Pengguna:Dedhert.Jr/Uji halaman 01/20

Masalah yang belum terpecahkan dalam matematika:

Berapa kelajuan pertumbuhan asimtotik dari luas segitiga terkecil yang ditentukan oleh tiga dari $n$ titik di sebuah persegi, ketika titik-titik tersebut dipilih untuk agar luasnya menjadi maksimal?

(lebih banyak masalah yang belum terpecahkan dalam matematika)

Enam titik di persegi satuan, dengan segitiga terkecil (warna merah) mempunyai luas 18. Segitiga besar lainnya diwarnai dengan biru. Keenam titik tersebut merupakan transformasi afin suatu heksagon beraturan, namun solusi optimalnya tidak membentuk sebuah poligon cembung untuk jumlah titik yang lebih besar.

Dalam geometri diskret dan teori ketakcocokkan, masalah segitiga Heilbronn adalah sebuah masalah tentang peletakan titik-titik di bidang yang menghindari luas segitiga kecil. Masalah ini dinamai dari Hans Heilbronn, yang menduga bahwa tidak peduli berapa banyak titik yang terletak di sebuah luas yang diberikan, luas segitiga yang paling terkecil akan sebesar berbanding terbalikdengan kuadrat dari jumlah titik. Konjektur Heilbronn pada awalnya terbukti salah, tetapi kelajuan pertumbuhan asimtotik dari luas segitiga minimum masih belum diketahui.

Definisi

Masalah segitiga Heilbronn melibatkan peletakan $n$ titik dalam sebuah bentuk di bidang, seperti persegi satuan atau cakram satuan, untuk bilangan $n$ yang diberikan. Masing-masing dari ketiga titik membentuk tiga verteks dari sebuah segitiga, dan di antaranya segitiga tersebut, masalah ini melibatkan segitiga terkecil ketika diukur dengan luasnya. Peletakan titik yang berbeda akan mempunyai segitiga terkecil yang berbeda, dan masalah ini menanyakan: bagaimana seharusnya $n$ titik diletakkan agar luas segitiga terkecil menjadi maksimal?

Lebih formalnya, bentuknya dapat diasumsi sebagai himpunan kompak $D$ di sebuah bidang, dalam artian bahwa bentuknya akan tetap di dalam sebuah batas yang jaraknya dari titik asal dan titik tersebut dapat diletakkan pada batasnya. Dalam hampir sebagian karya dalam masalah ini, $D$ juga menyatakan himpunan cembung dari luas bukan nol. Saat ada tiga buah titik yang terletak di sebuah garis, titik tersebut dianggap membentuk segitiga yang merosot dengan luasnya didefinisikan bernilai nol, sehingga perpindahan yang memaksimumkan segitiga terkecil tidak akan mempunyai tiga buah titik yang kolinear. The assumption that the shape is compact implies that there exists an optimal placement of $n$ points, rather than only a sequence of placements approaching optimality. Jumlah $\Delta _{D}(n)$ dapat didefinisikan sebagai luas segitiga terkecil dalam peletakan optimal. Contohnya dapat dilihat pada gambar berikut, dengan enam titik dalam sebuah persegi satuan. Keenam titik tersebut membentuk ${\tbinom {6}{3}}=20$ segitiga yang berbeda, dengan empat segitiga yang diwarnai (lihat gambar). Keenam titik dari 20 segitiga tersebut, dengan dua bentuk yang diwarnai, mempunyai luas 18; sisanya adalah 14 segitiga yang mempunyai luas yang lebih besar. Hal ini merupakan peletakan optimal dari keenam titik dalam sebuah persegi satuan, yang mengatakan bahwa semua peletakan lain membentuk sebuah segitiga dengan luas 18 atau lebih kecil darinya. Jadi, $\Delta _{D}(6)={\tfrac {1}{8}}$.

Walaupun para peneliti telah mempelajari nilai dari $\Delta _{D}(n)$ untuk jumlah titik dan bentuk yang spesifik, Heilbronn was concerned instead about its asymptotic behavior: if the shape $D$ is held fixed, but $n$ varies, how does the area of the smallest triangle vary with $n$? That is, Heilbronn's question concerns the growth rate of $\Delta _{D}(n)$, as a function of $n$. For any two shapes $D$ and $D'$, the numbers $\Delta _{D}(n)$ and $\Delta _{D'}(n)$ differ only by a constant factor, as any placement of $n$ points within $D$ can be scaled by an affine transformation to fit within $D'$, changing the minimum triangle area only by a constant. Therefore, in bounds on the growth rate of $\Delta _{D}(n)$ that omit the constant of proportionality of that growth, the choice of $D$ is irrelevant and the subscript may be omitted.