Osilator harmonis kuantum

Beberapa diagram lintasan dari osilator harmonis menurut hukum Newton tentang mekanika klasik (A–B), dan menurut persamaan Schrödinger mengenai mekanika kuantum (C–H). Dalam A–B, partikel (yang dilambangkan dengan bola yang ditempelkan pada pegas) yang berosilasi secara bolak-balik. Sementara dalam C–H, beberapa hasil dari persamaan Schrödinger dapat ditemui, dengan sumbu horizontal menunjukkan posisi, dan sumbu vertikal menunjukkan bagian bilangan real (biru) dan imajiner (merah) dari fungsi gelombang. Titik C, D, E, F (bukan titik G, H) merupakan keadaan eigen energi, sedangkan titik H merupakan keadaan yang koheren, sebuah keadaan dalam kuantum yang mendekati lintasan awal.

Osilator harmonis kuantum (Inggris: quantum harmonic oscillator) merupakan penempatan konsep osilator harmonis klasik dalam mekanika kuantum. Dikarenakan energi potensial halus yang berubah-ubah, biasanya dapat mendekati keadaan potensial harmonis di cangkupan sekitar titik ekuilibrium yang stabil. Sistem tersebut menjadi sistem model yang paling penting dalam mekanika kuantum. Lebih lanjutnya, sistem teraebut merupakan salah satu dari beberapa sistem mekanika kuantum yang memiliki hasil pasti, sekaligus hasil analitikal yang diketahui hingga saat ini.

Osilator harmonis isotropik dimensi ke-N

Osilator dimensi pertama sudah dapat dianggap sebagai dimensi N, dengan N = 1, 2, 3, …. Posisi dari osilator dalam dimensi pertama dilambangkan dengan satu sistem koordinat x. Sedangkan untuk dimensi ke-N posisi koordinat tersebut diganti dengan N, yang ditandai sebagai x₁, …, x_N. Keterkaitan antar posisi kordinat merupakan sebuah momentum; dan ditandai sebagai p₁, …, p_N. Hubungan comutasi kanonikal antara operasi tersebut dapat dirumuskan sebagai berikut:

$${\begin{aligned}{[}x_{i},p_{j}{]}&=i\hbar \delta _{i,j}\\{[}x_{i},x_{j}{]}&=0\\{[}p_{i},p_{j}{]}&=0\end{aligned}}$$

Bentuk Hamiltonian dari sistem tersebut ialah

$$H=\sum _{i=1}^{N}\left({p_{i}^{2} \over 2m}+{1 \over 2}m\omega ^{2}x_{i}^{2}\right).$$

Sebagaimana bentuk Hamiltonian memperjelas operasi dalan sistem tersebut, osilator harmonis dimensi ke-N memiliki nilai analogi yang sama persis dengan osilator harmonis independen dimensi pertama N dengan massa dan konstanta pegas yang sama. Dalam kasus ini, nilai dari x₁, ..., x_N akan melambangkan posisi dari setiap partikel N. Hal ini merupakan bagian konvenian dari potensial r², yang memperbolehkan energi potensial untuk terpisah menjadi nilainya masinh masih tergantung dari kordinat yang dimiliki setoap titik energi.

Pengamatan dari operasi ini membuat hasol dari sistem lebih jelas. Untuk himpunan dari angka kuantum $\{n\}\equiv \{n_{1},n_{2},\dots ,n_{N}\}$, energi fungsi eigen untuk osilator dimensi ke-N diekspresikan dalam nilai fungsi eigen dimensi pertama sebagai:

$$\langle \mathbf {x} |\psi _{\{n\}}\rangle =\prod _{i=1}^{N}\langle x_{i}\mid \psi _{n_{i}}\rangle$$

Dalam metode operasi tangga, himpunan N dalam operasi tangga dapat didefinisikan sebagai,

$${\begin{aligned}a_{i}&={\sqrt {m\omega \over 2\hbar }}\left(x_{i}+{i \over m\omega }p_{i}\right),\\a_{i}^{\dagger }&={\sqrt {m\omega \over 2\hbar }}\left(x_{i}-{i \over m\omega }p_{i}\right).\end{aligned}}$$

Dengan prosedur analogi untuk kasus satu dimensional, kita dapat menunjukkan nilai dari setiap a_i dan penaikan dan penurunan operator a^†_i dengan ℏω. Fungsi Hamiltonian untuk operasi ini ialah

$$H=\hbar \omega \,\sum _{i=1}^{N}\left(a_{i}^{\dagger }\,a_{i}+{\frac {1}{2}}\right).$$

Akan tetapi, nilai Hamiltonian tersebut tidak memiliki varian nilai dalam pengelompokan simetri dinamis U(N) (pengelompokan gabingan dalam dimensi ke-N), dan ditentukan nilainya dengan

$$U\,a_{i}^{\dagger }\,U^{\dagger }=\sum _{j=1}^{N}a_{j}^{\dagger }\,U_{ji}\quad {\text{untuk semua}}\quad U\in U(N),$$

dengan $U_{ji}$ merupakan elemen dalam representasi matriks penentu untuk U(N). Sementara tingkatan energi dalam sistem adalah

$$E=\hbar \omega \left[(n_{1}+\cdots +n_{N})+{N \over 2}\right].$$

$$n_{i}=0,1,2,\dots \quad ({\text{tingkatan energi dalam dimensi }}i).$$