3, Z2 Cyclic. Product.
24 G125 Z6 × Z2 = Z3 × Z22 Z6 (3), Z3, Z2 (3), Z22 Product.
13 25 G131 Z13 Simple. Cyclic. Elementary.
14 27 G142 Z14 = Z7 × Z2 Z7, Z2 Cyclic. Product.
15 28 G151 Z15 = Z5 × Z3 Z5, Z3 Cyclic. Product.
16 29 G161 Z16 Z8, Z4, Z2 Cyclic.
30 G162 Z42 Z2 (3), Z4 (6), Z22, Z4 × Z2 (3) Product.
33 G165 Z8 × Z2 Z2 (3), Z4 (2), Z22, Z8 (2), Z4 × Z2 Product.
38 G1610 Z4 × Z22 Z2 (7), Z4 (4), Z22 (7), Z23, Z4 × Z2 (6) Product.
42 G1614 Z24 = K42 Z2 (15), Z22 (35), Z23 (15) Product. Elementary.
17 43 G171 Z17 Simple. Cyclic. Elementary.
18 45 G182 Z18 = Z9 × Z2 Z9, Z6, Z3, Z2 Cyclic. Product.
48 G185 Z6 × Z3 = Z32 × Z2 Z6, Z3, Z2 Product.
19 49 G191 Z19 Simple. Cyclic. Elementary.
20 51 G202 Z20 = Z5 × Z4 Z10, Z5, Z4, Z2 Cyclic. Product.
54 G205 Z10 × Z2 = Z5 × Z22 Z5, Z2 Product.
21 56 G212 Z21 = Z7 × Z3 Z7, Z3 Cyclic. Product.
22 58 G222 Z22 = Z11 × Z2 Z11, Z2 Cyclic. Product.
23 59 G231 Z23 Simple. Cyclic. Elementary.
24 61 G242 Z24 = Z8 × Z3 Z12, Z8, Z6, Z4, Z3, Z2 Cyclic. Product.
68 G249 Z12 × Z2 = Z6 × Z4
= Z4 × Z3 × Z2
Z12, Z6, Z4, Z3, Z2 Product.
74 G2415 Z6 × Z22 = Z3 × Z23 Z6, Z3, Z2 Product.
25 75 G251 Z25 Z5 Cyclic.
76 G252 Z52 Z5 Product. Elementary.
26 78 G262 Z26 = Z13 × Z2 Z13, Z2 Cyclic. Product.
27 79 G271 Z27 Z9, Z3 Cyclic.
80 G272 Z9 × Z3 Z9, Z3 Product.
83 G275 Z33 Z3 Product. Elementary.
28 85 G282 Z28 = Z7 × Z4 Z14, Z7, Z4, Z2 Cyclic. Product.
87 G284 Z14 × Z2 = Z7 × Z22 Z14, Z7, Z4, Z2 Product.
29 88 G291 Z29 Simple. Cyclic. Elementary.
30 92 G304 Z30 = Z15 × Z2 = Z10 × Z3
= Z6 × Z5 = Z5 × Z3 × Z2
Z15, Z10, Z6, Z5, Z3, Z2 Cyclic. Product.
31 93 G311 Z31 Simple. Cyclic. Elementary.

Daftar grup kecil non-abelian

[sunting | sunting sumber]

Jumlah grup non-abelian, berdasarkan urutan, dihitung dengan (barisan A060689 pada OEIS). Namun, banyak ordo tidak memiliki kelompok non-abelian. Urutan keberadaan grup non-abelian adalah

