Pengguna:Hadithfajri/Segitiga sama kaki

Peristilahan, penggolongan, dan contoh-contoh

Peristilahan

Segitiga sama kaki adalah segitiga yang memiliki dua sisi yang sama panjangnya. Dua sisi yang sama panjangnya disebut kaki dan satu sisi lainnya disebut alas. Sudut yang diapit oleh kedua sisi disebut sudut puncak, sedangkan sudut yang diapit oleh alas segitiga dan salah satu sisi lainnya disebut sudut alas. Titik yang berhadapan dengan alas segitiga disebut titik puncak segitiga.

Dalam pendefinisian segitiga sama kaki, Euklides membatasi segitiga sama kaki sebagai segitiga yang tepat memiliki dua sisi yang sama panjang, sedangkan penjelasan yang lebih modern lebih memilih untuk mendefinisikan segitiga sama kaki sebagai segitiga yang setidaknya memiliki dua sisi yang sama panjang. Perbedaan dari kedua definisi tersebut adalah bahwa definisi dari versi modern memasukkan segitiga sama sisi (dengan panjang dari ketiga sisinya sama) sebagai kasus istimewa dari segitiga sama kaki. Dalam kasus segitiga sama sisi, karena semua sisi segitiga adalah sama, maka sebarang sisi dapat dikatakan sebagai kaki. Segitiga yang bukan sama kaki (dengan panjang dari ketiga sisinya saling tidak sama) disebut segitiga sembarang.

Penggolongan

Sudut kaki segitiga sama kaki selalu lancip.

Penggolongan segitiga sama kaki menjadi lancip, siku-siku, ataupun tumpul hanya bergantung pada sudut puncaknya. Ini karena sudut alasnya selalu lancip, yakni tidak siku-siku dan tidak pula tumpul. Tidak mungkin suatu segitiga sama kaki mempunyai sudut alas berupa dua siku-siku atau dua sudut tumpul, karena jumlah sudut tersebut akan sama atau lebih dari jumlah sudut dalam sebarang segitiga, yaitu 180°. Karena segitiga adalah tumpul jika dan hanya jika salah satu sudutnya tumpul, atau segitiga adalah siku-siku jika dan hanya jika salah satunya siku-siku, maka segitiga sama kaki adalah segitiga tumpul, siku-siku, atau lancip jika dan hanya jika sudut puncaknya adalah tumpul, siku-siku, atau lancip.

Penggolongan segitiga sama kaki dan bangun datar umumnya dipakai Edwin Abbott dalam novel Flatland sebagai sindiran tentang hierarki sosial, contohnya segitiga sama kaki yang menyatakan kelas pekerja, dengan segitiga lancip sama kaki menyatakan tingkat yang lebih tinggi daripada segitiga sama kaki siku-siku ataupun tumpul.

Contoh-contoh segitiga sama kaki

Selain segitiga siku-siku sama kaki, ada beberapa bangun segitiga sama kaki spesifik lainnya juga dikaji. Segitiga tersebut di antaranya segitiga Calabi (segitiga yang memiliki tiga persegi dalam yang kongruen), segitiga emas dan gnomon emas (dua segitiga sama kaki yang perbandingan antara panjang sisi dengan alasnya bernilai rasio emas), segitiga dengan sudut 80-80-20 ditemukan dalam teka-teki Langley's Adventitious Angles, dan segitiga dengan sudut 30-30-120 ditemukan dalam pengubinan segitiga triakis. Masing-masing kelima bangun ruang Catalan, yaitu tetrahedron triakis, oktahedron triakis, heksahedron triakis, dodekahedron pentakis, dan ikosahedron triakis, mempunyai muka berbentuk segitiga sama kaki; sama halnya dengan tak berhingga banyaknya limas dan bipiramida.

Beberapa segitiga sama kaki istimewa

• 
  Segitiga siku-siku sama kaki.
• 
  Tiga persegi dalam yang kongruen dalam segitiga Calabi.
• 
  Segitiga emas dibagi lagi menjadi segitiga emas dan gnomon emas yang lebih kecil.
• 
  Pengubinan segitiga triakis.

