Persamaan Morison

Gaya aliran menurut persamaan Morison untuk benda yang diletakkan di aliran harmonik, sebagai fungsi waktu. Garis biru: gaya seret; garis merah: gaya inersia; garis hitam: gaya total menurut persamaan Morison. Perhatikan bahwa gaya inersia berada di depan gaya seret. Hal ini karena kecepatan aliran merupakan gelombang sinus, sementara akselerasi lokal merupakan gelombang kosinus apabila ditinjau sebagai fungsi terhadap waktu.

Dalam dinamika fluida, Persamaan Morison adalah sebuah persamaan semiempiris untuk menentukan gaya sebuah benda dalam aliran terosilasi. Persamaan ini juga dikenal sebagai persamaan MOJS, berasal dari singkatan keempat orang (Morison, O'Brien, Johnson, dan Schaaf) yang pertama kali menulis persamaan ini dalam sebuah artikel ilmiah pada 1950. Persamaan Morison digunakan untuk memperkirakan beban akibat gelombang dalam proses perancangan anjungan lepas pantai atau struktur lepas pantai lainnya.

Deskripsi

Beban gelombang pada struktur rangka baja anjungan lepas pantai Production Utilities Quarters Compression (PUQC) di ladang minyak Rong Doi, lepas pantai Vietnam.

Persamaan Morison terdiri atas dua komponen gaya, yakni gaya inersia yang sefase dengan percepatan lokal aliran dan gaya seret yang sebanding dengan pangkat dua dari kecepatan aliran instan. Gaya inersia merupakan bentuk fungsional dalam teori aliran potensial, sementara gaya hambat terjadi pada benda yang ditempatkan dalam aliran langgeng.

Persamaan Morison mengandung dua koefisien hidrodinamika empiris, yakni koefisien inersia dan koefisien seret. Kedua koefisien ini didapatkan melalui data eksperimen. Menurut analisis dimensional dan hasil eksperimen oleh Sarpkaya, kedua koefisien ini umumnya bergantung pada bilangan Keulegan–Carpenter, bilangan Reynolds, dan kekasaran permukaan.

Deskripsi di bawah berlaku untuk kondisi aliran satu arah.

Objek diam dalam aliran terosilasi

Dalam sebuah aliran terosilasi dengan kecepatan aliran $u(t)$, didapatkan gaya yang sejajar dengan arah aliran menggunakan persamaan Morison:

$F\,=\,\underbrace {\rho \,C_{m}\,V\,{\dot {u}}} _{F_{I}}+\underbrace {{\frac {1}{2}}\,\rho \,C_{d}\,A\,u\,|u|} _{F_{D}},$

dengan:

• $F(t)$ merupakan gaya total inline objek,
• ${\dot {u}}\equiv {\text{d}}u/{\text{d}}t$ merupakan percepatan aliran dapat berupa turunan waktu dari fungsi kecepatan aliran $u(t),$
• Gaya inersia $F_{I}\,=\,\rho \,C_{m}\,V\,{\dot {u}}$, merupakan penjumlahan dari gaya Froude–Krylov $\rho \,V\,{\dot {u}}$ dan gaya massa hidrodinamika $\rho \,C_{a}\,V\,{\dot {u}},$
• Gaya seret $F_{D}\,=\,{\scriptstyle {\frac {1}{2}}}\,\rho \,C_{d}\,A\,u\,|u|$ menurut persamaan seret,
• $C_{m}=1+C_{a}$ merupakan koefisien inersia dan $C_{a}$ merupakan koefisien massa virtual,
• A merupakan luas referensi, berupa luar panampang objek yang tegak lurus dengan arah aliran,
• V merupakan volume objek.

Benda bergerak dalam aliran terosilasi

Dalam kasus benda yang bergerak dengan kecepatan $v(t)$, berlaku persamaan Morison:

$F=\underbrace {\rho \,V{\dot {u}}} _{a}+\underbrace {\rho \,C_{a}V\left({\dot {u}}-{\dot {v}}\right)} _{b}+\underbrace {{\frac {1}{2}}\rho \,C_{d}A\left(u-v\right)\left|u-v\right|} _{c}.$

dengan gaya total yang terdiri atas:

• a: gaya Froude–Krylov,
• b: gaya massa hidrodinamika,
• c: gaya seret.

Batasan

• Persamaan Morison adalah sebuah rumus heuristik untuk fluktuasi gaya dalam aliran terosilasi. Asumsi pertama yang digunakan adalah percepatan aliran bernilai sama di lokasi objek. Oleh karena itu, diameter objek yang berupa pipa vertikal harus lebih kecil dibandingkan panjang gelombang. Jika diameter objek lebih besar dari panjang gelombang, maka efek difraksi harus diperhitungkan.
• Kedua, gaya inersia dan seret harus valid untuk nilai bilangan Keulegan–Carpenter yang sangat kecil dan sangat besar.
• Ketiga, persamaan Morison tidak dapat merepresentasikan fungsi gaya terhadap waktu untuk aliran bukan satu arah, seperti yang dialami oleh silinder horizontal di bawah gelombang.

Referensi

• Morison, J. R.; O'Brien, M. P.; Johnson, J. W.; Schaaf, S. A. (1950), "The force exerted by surface waves on piles", Petroleum Transactions, American Institute of Mining Engineers, 189: 149–154, doi:10.2118/950149-G 
• Sarpkaya, T. (2010), Wave Forces on Offshore Structures, Cambridge University Press, ISBN 9780521896252 
• Sarpkaya, T.; Isaacson, M. (1981), Mechanics of wave forces on offshore structures, New York: Van Nostrand Reinhold, ISBN 0-442-25402-4 
• Sumer, B. M.; Fredsøe, J. (2006), Hydrodynamics around cylindrical structures, Advanced Series on Ocean Engineering, 26 (edisi ke-revised), World Scientific, ISBN 981-270-039-0 , 530 pages