6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 21, 22, 24, 26, 27, 28, 30, 32, 34, 36, 38, 39, 40, 42, 44, 46, 48, 50, ... (barisan A060652 pada OEIS)
Daftar semua grup nonabelian sampai urutan 31
Urutan ID Goi Kelompok Subgrup yang tepat Nontrivial Siklus
grafik
Properti
6 7 G61 Dih3 = S3 = D6 Z3, Z2 (3) Grup dihedral, grup non-abelian terkecil, grup simetris, kelompok Frobenius
8 12 G83 Dih4 = D8 Z4, Z22 (2), Z2 (5) Grup dihedral. Grup ekstraspesial. Nilpotent.
13 G84 Q8 = Dic2 = <2,2,2>[butuh klarifikasi] Z4 (3), Z2 Grup angka empat, grup Hamiltonian. semua subgrup adalah normal tanpa grup abelian. Grup terkecil G yang menunjukkan bahwa untuk subgrup normal H grup hasil bagi G / H tidak perlu isomorfik ke subgrup G . Grup ekstraspesial Grup dihedral biner. Nilpotent.
10 17 G101 Dih5 = D10 Z5, Z2 (5) Dihedral group, Frobenius group
12 20 G121 Q12 = Dic3 = <3,2,2>
= Z3 ⋊ Z4
Z2, Z3, Z4 (3), Z6 Grup dihedral biner
22 G123 A4 = K4 ⋊ Z3
= (Z2 × Z2) ⋊ Z3
Z22, Z3 (4), Z2 (3) Grup alternatif. Tidak ada subgrup berorde 6, meskipun 6 membagi urutannya. Grup Frobenius
23 G124 Dih6 = D12 = Dih3 × Z2 Z6, Dih3 (2), Z22 (3), Z3, Z2 (7) Dihedral group, product
14 26 G141 Dih7 = D14 Z7, Z2 (7) Dihedral group, Frobenius group
16[2] 31 G163 G4,4 = K4 ⋊ Z4
(Z4 × Z2) ⋊ Z2
E8, Z4 × Z2 (2), Z4 (4), K4 (6), Z2 (6) Has the same number of elements of every order as the Pauli group. Nilpotent.
32 G164 Z4 ⋊ Z4 The squares of elements do not form a subgroup. Has the same number of elements of every order as Q8 × Z2. Nilpotent.
34 G166 Z8 ⋊ Z2 Sometimes called the modular group of order 16, though this is misleading as abelian groups and Q8 × Z2 are also modular. Nilpotent.
35 G167 Dih8 = D16 Z8, Dih4 (2), Z22 (4), Z4, Z2 (9) Dihedral group. Nilpotent.
36 G168 QD16 The order 16 quasidihedral group. Nilpotent.
37 G169 Q16 = Dic4 = <4,2,2> generalized quaternion group, binary dihedral group. Nilpotent.
39 G1611 Dih4 × Z2 Dih4 (4), Z4 × Z2, Z23 (2), Z22 (13), Z4 (2), Z2 (11) Product. Nilpotent.
40 G1612 Q8 × Z2 Hamiltonian, product. Nilpotent.
41 G1613 (Z4 × Z2) ⋊ Z2 The Pauli group generated by the Pauli matrices. Nilpotent.
18 44 G181 Dih9 = D18 Dihedral group, Frobenius group
46 G183 S3 × Z3 Product
47 G184 (Z3 × Z3) ⋊ Z2 Frobenius group
20 50 G201 Q20 = Dic5 = <5,2,2> Binary dihedral group
52 G203 Z5 ⋊ Z4 Frobenius group
53 G204 Dih10 = Dih5 × Z2 = D20 Dihedral group, product
21 55 G211 Z7 ⋊ Z3 Z7, Z3 (7) Smallest non-abelian group of odd order. Frobenius group
22 57 G221 Dih11 = D22 Z11, Z2 (11) Dihedral group, Frobenius group
24 60 G241 Z3 ⋊ Z8 Central extension of S3
62 G243 SL(2,3) = 2T = Q8 ⋊ Z3 Binary tetrahedral group
63 G244 Q24 = Dic6 = <6,2,2> = Z3 ⋊ Q8 Binary dihedral
64 G245 Z4 × S3 Product
65 G246 Dih12 Dihedral group
66 G247 Dic3 × Z2 = Z2 × (Z3 ⋊ Z4) Product
67 G248 (Z6 × Z2) ⋊ Z2 = Z3 ⋊ Dih4 Double cover of dihedral group
69 G2410 Dih4 × Z3 Product. Nilpotent.
70 G2411 Q8 × Z3 Product. Nilpotent.
71 G2412 S4 28 proper, non-trivial subgroups. 9 subgroups, combining those that are isomorphic. Subgroups include S2, S3, A3, A4, D8.[3] Symmetric group. Has no normal Sylow subgroups.
72 G2413 A4 × Z2 Product
73 G2414 D12× Z2 Product
26 77 G261 Dih13 Dihedral group, Frobenius group
27 81 G273 Z32 ⋊ Z3 All non-trivial elements have order 3. Extraspecial group. Nilpotent.
82 G274 Z9 ⋊ Z3 Extraspecial group. Nilpotent.
28 84 G281 Z7 ⋊ Z4 Binary dihedral group
86 G283 Dih14 Dihedral group, product
30 89 G301 Z5 × S3 Product
90 G302 Z3 × Dih5 Product
91 G303 Dih15 Dihedral group, Frobenius group

Mengklasifikasikan grup urutan kecil

[sunting | sunting sumber]

Kelompok kecil urutan kekuatan utama p n diberikan sebagai berikut:

  • Urutan p : Satu-satunya grup adalah siklik.
  • Order p 2 : Hanya ada dua grup, keduanya abelian.
  • Order p 3 : Ada tiga grup abelian, dan dua grup non-abelian. Salah satu grup non-abelian adalah produk semidirect dari subgrup siklik normal p2 oleh grup siklik urutan p . Yang lainnya adalah grup angka empat untuk p = 2 dan segrup eksponen p untuk p > 2.
  • Urutan p 4 : Klasifikasinya rumit, dan menjadi lebih sulit saat eksponen p meningkat.

Sebagian besar grup orde kecil memiliki subgrup Sylow p P dengan normal komplemen p pada N untuk beberapa bilangan prima p yang membagi urutan, sehingga dapat diklasifikasikan dalam hal kemungkinan bilangan prima p , grup p pada P , grup N , dan tindakan P pada N . Dalam beberapa hal ini mengurangi klasifikasi kelompok ini menjadi klasifikasi grup p . Beberapa kelompok kecil yang tidak memiliki komplemen p normal meliputi.

Lihat pula

[sunting | sunting sumber]

Referensi

[sunting | sunting sumber]
  • Coxeter, H. S. M.; Moser, W. O. J. (1980). Generators and Relations for Discrete Groups. New York: Springer-Verlag. ISBN 0-387-09212-9.  , Table 1, Nonabelian groups order<32.
  • Hall, Jr., Marshall; Senior, James K. (1964). "The Groups of Order 2n (n ≤ 6)". Macmillan. MR 0168631. Katalog dari 340 grup ordo yang membagi 64 dengan tabel hubungan penentu, konstanta, dan kisi subgrup dari setiap grup. 

Pranala luar

[sunting | sunting sumber]