Grup automorfisme

Dalam matematika, grup automorfisme dari sebuah objek X adalah grup yang terdiri dari automorfisme dari X . Misalnya, jika X adalah dimensi hingga ruang vektor, maka grup automorfisme dari X adalah grup linier umum dari X , grup transformasi linear yang dapat dibalik dari X menjadi dirinya sendiri.

Khususnya dalam konteks geometris, grup automorfisme disebut juga sebagai grup simetri. Sebuah subgrup dari grup automorfisme disebut grup transformasi (terutama dalam literatur lama).

Contoh

• Grup automorfisme dari himpunan X adalah grup simetris dari X .
• A homomorfisme grup ke grup automorfisme dari himpunan X sama dengan aksi grup pada X : memang, setiap kiri G , trivial pada satu himpunan X menentukan $G\to \operatorname {Aut} (X),\,g\mapsto \sigma _{g},\,\sigma _{g}(x)=g\cdot x$, dan, sebaliknya, setiap homomorfisme $\varphi :G\to \operatorname {Aut} (X)$ mendefinisikan aksi dengan $g\cdot x=\varphi (g)x$.
• Misalkan $A,B$ menjadi dua himpunan terbatas dari kardinal yang sama dan $\operatorname {Iso} (A,B)$ himpunan dari semua bijeksi $A\mathrel {\overset {\sim }{\to }} B$. Kemudian $\operatorname {Aut} (B)$, yang merupakan kelompok simetris (lihat di atas), bertindak $\operatorname {Iso} (A,B)$ dari kiri bebas dan secara transitif; artinya, $\operatorname {Iso} (A,B)$ adalah torsor untuk $\operatorname {Aut} (B)$ (lih. #Dalam kategori teori).
• Grup automorfisme $G$ dari grup siklik dari urutan n adalah isomorfis ke $(\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} )^{*}$ dengan isomorfisme yang diberikan oleh ${\overline {a}}\mapsto \sigma _{a}\in G,\,\sigma _{a}(x)=x^{a}$. Secara khusus, $G$ adalah grup abelian.
• Diberikan ekstensi bidang $L/K$, grup automorfisme adalah grup yang terdiri dari automorfisme bidang L yang fix K : itu lebih dikenal sebagai grup Galois dari $L/K$.
• Grup automorfisme dari proyektif n - spasi di atas bidang k adalah grup linear proyektif $\operatorname {PGL} _{n}(k).$
• Grup automorfisme dari aljabar Lie riil berdimensi-hingga] ${\mathfrak {g}}$ memiliki struktur (nyata) grup kebohongan (sebenarnya, ini bahkan grup aljabar linear: lihat di bawah). Jika G adalah grup Lie dengan aljabar Lie ${\mathfrak {g}}$, maka grup automorfisme dari G memiliki struktur grup Lie yang diinduksi dari grup automorphism dari ${\mathfrak {g}}$.
• Misalkan P menjadi dihasilkan secara terbatas modul proyektif di atas gelanggang R . Maka melekatkan $\operatorname {Aut} (P)\hookrightarrow \operatorname {GL} _{n}(R)$, unique up to inner automorphisms.

Dalam teori kategori

Grup automorfisme muncul secara alami dalam teori kategori.

Jika X adalah objek dalam kategori, maka grup automorfisme dari X adalah grup yang terdiri dari semua morfisme yang dapat dibalik dari X untuk dirinya sendiri. Ini adalah grup unit dari monoid endomorfisma dari X . (Untuk beberapa contoh, lihat PROP.)

Jika $A,B$ adalah objek dalam beberapa kategori, maka himpunan $\operatorname {Iso} (A,B)$ dari semua $A\mathrel {\overset {\sim }{\to }} B$ adalah kiri $\operatorname {Aut} (B)$-torsi. Dalam istilah praktis, ini mengatakan bahwa pilihan yang berbeda dari titik dasar $\operatorname {Iso} (A,B)$ dibedakan secara jelas oleh elemen dari $\operatorname {Aut} (B)$, atau bahwa setiap pilihan titik dasar justru merupakan pilihan penyederhanaan torsi.

