Pengguna:Dedhert.Jr/Uji halaman 01/2

Kurva penyihir Agnesi yang diwarnai hijau, serta lingkaran yang dikonstruksi dengan parameter jari-jari $a=1$, $a=2$, $a=4$, dan $a=8$.

Dalam matematika, penyihir Agnesi adalah sebuah kurva bidang kubik yang terdefinisi dari dua titik lingkaran yang berlawanan. Nama kurva ini diperoleh dari seorang matematikawan berkebangsaan Italia bernama Maria Gaetana Agnesi, dan juga diperoleh dari kata Italia untuk sailing sheet yang salah diterjemahkan. Kurva ini sudah dipelajari oleh Fermat, Grandi dan Newton sebelum Agnesi.

Grafik turunan dari fungsi arctangen membentuk sebuah contoh dari penyihir Agnesi. Kurva penyihir Agnesi mempunyai penerapan dalam teori probabilitas (peluang), yakni sebagai fungsi kerapatan probabilitas dari distribusi Cauchy. Kurva ini juga menimbulkan fenomena Runge dalam aproksimasi fungsi dengan menggunakan polinomial, yang dipakai untuk mengaproksimasi distribusi energi dari garis spektral serta menggambarkan bentuk bukit.

Kurva penyihir Agnesi bersinggungan dengan lingkaran yang didefinisikan di salah satu dari dua titik yang didefinisikan, serta kurva ini asimtotik dengan garis yang singgung dengan lingkaran di titik yang lain. Kurva ini mempunyai satu buah verteks (sebuah titik dari kelengkungan ekstrem) di titik singgung dengan lingkaran yang terdefinisi darinya, yang juga berarti bahwa lingkaran itu terosilasi di titik tersebut. Kurva ini mempunyai dua buah titik belok terhingga dan satu buah titik belok tak terhingga. Luas di antara kurva penyihir Agnesi dengan garis asimtotik sama dengan empat kali dari luas lingkaran yang terdefinisikan, serta volume kurva yang diputar di sekitar garis tersebut sama dengan dua kalinya volume torus dari putaran lingkaran yang terdefinisikan.

Konstruksi

Kurva penyihir Agnesi MP dengan titik yang berlabel

Animasi yang memperlihatkan konstruksi dari kurva penyihir Agnesi

Cara mengonstruksi kurva ini dimulai dengan sebarang dua titik O dan M, dan kemudian gambar sebuah lingkaran dengan OM sebagai diameternya. Untuk sebarang titik lain A di lingkaran, misalkan N adalah titik perpotongan dari sebuah garis sekan OA dan sebuah garis menyinggung di titik M. Misalkan P adalah titik perpotongan dari sebuah garis yang tegak lurus dengan OM melalui A, dan sebuah garis sejajar dengan OM melalui N. Maka P terletak di kurva penyihir Agnesi. Kurva ini terdiri dari semua titik P yang dapat dikonstruksi dengan cara tadi dengan memilih sebarang titik O dan M. It includes, as a limiting case, the point M itself.

Persamaan

Misalkan O adalah titik asal dan misalkan M adalah sebuah titik yang terletak di sumbu-$y$ positif, sehingga membentuk diameter lingkaran OM dan mempunyai jari-jari $a$. Maka, kurva yang dikonstruksi dari O dan M mempunyai persamaan Cartesius

$$y={\frac {8a^{3}}{x^{2}+4a^{2}}}.$$

Persamaan di atas dapat disederhanakan dengan memilih $a={\tfrac {1}{2}}$, sehingga bentuknya menjadi

$$y={\frac {1}{x^{2}+1}}.$$

atau sebagai persamaan aljabar kubik dengan menghabiskan penyebut pada kedua ruas.

$$(x^{2}+1)y=1.$$

Kurva dengan bentuk yang telah disederhanakan di atas menggambarkan grafik turunan dari fungsi arctangen.

