Segi lima

Segi lima
Segi lima
	Sebuah segi lima sama beraturan
Sisi dan titik pojok	5
Simbol Schläfli	{5} Untuk segi lima reguler
Diagram Coxeter–Dynkin
Grup simetri	Dihedral (D5)
Luas	Berbagai metode Lihat pula
Sudut dalam (derajat)	108°
Sifat	Cembung (konveks)

Dalam geometri, segi lima (bahasa Inggris: pentagon) adalah poligon apa pun yang bersisi lima. Meskipun begitu, istilah ini sering digunakan untuk merujuk kepada segi lima beraturan, di mana semua sisinya memiliki panjang yang sama dan seluruh sudutnya sama besar (108°). Segi lima terbagi menjadi dua jenis, sederhana dan memotong-diri-sendiri (self-intersecting). Segi lima reguler jenis kedua terjadi ketika ada dua sisi poligon yang saling berpotongan. Bangun segi lima reguler memotong-diri-sendiri disebut pentagram.

Segi lima beraturan

Sebuah segi lima beraturan atau pentagon beraturan (bahasa Inggris: regular pentagon) adalah bentuk khusus dari segi lima sama sisi. Segi lima ini memiliki simbol Schläfli {5} dan sudut interior sebesar 108°. Segi lima beraturan memiliki lima simetri pencerminan, dan simetri rotasi orde 5 (dengan sudut rotasi 72°, 144°, 216° dan 288°).

Segi lima beraturan memiliki lima sisi diagonal (yakni sisi yang menghubungkan dua titik sudut yang tidak saling bersebelahan). Perbandingan panjang sisi segi lima terhadap panjang sisi diagonal ini sama dengan rasio emas. Sedangkan panjang sisi tinggi (yakni jarak dari satu titik sudut ke sisi yang berlawanan) dan sisi lebar (jarak antara dua titik terpisah terjauh; sama dengan panjang sisi diagonal) dapat dihitung lewat persamaan ${\begin{aligned}{\text{Tinggi}}&={\frac {\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}{2}}\cdot s\approx 1.539s,\\{\text{Lebar}}={\text{Diagonal}}&={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\cdot s\approx 1.618s,\\{\text{Lebar}}&={\sqrt {2-{\frac {2}{\sqrt {5}}}}}\cdot {\text{Tinggi}}\approx 1.051\cdot {\text{Tinggi}}\end{aligned}}$ dengan $s$ adalah panjang sisi segi lima dan $R$ adalah jari-jari lingkaran luar dari segi lima. Luas dari segi lima beraturan dapat ditemukan dengan menggunakan persamaan $A={\frac {s^{2}{\sqrt {25+10{\sqrt {5}}}}}{4}}={\frac {5s^{2}\tan(54^{\circ })}{4}}={\frac {{\sqrt {5(5+2{\sqrt {5}})}}\;s^{2}}{4}}\approx 1.720s^{2}.$ Jika segi lima beraturan dibatasi oleh lingkaran luar dengan jari-jari $R$ , panjang sisi dan panjang diagonalnya memenuhi persamaan ${\begin{aligned}s&=R\ {\sqrt {\frac {5-{\sqrt {5}}}{2}}}=2R\sin 36^{\circ }=2R\sin {\frac {\pi }{5}}\approx 1.176R,\\{\text{Diagonal}}&=R\ {\sqrt {\frac {5+{\sqrt {5}}}{2}}}=2R\cos 18^{\circ }=2R\cos {\frac {\pi }{10}}\approx 1.902R\end{aligned}}$ dan luasnya dapat ditentukan dengan $A={\frac {5R^{2}}{4}}{\sqrt {\frac {5+{\sqrt {5}}}{2}}}.$ Karena luas lingkaran luar adalah $\pi R^{2}$ , persamaan luas segi lima beraturan tersebut mengartikan segi lima beraturan mengisi kurang lebih 75.68% luas lingkaran luar.

Penurunan rumus luas

Luas dari sembarang poligon beraturan adalah: $A={\frac {1}{2}}Pr$ dengan $P$ menyatakan keliling (perimeter) dari poligon dan $r$ adalah jari-jari lingkaran dalam dari poligon tersebut. Dengan mensubtitusi nilai $P$ dan $r$ dari segi lima, akan didapatkan persamaan

A={\frac {1}{2}}\cdot 5s\cdot {\frac {s\tan {\mathord {\left({\frac {3\pi }{10}}\right)}}}{2}}={\frac {5s^{2}\tan {\mathord {\left({\frac {3\pi }{10}}\right)}}}{4}}

dengan $s$ menyatakan panjang sisi dari segi lima beraturan.