Bangun ruang Catalan dengan muka segitiga sama kaki

• 
  Tetrahedron triakis.
• 
  Oktahedron triakis.
• 
  Heksahedron tetrakis.
• 
  Dodekahedron pentakis.
• 
  Ikosahedron triakis.

Ukuran-ukuran

Keterangan:                              ${\textstyle a,b,c}$ sisi segitiga; ${\textstyle h_{a},h_{b},h_{c}}$ garis tinggi, berturut dari sisi ${\textstyle a,b,c}$; ${\textstyle \alpha ,\beta ,\gamma }$ sudut segitiga; ${\textstyle r_{i}}$ jari-jari lingkaran dalam; ${\textstyle r_{u}}$ jari-jari lingkaran luar;	Garis tinggi	$h_{a}=h_{b}={\frac {c}{2a}}{\sqrt {4a^{2}-c^{2}}}$
		$h_{c}={\frac {1}{2}}{\sqrt {4a^{2}-c^{2}}}$
	Luas	$A={\frac {ch_{c}}{2}}={\frac {c}{4}}{\sqrt {4a^{2}-c^{2}}}$
		$A={\frac {a^{2}\sin(\gamma )}{2}}$
	Keliling	$U=2a+c$
	Panjang sisi	$a=b$
		$c=2a\sin \left({\frac {\gamma }{2}}\right)={\sqrt {2a^{2}(1-\cos(\gamma ))}}$
	Sudut	$\alpha =\beta =\arcsin \left({\frac {h_{c}}{a}}\right)$
		$\gamma =180^{\circ }-2\alpha =2\arcsin \left({\frac {c}{2a}}\right)=\arccos \left(1-{\frac {c^{2}}{2a^{2}}}\right)$
	Jari-jari lingkaran dalam	$r_{i}={\frac {ch_{c}}{2a+c}}={\frac {c{\sqrt {4a^{2}-c^{2}}}}{4a+2c}}$
	Jari-jari lingkaran luar	$r_{u}={\frac {a}{2\sin(\alpha )}}={\frac {b}{2\sin(\beta )}}={\frac {c}{2\sin(\gamma )}}={\frac {a^{2}}{\sqrt {4a^{2}-c^{2}}}}$

Garis tinggi

Untuk sebarang segitiga sama kaki, ruas-ruas garis berikut berimpit dengan garis tinggi yang ditarik dari alas segitiga:

• garis bagi sudut, ruas garis dari puncak ke alas segitiga;
• garis berat, ruas garis dari puncak ke titik tengah alas segitiga;
• garis bagi dua tegak lurus dari alas dalam segitiga;
• ruas garis dalam segitiga dari sumbu simetri segitiga; dan
• ruas garis dalam segitiga dari garis Euler segitiga, kecuali ketika segitiga sama sisi.

Jika segitiga mempunyai panjang sisi $a$ yang sama dan panjang alas $b$, panjang dari ruas-ruas garis tersebut dapat dirumuskan menjadi$$h={\sqrt {a^{2}-{\frac {b^{2}}{4}}}}.$$

Basiswinkelsatz

Der Basiswinkelsatz besagt, dass in einem gleichschenkligen Dreieck die beiden Basiswinkel, also die Winkel, die den gleich langen Seiten gegenüberliegen, gleich groß sind. Umgekehrt gilt auch: Sind in einem Dreieck zwei Winkel gleich groß, so sind auch die beiden gegenüberliegenden Seiten gleich lang.

Zwei Seiten

Im gleichschenkligen Dreieck ist durch zwei unterschiedlich lange Seiten sofort die dritte mitbestimmt, wenn man weiß, welche der Seiten die Basis ist. Dadurch ergibt sich ein SSS-Fall. Die Winkel können mit Hilfe des Kosinussatzes berechnet werden.

Eine Seite und ein Winkel

Ist ein Winkel gegeben, so lassen sich aus der Beziehung

$\textstyle 2\alpha +\gamma =180^{\circ }$

sofort alle übrigen Winkel berechnen. Dadurch kann man das Dreieck nach dem WSW-Fall behandeln. Die fehlenden Seiten können mit dem Sinussatz berechnet werden.