Kurva penyihir Agnesi juga digambarkan dengan menggunakan persamaan parametrik, dengan parameter θ adalah sudut di antara OM dan OA, yang diukur searah jarum jam:

$$x=2a\tan \theta ,$$

$$y=2a\cos ^{2}\theta .$$

Sifat-sifat

Sifat utama dari kurva ini dapat diperoleh menggunakan kalkulus integral. Luas di antara kurva penyihir Agnesi dengan garis asimtotik sama dengan empat kalinya luas lingkaran, $4\pi a^{2}$. Volume kurva penyihir Agnesi yang diputar terhadap garis asimtot sama dengan $4\pi ^{2}a^{3}$, dua kalinya volume torys yang dibentuk dengan memutar lingkaran yang terdefinisikan dari kurva penyihir Agnesi terhadap garis yang sama.

Kurva penyihir Agnesi mempunyai satu buah verteks di titik singgung dengan lingkaran yang terdefinisi darinya. Ini mengartikan bahwa titik tersebut adalah satu-satunya titik, dengan kurvaturnya mencapai minimum lokal atau maksimum lokal. Lingkaran yang terdefinisi dari kurva penyihir Agnesi juga merupakan lingkaran yang oskulasi di verteks, sebuah lingkaran yang "menyinggung" kurva di titik tersebut dengan membagikan orientasi dan kurvatur yang sama. Karena teroskulasi di verteks kurva, lingkaran tersebut mempunyai kontak orde-tiga dengan kurva.

Kurva penyihir Agnesi mempunyai dua titik belok, yaitu titik

$$\left(\pm {\frac {2a}{\sqrt {3}}},{\frac {3a}{2}}\right)$$

yang korespondensi dengan sudut $\theta =\pm \pi /6$. Saat memandangnya sebagai sebuah kurva dalam bidang proyektif, akan ada pula titik belok tak terhingga ketiga, yang terletak di sebuah titik ketika garis di takhingga dilalui garis asimtotik. Karena salah satu dari titik belok tersebut tak terhingga, kurva penyihir Agnesi mempunyai jumlah minimum yang mungkin dari titik belok real terhingga dari sebarang kurva kubik tak-singular.

Luas terbesar persegi panjang yang berada di antara kurva penyihir Agnesi dengan garis asimtot sama dengan $4a^{2}$, dengan panjang dari persegi panjang adalah jari-jari lingkaran yang terdefinisikan dan lebarnya sama dengan dua kalinya diameter lingkaran.

Sejarah

Kajian awal

Sebuah ilustrasi dari kurva beserta konstruksinya dalam karya milik Agnesi pada tahun 1748.

Kurva ini dipelajari Pierre de Fermat dalam risalah tentang kuadratur miliknya tahun 1659. Dalam risalah tersebut, Fermat menghitung luas di bawah kurva dan mengatakan bahwa metode yang sama dapat memperluas juga ke cissoid dari Diocles. Fermat menulis bahwa kurva tersebut ditujukan kepadanya "ab erudito geometra" [oleh seorang ahli geometri terpelajar]. (Paradís, Pla & Viader 2008) menduga ahli geometri yang menunjukkan kurva tersebut kepada Fermat adalah Antoine de Laloubère.

Konstruksi untuk kurva tersebut seperti yang dijelaskan sebelumnya ditemukan oleh (Grandi 1718). Konstruksi ini sudah ditemukan sebelumnya oleh Isaac Newton, tetapi konstruksinya diterbitkan setelah kematiannya, yakni pada tahun 1779. (Grandi 1718) juga memberi julukan nama versiera dalam bahasa Italia, atau versoria dalam bahasa Latin, untuk kurva. Dalam bahasa Latin, kata tersebut juga berarti sheet, the rope which turns the sail, but Grandi may have instead intended merely to refer to the versine function that appeared in his construction.

