Peringkat grup abelian

Dalam matematika, Peringkat, Peringkat Prüfer, atau peringkat bebas torsi dari grup abelian A adalah kardinalitas dari subset independen linear maksimal. Peringkat A menentukan ukuran grup abelian bebas terbesar yang ada di A . Jika A adalah bebas torsi maka ia disematkan ke dalam ruang vektor di atas bilangan rasional peringkat dimensi A . Untuk grup abelian yang dihasilkan secara hingga, pangkat adalah invarian yang kuat dan setiap grup tersebut ditentukan hingga isomorfisme oleh pangkatnya dan subgrup torsi. Grup abelian bebas torsi dengan peringkat 1 telah diklasifikasikan sepenuhnya. Namun, teori grup abelian dengan peringkat yang lebih tinggi lebih terlibat.

Istilah rank memiliki arti yang berbeda dalam konteks grup abelian dasar.

Definisi

Sebuah himpunan bagian {a_α} dari grup abelian adalah independen linear (lebih Z) jika satu-satunya kombinasi linear dari elemen-elemen ini yang sama dengan nol adalah sepele: if

$\sum _{\alpha }n_{\alpha }a_{\alpha }=0,\quad n_{\alpha }\in \mathbb {Z} ,$

di mana semua kecuali banyak koefisien n _α adalah nol (sehingga jumlahnya, pada dasarnya, terbatas), maka semua penjumlahan adalah 0. Setiap dua himpunan independen linier maksimal di A memiliki kardinalitas yang sama, yang disebut peringkat dari A .

Peringkat sebuah grup abelian dapat dianalogikan dengan dimensi dari sebuah ruang vektor. Perbedaan utama dengan kasus ruang vektor adalah adanya torsi. Sebuah elemen dari grup abelian A diklasifikasikan sebagai torsi jika order terbatas. Himpunan semua elemen torsi adalah subgrup, yang disebut subgrup torsi dan dilambangkan dengan T ( A ). Sebuah grup disebut bebas torsi jika tidak memiliki elemen torsi non-trivial. Kelompok faktor A / T ( A ) adalah hasil bagi bebas torsi maksimal yang unik dari A dan peringkatnya bertepatan dengan peringkat A .

Gagasan peringkat dengan properti analog dapat didefinisikan untuk modul melalui domain integral, kasus grup abelian yang sesuai dengan modul di atas Z. Untuk ini, lihat modul yang dihasilkan secara hingga#Peringkat generik.

Sifat

• Pangkat kelompok abelian A bertepatan dengan dimensi ruang vektor-Q dengan A ⊗ Q. Jika A bebas torsi, maka peta kanonik A → A ⊗ Q adalah injektif dan peringkat A adalah dimensi minimum dari ruang vektor Q yang berisi A sebagai subgrup abelian. Secara khusus, setiap grup perantara Zⁿ < A < Qⁿ memiliki pangkat n.
• Kelompok abelian dengan peringkat 0 persisnya gruo abelian periodik.
• Grup Q dari bilangan rasional memiliki rangking 1. Kelompok abelian bebas torsi peringkat 1 direalisasikan sebagai subkelompok dari Q dan ada klasifikasi yang memuaskan sampai isomorfisme. Sebaliknya, tidak ada klasifikasi yang memuaskan dari kelompok abelian bebas torsi dari peringkat 2.
• Peringkat adalah aditif atas urutan persis pendek: jika

$0\to A\to B\to C\to 0\;$

adalah urutan persis singkat dari grup abelian maka rk B = rk A + rk C. Ini mengikuti dari kerataan dari Q dan fakta terkait untuk ruang vektor.

• Peringkat adalah aditif atas sembarang jumlah langsung:

$\operatorname {rank} \left(\bigoplus _{j\in J}A_{j}\right)=\sum _{j\in J}\operatorname {rank} (A_{j}),$

di mana jumlah di sisi kanan menggunakan aritmetika kardinal.

Grup dengan peringkat lebih tinggi

Grup Abelian dengan peringkat lebih dari 1 adalah sumber contoh yang menarik. Misalnya, untuk setiap kardinal d terdapat grup abelian bebas torsi dari peringkat d yang tidak dapat diuraikan, yaitu tidak dapat diekspresikan sebagai jumlah langsung dari pasangan. Contoh-contoh ini menunjukkan bahwa grup abelian bebas torsi dengan peringkat lebih besar dari 1 tidak dapat begitu saja dibangun dengan jumlah langsung dari grup abelian bebas torsi peringkat 1, yang teorinya dipahami dengan baik. Apalagi untuk setiap bilangan bulat $n\geq 3$, ada grup abelian bebas torsi dengan peringkat $2n-2$ yang secara bersamaan merupakan penjumlahan dari dua grup yang tidak dapat diuraikan, dan jumlah grup n yang tidak dapat diuraikan. Oleh karena itu, bahkan jumlah ringkasan yang tidak dapat diuraikan dari suatu kelompok dengan peringkat genap lebih besar atau sama dari 4 tidak dapat ditentukan dengan baik.

Hasil lain tentang non-keunikan dekomposisi penjumlahan langsung adalah karena A.L.S.: diberi bilangan bulat $n\geq k\geq 1$, ada grup abelian bebas torsi A dengan pangkat n sedemikian rupa sehingga untuk partisi mana pun $n=r_{1}+\cdots +r_{k}$ ke dalam rangkuman alami k , grup A adalah jumlah langsung dari subgrup peringkat yang tidak dapat diuraikan $r_{1},r_{2},\ldots ,r_{k}$. Dengan demikian urutan barisan rangkuman yang tak dapat diuraikan dalam dekomposisi penjumlahan langsung tertentu dari grup abelian bebas torsi dari rangking berhingga sangat jauh dari invarian A .

Contoh mengejutkan lainnya termasuk grup peringkat 2 bebas torsi A_n,m dan B_n,m such that Aⁿ isomorfik untuk Bⁿ jika dan hanya jika n habis dibagi oleh m .

Untuk grup abelian dengan pangkat tak terbatas, ada contoh grup K dan subgrup G sedemikian rupa sehingga

• K tidak bisa diuraikan;
• K dihasilkan oleh G dan satu elemen lainnya; dan
• Setiap rangkuman langsung bukan nol dari G dapat diuraikan.

Generalisasi

Gagasan peringkat dapat digeneralisasikan untuk setiap modul M di atas domain integral R , sebagai dimensi di atas R₀, bidang hasil bagi, dari produk tensor dari modul dengan bidang:

${\text{peringkat}}(M)=\dim _{R_{0}}M\otimes _{R}R_{0}$

Masuk akal, karena R ₀ adalah sebuah field, dan dengan demikian setiap modul (atau, lebih spesifiknya, ruang vektor) di atasnya adalah bebas.

Ini adalah generalisasi, karena setiap grup abelian adalah modul di atas integer. Ini dengan mudah mengikuti bahwa dimensi produk di atas Q adalah kardinalitas dari himpunan bagian independen linier maksimal, karena untuk setiap elemen torsi x dan q rasional apa pun

$x\otimes _{\mathbf {Z} }q=0$

Lihat pula

• Peringkat grup