Disquisitiones Arithmeticae

Sampul dari edisi pertama

Disquisitiones Arithmeticae (Bahasa Latin untuk "Penelitian Aritmetika") adalah buku ajar teori bilangan yang ditulis dalam bahasa Latin oleh Carl Friedrich Gauss. Gauss mulai menulisnya pada tahun 1798 dan menerbitkannya pada tahun 1801, ketika usianya 24 tahun. Karyanya terkenal karena memiliki dampak signifikan pada perkembangan teori bilangan. Selain rigor dan sistematik, penjelasannya juga menjadi dasar bagi perkembangan teori bilangan modern. Dalam bukunya Gauss mengumpulkan dan menggabungkan hasil-hasil dari matematikawan lain seperti Fermat, Euler, Langrage, dan Legendre, juga menambahkan bukti-bukti penting yang ia temukan.

Cakupan

Buku Disquisitiones mencakup baik teori bilangan elementer dan area matematika yang sekarang dikenal sebagai teori bilangan aljabar. Gauss tidak secara eksplisit mengenal konsep grup, yang sangat penting pada aljabar abstrak, karenanya ia tidak menggunakan istilah ini. Judul yang ia berikan untuk ilmunya adalah Arimetika Tingkat Tinggi. Pada bagian kata pengantar bukunya, Gauss mendeskripsikan cakupan bukunya sebagai berikut:

Pertanyaan yang akan diselidiki volume ini berkaitan dengan bagian Matematika yang membahas tentang bilangan bulat.

Gauss juga menulis, "Saat dihadapkan ke banyak masalah sulit, penurunan [bukti] telah disusun ringkas, mempermudah saat pembaca merujuk pada karya ini." ("Quod, in pluribus quaestionibus difficilibus, demonstrationibus syntheticis usus sum, analysinque per quam erutae sunt suppressi, imprimis brevitatis studio tribuendum est, cui quantum fieri poterat consulere oportebat")

Konten

Lihat pula: aritmetika modular

Disquisitiones dibagi menjadi tujuh bab:

1. Kekongruenan Bilangan Secara Umum
2. Kekongruenan Orde Satu
3. Residu dari Perpangkatan
4. Kekongruenan Orde Dua
5. Bentuk dan Persamaan Tak Tentu Orde Dua
6. Berbagai Aplikasi dari Diskusi-Diskusi Sebelumnya
7. Persamaan yang Mendefinisikan Potongan dari Lingkaran

Bab-bab tersebut dibagi menjadi 366 poin bernomor, yang menyatakan teorema dengan pembuktian, atau penjelasan mengenai komentar atau pemikiran.

Bab I sampai III pada dasarnya adalah review dari hasil-hasil yang sudah ada, termasuk didalamnya teorema kecil Fermat, teorema Wilson, dan eksistensi akar primitif modulo n. Walau hanya sedikit hasil pada bagian ini adalah karya sendiri, Gauss adalah matematikawan pertama yang menyusun materi secara sistematik. Ia juga menyadari pentingnya sifat ketunggalan faktorisasi (yang dijamin dengan teorema dasar aritmetika, pertama kali dipelajari oleh Euklides) yang ia nyatakan ulang dan dibuktikan menggunakan peralatan modern.

Dari Bab IV dan seterusnya, lebih banyak karya original muncul. Bab IV membahas bukti mengenai quadratic reciprocity; Bab V, yang memakan lebih dari setengah tebal buku, adalah analisis yang menyeluruh mengenai bentuk kuadratik dan kubik. Bab VI mengikutsertakan dua metode tes keprimaan yang berbeda. Terakhir, Bab VII berisi analisis mengenai polinomial siklotomik, yang memberikan kriteria untuk menentukan jenis poligon reguler yang dapat dikonstruksi dengan penggaris dan jangka.

Gauss mulai menulis bab kedelapan mengenai kekongruenan orde lanjut, namun tidak terselesaikan. Karya tersebut dipublikasi secara terpisah setelah kematiannya sebagai risalah berjudul "penelitian umum mengenai kekongruenan". Didalamnya Gauss membahas kekongruenan pada orde sebarang, menyelesaikan permasalahan kekongruenan umum dari sudut pandang yang pada periode selanjutnya mirip dengan yang digunakan oleh Dedekind, Galois, dan Emil Artin. Risalah ini menjadi dasar teori lapangan fungsi atas konstanta finite field. Ide yang khas dengan risalah tersebut adalah penjelasan mengenai pentingnya morfisme Frobenius dan versi lain dari lema Hensel.

Disquisitiones adalah salah satu karya matematika terakhir yang ditulis dalam bahasa Latin. Terjemahan Bahasa Inggris tidak dipublikasikan sampai tahun 1965.

Dampak

Sebelum Disquisitiones diterbitkan, teori bilangan terdiri dari kumpulan teorema-teorema dan konjektur yang terisolasi. Gauss menyatukan karya-karya pendahulunya dan dengan karya aslinya kedalam kerangka yang sistematis, mengisi celah pada kerangka, mengoreksi bukti-buku yang tidak masuk akal, dan memperluas subjek dengan berbagai cara.\

Struktur logis dari Disquisitiones (pernyataan mengenai teorema diikuti oleh pembuktiannya, dan diikuti oleh akibat (corrolary)) menjadi standar bagi karya-karya selanjutnya. Selain menyadari pentingnya bukti matematis, Gauss juga memberikan banyak ilustrasi mengenai teorema dengan contoh-contoh numerik.

Daftar Pustaka

• Gauss, Carl Friedrich, 1777-1855. Disquisitiones arithmeticae. New Haven. ISBN 978-0-300-19425-8. OCLC 951623297. Pemeliharaan CS1: Banyak nama: authors list (link)
• Disquisitiones Arithmeticae (teks asli dalam Bahasa Latin)