Jika $X_{1}$ dan $X_{2}$ adalah objek dalam kategori $C_{1}$ dan $C_{2}$, dan jika $F:C_{1}\to C_{2}$ adalah functor memetakan $X_{1}$ ke $X_{2}$, kemudian $F$ menginduksi homomorfisme grup $\operatorname {Aut} (X_{1})\to \operatorname {Aut} (X_{2})$, karena memetakan morfisme yang dapat dibalik menjadi morfisme yang dapat dibalik.

Secara khusus, jika G adalah grup yang dilihat sebagai kategori dengan satu objek * atau, lebih umum, jika G adalah groupoid, maka setiap functor $G\to C$, C kategori, disebut aksi atau representasi G pada objek $F(*)$, or the objects $F(\operatorname {Obj} (G))$. Objek-objek itu kemudian dikatakan sebagai objek $G$ (sebagaimana mereka ditindaklanjuti $G$); lih. $\mathbb {S}$-object. Jika $C$ adalah kategori modul seperti kategori ruang vektor berdimensi-hingga, maka $G$ -objek juga disebut $G$ -modul.

Funktor grup automorfisme

Misalkan $M$ menjadi ruang vektor berdimensi-hingga di atas bidang k yang dilengkapi dengan beberapa struktur aljabar (yaitu, M adalah aljabar berdimensi-hingga di atas k ). Ini bisa berupa, misalnya, aljabar asosiatif atau aljabar Lie.

Sekarang, pertimbangkan k - peta linear $M\to M$ yang mempertahankan struktur aljabar: mereka membentuk subruang vektor $\operatorname {End} _{\text{alg}}(M)$ dari $\operatorname {End} (M)$. Grup unit dari $\operatorname {End} _{\text{alg}}(M)$ adalah grup automorfisme $\operatorname {Aut} (M)$. Ketika basis pada M dipilih, $\operatorname {End} (M)$ adalah ruang dari matriks kuadrat dan $\operatorname {End} _{\text{alg}}(M)$ adalah himpunan nol dari beberapa polinomial, dan pembalikan dijelaskan lagi oleh polinomial. Karenanya, $\operatorname {Aut} (M)$ adalah grup aljabar linear di atas k .

Sekarang ekstensi dasar yang diterapkan pada diskusi di atas menentukan sebuah funktor: yaitu, untuk setiap gelanggang komutatif R di atas k , pertimbangkan R -peta linear $M\otimes R\to M\otimes R$ melestarikan struktur aljabar: dilambangkan dengan $\operatorname {End} _{\text{alg}}(M\otimes R)$. Kemudian grup unit gelanggang matriks $\operatorname {End} _{\text{alg}}(M\otimes R)$ lebih R adalah grup automorfisme $\operatorname {Aut} (M\otimes R)$ dan $R\mapsto \operatorname {Aut} (M\otimes R)$ adalah fungsi grup: fungsi dari kategori gelanggang komutatif di atas k ke kategori grup. Lebih baik lagi, ini diwakili oleh skema (karena grup automorfisme ditentukan oleh polinomial): skema ini disebut skema grup automorfisme dan dilambangkan dengan $\operatorname {Aut} (M)$.

Secara umum, bagaimanapun, sebuah fungsi grup automorfisme mungkin tidak diwakili oleh skema.

Lihat pula

• Grup automorfisme luar
• Struktur level, trik untuk grup automorfisme
• Grup Holonomi

Referensi

• Dummit, David S.; Foote, Richard M. (2004). Abstract Algebra (edisi ke-3rd). Wiley. ISBN 978-0-471-43334-7. 
• Templat:Fulton-Harris
• Templat:Hartshorne AG
• Milnor, John Willard (1971). Introduction to algebraic K-theory. Annals of Mathematics Studies. 72. Princeton, NJ: Princeton University Press. ISBN 9780691081014. MR 0349811. Zbl 0237.18005. Diarsipkan dari versi asli tanggal 2023-08-09. Diakses tanggal 2020-12-24. 
• Waterhouse, William C. (2012) [1979]. Introduction to Affine Group Schemes. Graduate Texts in Mathematics. 66. Springer Verlag. ISBN 9781461262176. Diarsipkan dari versi asli tanggal 2023-08-09. Diakses tanggal 2020-12-24. 

Pranala luar

• https://mathoverflow.net/questions/55042/automorphism-group-of-a-scheme Diarsipkan 2022-11-30 di Wayback Machine.