Frustum

Kumpulan frustum $n$-gonal siku-siku berbentuk limas
Contoh: Frustum pentagonal dan persegi siku-siku (n = 5 dan n = 4)
Muka	$n$ trapesium sama kaki, 2 poligon beraturan
Rusuk	$3n$
titik sudut	$2n$
Polihedron dual	bipiramida segi-$n$ siku-siku asimetrik cembung
Sifat-sifat	cembung

Dalam geometri, frustum adalah suatu bagian dari bangun ruang seperti kerucut atau limas, yang terletak di antara dua bidang sejajar yang memotongnya. Dalam kasus limas, muka alas berupa poligon, dan muka sisi berupa trapesium. Frustum siku-siku adalah limas siku-siku atau kerucut siku-siku terpenggal, yang tegak lurus dengan garis sumbunya. Bangun terpenggal tersebut yang tidak tegak lurus dengan garis sumbunya disebut frustum bukan siku-siku.

Rumus

Volume

Rumus volume frustum persegi berbentuk limas diperkenalkan oleh matematika Mesir kuno, yang dikenal sebagai Moskow Matematika Papirus, yang ditulis pada dinasti ke-13 (sekitar 1850 SM):

$$V={\frac {h}{3}}(a^{2}+ab+b^{2}).$$

dengan $a$ dan $b$ masing-masing menyatakan panjang alas dan panjang sisi di atas, serta $h$ menyatakan tinggi. Orang Mesir mengetahui rumus yang tepat untuk volume limas persegi penggal, tetapi belum ada bukti dari persamaan tersebut dalam papirus Moskow.

Frustum limas

Volume frustum kerucut atau limas merupakan volume bangun ruang sebelum mengiris bagian puncaknya, yang kemudian dikurangi volume bagian puncak:

$$V={\frac {h_{1}B_{1}-h_{2}B_{2}}{3}},$$

dengan $B_{1}$ menyatakan luas alas, dan $B_{2}$ menyatakan luas sisi di bagian atas frustum; serta $h_{1}$ menyatakan garis tinggi yang tegak lurus dari titik puncak ke alas, dan $h_{2}$ menyatakan garis tinggi yang tegak lurus dari titik puncak ke sisi di bagian atas frustum. Dengan memisalkan bahwa

$${\frac {B_{1}}{h_{1}^{2}}}={\frac {B_{2}}{h_{2}^{2}}}={\frac {\sqrt {B_{1}B_{2}}}{h_{1}h_{2}}}=\alpha ,$$

maka rumus volume dapat dinyatakan sebagai sepertiga hasil kali kesebandingan $\alpha$ dan selisih kubik dari $h_{1}$ dan $h_{2}$, yang ditulis sebagai

$$V={\frac {h_{1}\alpha h_{1}^{2}-h_{2}\alpha h_{2}^{2}}{3}}={\frac {\alpha }{3}}(h_{1}^{3}-h_{2}^{3}).$$

Dengan menggunakan identitas $a^{3}-b^{3}=(a-b)(a^{2}+ab+b^{2})$, maka diperoleh

$$V=(h_{1}-h_{2})\alpha {\frac {(h_{1}^{2}+h_{1}h_{2}+h_{2}^{2})}{3}},$$

dengan $h=h_{1}-h_{2}$ menyatakan tinggi frustum. Kemudian, dengan mendistribusikan $\alpha$ dan mensubstitusikan dari definisinya, rata-rata Heron dari luas $B_{1}$ dan $B_{2}$ akan memberikan rumus volume frustum lainnya, yaitu:

$$V={\frac {h}{3}}(B_{1}+{\sqrt {B_{1}B_{2}}}+B_{2}).$$

Heron dari Aleksandria adalah seorang matematikawan yang disematkan dengan penemuannya akan rumus volume frustum ini. Dengan menggunakan rumus tersebut, Heron menemukan satuan imajiner, akar kuadrat dari negatif satu.

Secara khusus, volume frustum kerucut melingkar dirumuskan sebagai

$$V={\frac {\pi h}{3}}(r_{1}^{2}+r_{1}r_{2}+r_{2}^{2}),$$

dengan $\pi$ adalah konstanta yang bernilai 3,14159265...; serta $r_{1}$ menyatakan jari-jari alas, dan $r_{2}$ menyatakan jari-jari sisi di bagian atas frustum. Volume frustum limas yang alasnya merupakan poligon (segi-$n$) beraturan dirumuskan sebagai

$$V={\frac {nh}{12}}(a_{1}^{2}+a_{1}a_{2}+a_{2}^{2})\cot {\frac {\pi }{n}},$$

dengan $a_{1}$ menyatakan panjang alas dan $a_{2}$ menyatakan panjang sisi di bagian atas frustum.

Luas permukaan

Frustum kerucut

Untuk frustum kerucut melingkar siku-siku, dipunyai

$${\text{Luas permukaan samping}}=\pi \left(r_{1}+r_{2}\right)s=\pi \left(r_{1}+r_{2}\right){\sqrt {\left(r_{1}-r_{2}\right)^{2}+h^{2}}},$$

dan

$${\text{Luas permukaan total}}=\pi (r_{1}^{2}+r_{2}^{2}+(r_{1}+r_{2})s)=\pi \left(r_{1}^{2}+r_{2}^{2}+(r_{1}+r_{2}){\sqrt {(r_{1}-r_{2})^{2}+h^{2}}}\right),$$

dengan $r_{1}$ menyatakan jari-jari alas, dan $r_{2}$ menyatakan jari-jari sisi di bagian atas frustum; serta $s$ menyatakan garis tinggi miring frustum. Luas permukaan frustum siku-siku yang alasnya merupakan poligon (segi-$n$) beraturan dirumuskan sebagai

$$L={\frac {n}{4}}\left[(a_{1}^{2}+a_{2}^{2})\cot {\frac {\pi }{n}}+{\sqrt {(a_{1}^{2}-a_{2}^{2})^{2}\sec ^{2}{\frac {\pi }{n}}+4h^{2}(a_{1}+a_{2})^{2}}}\right],$$

dengan $a_{1}$ dan $a_{2}$ menyatakan sisi di dua alas frustum.

Lihat pula

• Frustum bola