Fungsi kuintik

Grafik polinomial dengan derajat 5, mempunyai tiga akar real dan empat titik kritis.

Dalam aljabar, fungsi kuintik adalah fungsi berbentuk

$$g(x)=ax^{5}+bx^{4}+cx^{3}+dx^{2}+ex+f,\,$$

dengan $a,b,c,d,e,f$ merupakan anggota dari lapangan, Anggota tersebut secara umum berupa bilangan rasional, bilangan real ataupun bilangan kompleks, serta $a$ bukan nol. Dengan kata lain, fungsi kuintik adalah suatu fungsi yang didefinisikan dengan sebuah polinomial dengan derajat lima.

Karena mempunyai derajat bernilai ganjil, fungsi kuintik normal tampak mirip seperti fungsi kubik normal saat menggambarkannya, kecuali mempunyai satu buah maksimum lokal dan satu buah minimum lokal tambahan. Turunan dari fungsi kuintik adalah fungsi kuartik.

Dengan menetapkan g(x) = 0, dan mengasumsi bahwa a ≠ 0, akan menghasilkan persamaan kuintik dalam bentuk:

$$ax^{5}+bx^{4}+cx^{3}+dx^{2}+ex+f=0.\,$$

Memecahkan persamaan kuintik dalam bentuk akar adalah masalah utama dalam aljabar pada abad ke-16, ketika menemukan solusi dari persamaan kubik dan persamaan kuartik. Hingga pada setengah abad ke-19, kemustahilan untuk mendapatkan solusi umum dari polinomial tersebut dibuktikan dengan menggunakan teorema Abel–Ruffini.

Mencari akar dari persamaan kuintik

Mencari akar dari polinomial telah menjadi masalah matematika yang menonjol. Persamaan polinomial seperti persamaan linear, persamaan kuadrat, persamaan kubik dan persamaan kuartik selalu dapat diselesaikan dengan menggunakan faktorisasi dan kemudian diubah menjadi akar, tidak peduli apakah akarnya bernilai bilangan rasional atau irasional, bilangan real atau bilangan kompleks, dan ada rumus-rumus yang menghasilkan solusi yang dibutuhkan. Sayangnya, persamaan polinomial seperti persamaan kuintik tidak mempunyai ekspresi akar untuk solusinya atas bilangan rasional. Pernyataan ini dikenal sebagai teorema Abel–Ruffini, yang pertama kali pernyataan tersebut diterbitkan pada tahun 1799, dan buktinya diselesaikan pada tahun 1824. Teorema ini juga berlaku untuk persamaan derajat yang lebih tinggi. Sebagai contoh, akar dari persamaan kuintik x⁵ − x + 1 = 0 tidak dapat diubah menjadi ekspresi radikal.

Ada beberapa persamaan kuintik yang dapat diselesaikan dengan menggunakan ekspresi akar. Akan tetapi, solusi tersebut umumnya terlalu rumit untuk digunakan pada praktiknya. Sebagai gantinya, aproksimasi numerik dihitung menggunakan algoritma pencarian akar untuk polinomial.

Persamaan kuintik yang terpecahkan

Beberapa persamaan kuintik dapat diselesaikan dalam bentuk akar, dan persamaan tersebut didefinisikan dengan polinomial tersederhanakan, seperti x⁵ − x⁴ − x + 1 = (x² + 1)(x + 1)(x − 1)². Sebagai contoh, persamaan

$$x^{5}-x-r=0$$

telah diperlihatkan mempunyai solusi dalam ekspresi akar jika dan hanya jika persamaan tersebut mempunyai solusi bilangan bulat atau $r$ bernilai ±15, ± 22440, atau ± 2759640. Pada kasus ini, polinomial tersebut dapat disederhanakan.

Penyelesaian persamaan kuintik tersederhanakan disederhanakan secara langung agar membentuk penyelesaian polinomial dengan derajat yang lebih kecil, sehingga yang tersisa hanyalah persamaan kuintik tak tersederhanakan. Karena itu, istilah "kuintik" hanya akan merujuk pada kuintik tak tersederhanakan. Kuintik terpecahkan (Inggris: solvable quintic) adalah polinomial kuintik tak tersederhanakan yang akarnya dapat dinyatakan dalam ekspresi akar.

Untuk mengkarakterisasi kuintik terpecahkan, dan untuk polinomial dengan derajat yang lebih tinggi, Évariste Galois mengembangkan teknik yang memunculkan teori grup dan teori Galois. Ketika menerapkan teknik tersebut, Arthur Cayley menemukan kriteria umum untuk menentukan apakah sebarang persamaan kuintik terselesaikan (dapat diselesaikan). Kriteria tersebut menjelaskan sebagai berikut.