Jari-jari dalam (inradius)

Seperti sembarang poligon cembung beraturan yang lain, segi lima cembung beraturan memiliki lingkaran dalam. Panjgan jari-jari $r$ dari lingkaran dalam dapat dihubungkan dengan panjang sisi $s$ dari segi lima beraturan lewat persamaan

r={\frac {s}{2\tan(\pi /5)}}={\frac {s}{2{\sqrt {5-{\sqrt {20}}}}}}\approx 0.6882\cdot t.

Konstruksi geometris

Segi lima beraturan dapat dibangun (dikontruksi, dibuat) dengan menggunakan jangka dan penggaris. Hal ini adalah akibat dari teorema Gauss-Wantzel dan fakta 5 merupakan bilangan prima Fermat. Ada banyak metode yang dikenal untuk membangun pentagon biasa. Beberapa metode tersebut dibahas di bawah ini.

Metode Richmond

Salah satu metode untuk membangun segi lima beraturan (dengan titik-titik sudut) terletak pada suatu lingkaran adalah metode yang dijelaskan oleh Richmond^[1]. Metode ini dibahas lebih lanjut dalam buku Polyhedra oleh Cromwell.^[2]

Gambar 1 menunjukkan konstruksi yang digunakan dalam metode Richmond untuk membuat sebuah sisi segi lima. Kedua sudut dari sisi ini berada pada sebuah lingkaran dengan jari-jari sebesar 1. Titik pusat dari lingkaran ini ditandai dengan huruf ${\mathsf {C}}$ , sedangkan titik ${\mathsf {M}}$ adalah titik tengah dari jari-jari lingkaran. garis ${\mathsf {CM}}$ tegak lurus dengan titik ${\mathsf {CD}}$ . Tahapan pertama metode ini adalah membagi sudut $\angle {\textsf {CMD}}$ sama besar, dan garis yang membagi sudut ini akan memotong garis ${\mathsf {CM}}$ di titik ${\mathsf {Q}}$ . Selanjutnya sebuah garis yang melalui titik ${\mathsf {Q}}$ dan sejajar garis ${\mathsf {CM}}$ dibentuk; garis ini akan memotong lingkaran di titik ${\mathsf {P}}$ . Segmen garis ${\mathsf {DP}}$ adalah sisi segi lima yang dihasilkan metode ini.

Untuk menentukan panjang dari sisi ini, dua segitiga siku-siku $\triangle {\mathsf {DCM}}$ dan $\triangle {\mathsf {QCM}}$ digambarkan di bawah gambar lingkaran konstruksi. Menggunakan teorema Pythagoras, panjang hipotenusa (sisi miring) dari $\triangle {\mathsf {DCM}}$ adalah ${\sqrt {5}}/2$ . Panjang sisi $h$ dari $\triangle {\mathsf {QCM}}$ dapat ditentukan dengan menggunakan rumus setengah sudut:

\tan(\phi /2)={\frac {1-\cos(\phi )}{\sin(\phi )}}.

Dengan mensubtitusi nilai sinus dan kosinus dari sudut $\phi$ , yang nilainya diketahui dari $\triangle {\mathsf {DCM}}$ , didapatkan

h={\frac {{\sqrt {5}}-1}{4}}\ .

Jika ${\mathsf {DP}}$ memang merupakan sisi dari segi lima beraturan, haruslah $\angle {\mathsf {CDP}}=54^{\circ }$ . Menggabungkan ${\mathsf {DP}}=2\cos(54^{\circ })$ dan ${\mathsf {DQ}}={\mathsf {DP}}\cos(54^{\circ })$ , didapatkan ${\mathsf {DQ}}=2\cos ^{2}(54^{\circ })$ dan ${\mathsf {CQ}}=1-2\cos ^{2}(54^{\circ })=-\cos(108^{\circ })=\cos(72^{\circ }).$ Hal ini mengartikan $\angle {\textsf {QCP}}=\angle {\textsf {DCP}}=72^{\circ }$ , yang berlaku pada segi lima beraturan.

Segi lima sama sisi

Segi lima sama sisi adalah sebuah poligon dengan lima sisi yang sama panjang. Tetapi, besar sudut-sudut dalam dari poligon ini dapat bermacam-macam. Hal ini berbeda dengan segi lima beraturan yang semua sudutnya memiliki besar yang sama.