Pada tahun 1748, Maria Gaetana Agnesi menerbitkan buku cetak pertamanya tentang kalkulus yang berjudul Instituzioni analitiche ad uso della gioventù italiana. Di dalam buku tersebut, Agnesi menulis kajian tentang kurva tersebut setelah mengulas dua kurva lainnya. Agnesi mendefinisikan kurva secara geometris sebagai lokus dari titk yang memenuhi proporsi, menentukan persamaan aljabar, serta mencari titik pojok, garis asimtotik, dan titik belok dari kurva tersebut.

Etymology

Maria Gaetana Agnesi named the curve according to Grandi, versiera. Coincidentally, at that time in Italy it was common to speak of the Devil, the adversary of God, through other words like aversiero or versiero, derived from Latin adversarius. Versiera, in particular, was used to indicate the wife of the devil, or "witch". Because of this, Cambridge professor John Colson mistranslated the name of the curve as "witch". Different modern works about Agnesi and about the curve suggest slightly different guesses how exactly this mistranslation happened. Struik mentions that:

The word [versiera] is derived from Latin vertere, to turn, but is also an abbreviation of Italian avversiera, female devil. Some wit in England once translated it 'witch', and the silly pun is still lovingly preserved in most of our textbooks in English language. ... The curve had already appeared in the writings of Fermat (Oeuvres, I, 279–280; III, 233–234) and of others; the name versiera is from Guido Grandi (Quadratura circuli et hyperbolae, Pisa, 1703). The curve is type 63 in Newton's classification. ... The first to use the term 'witch' in this sense may have been B. Williamson, Integral calculus, 7 (1875), 173; see Oxford English Dictionary.

On the other hand, Stephen Stigler suggests that Grandi himself "may have been indulging in a play on words", a double pun connecting the devil to the versine and the sine function to the shape of the female breast (both of which can be written as "seno" in Italian).

Penerapan

A scaled version of the curve is the probability density function of the Cauchy distribution. This is the probability distribution on the random variable $x$ determined by the following random experiment: for a fixed point $p$ above the $x$-axis, choose uniformly at random a line through $p$, and let $x$ be the coordinate of the point where this random line crosses the axis. The Cauchy distribution has a peaked distribution visually resembling the normal distribution, but its heavy tails prevent it from having an expected value by the usual definitions, despite its symmetry. In terms of the witch itself, this means that the $x$-coordinate of the centroid of the region between the curve and its asymptotic line is not well-defined, despite this region's symmetry and finite area.

In numerical analysis, when approximating functions using polynomial interpolation with equally spaced interpolation points, it may be the case for some functions that using more points creates worse approximations, so that the interpolation diverges from the function it is trying to approximate rather than converging to it. This paradoxical behavior is called Runge's phenomenon. It was first discovered by Carl David Tolmé Runge for Runge's function $y=1/(1+25x^{2})$, another scaled version of the witch of Agnesi, when interpolating this function over the interval $[-1,1]$. The same phenomenon occurs for the witch $y=1/(1+x^{2})$ itself over the wider interval $[-5,5]$.

The witch of Agnesi approximates the spectral energy distribution of spectral lines, particularly X-ray lines.

The cross-section of a smooth hill has a similar shape to the witch. Curves with this shape have been used as the generic topographic obstacle in a flow in mathematical modeling. Solitary waves in deep water can also take this shape.

A version of this curve was used by Gottfried Wilhelm Leibniz to derive the Leibniz formula for π. This formula, the infinite series

$${\frac {\pi }{4}}=1\,-\,{\frac {1}{3}}\,+\,{\frac {1}{5}}\,-\,{\frac {1}{7}}\,+\,{\frac {1}{9}}\,-\,\cdots ,$$

can be derived by equating the area under the curve with the integral of the function $1/(1+x^{2})$, using the Taylor series expansion of this function as the infinite geometric series $1-x^{2}+x^{4}-x^{6}+\cdots$, and integrating term-by-term.