Diberikan persamaan

$$ax^{5}+bx^{4}+cx^{3}+dx^{2}+ex+f=0,$$

maka transformasi Tschirnhaus x = y − b5a, yang menekan persamaan kuintik (dengan kata lain, menghilangkan suku derajat empat), memberikan persamaan

$$y^{5}+py^{3}+qy^{2}+ry+s=0$$

dengan

$${\begin{aligned}p&={\frac {5ac-2b^{2}}{5a^{2}}}\\q&={\frac {25a^{2}d-15abc+4b^{3}}{25a^{3}}}\\r&={\frac {125a^{3}e-50a^{2}bd+15ab^{2}c-3b^{4}}{125a^{4}}}\\s&={\frac {3125a^{4}f-625a^{3}be+125a^{2}b^{2}d-25ab^{3}c+4b^{5}}{3125a^{5}}}\end{aligned}}$$

Kedua persamaan kuintik di atas terselesaikan dengan akar jika dan hanya jika kedua persamaan tersebut dapat difaktorkan dalam persamaan derajat yang lebih rendah dengan koefisien bilangan rasional atau polinomial P² − 1024zΔ, yang bernama resolven Cayley, mempunyai akar rasional di z, dengan

$$P=z^{3}-z^{2}(20r+3p^{2})-z(8p^{2}r-16pq^{2}-240r^{2}+400sq-3p^{4})-p^{6}+28p^{4}r-16p^{3}q^{2}-176p^{2}r^{2}-80p^{2}sq+224prq^{2}-64q^{4}+4000ps^{2}+320r^{3}-1600rsq$$

dan

$$\Delta =-128p^{2}r^{4}+3125s^{4}-72p^{4}qrs+560p^{2}qr^{2}s+16p^{4}r^{3}+256r^{5}+108p^{5}s^{2}-1600qr^{3}s+144pq^{2}r^{3}-900p^{3}rs^{2}+2000pr^{2}s^{2}-3750pqs^{3}+825p^{2}q^{2}s^{2}+2250q^{2}rs^{2}+108q^{5}s-27q^{4}r^{2}-630pq^{3}rs+16p^{3}q^{3}s-4p^{3}q^{2}r^{2}.$$

Hasil Cayley memungkinkan seseorang untuk menguji apakah persamaan kuintik tersebut terpecahkan. Jika demikian, maka mencari akarnya adalah masalah yang lebih sulit, yang terdiri dari mencari akar dalam ekspresi radikal yang melibatkan koefisien dari persamaan kuintik dan akar rasional dari resolven Cayley.

Pada tahun 1888, George Paxton Young menjelaskan cara menyelesaikan suatu persamaan kuintik terselesaikan tanpa menyediakan rumus yang eksplisit. Rumus tersebut ditulis dalam tiga halaman oleh Daniel Lazard.

Solusi selain dalam ekspresi akar

Sekitar tahun 1835, Jerrard memperlihatkan bahwa persamaan kuintik dapat diselesaikan dengan menggunakan ultraradikal (atau juga dikenal sebagai radikal Bring), sebuah akar real dari persamaan t⁵ + t − a = 0 untuk bilangan real a. Pada tahun 1858, Charles Hermite memperlihatkan bahwa radikal Bring dapat dikarakterisasi dalam fungsi theta Jacobi dan fungsi modular eliptik iringannya, dengan menggunakan pendekatan yang mirip dengan pendekatan yang lebih dikenal dalam menyelesaikan persamaan kubik melalui fungsi trigonometri. Di sekitar waktu yang sama, Leopold Kronecker dan Francesco Brioschi menggunakan teori grup dan mengembangkan cara yang lebih sederhana untuk memperoleh hasil Hermite. Felix Klein kemudian menemukan metode yang mengaitkan simetri dari ikosahedron, teori Galois, dan fungsi modular eliptik yang dipakai dalam solusi Hermite; menjelaskan alasan fungsi tersebut harus dipakai, dan mengembangkan solusinya sendiri dengan menggunakan fungsi hipergeometrik diperumum. Fenomena yang serupa terjadi dalam persamaan berderajat 7 (atau persamaan septik) dan persamaan berderajat 11, saat Klein mempelajarinya.

Penerapan persamaan kuintik dalam mekanika benda angkasa

Memecahkan lokasi titik Lagrangian dari orbit astronomi dengan massa dari kedua objek tidak dapat diabaikan melibatkan penyelesaian kuintik.

Lebih tepatnya, lokasi $L_{2}$ dan $L_{1}$ adalah solusi untuk persamaan berikut, dengan gaya gravitasi dua objek bermassa terhadap objek ketiga (sebagai contoh, Matahari dan Bumi terhadap satelit seperti Gaia di $L_{2}$ dan SOHO di $L_{1}$) memberikan gaya sentripetal satelit yang diperlukan untuk tetap berada dalam orbit sinkron dengan Bumi di sekitar Matahari:

${\frac {GmM_{S}}{(R\pm r)^{2}}}\pm {\frac {GmM_{E}}{r^{2}}}=m\omega ^{2}(R\pm r)$

Tanda ± mewakili masing-masing $L_{2}$ dan $L_{1}$; $G$ adalah konstanta gravitasi, $\omega$ adalah kecepatan sudut, $r$ adalah jarak satelit ke Bumi, $R$ jarak Matahari ke Bumi (yaitu, sumbu semi-mayor orbit bumi), serta $m$, $M_{E}$, dan $M_{S}$ adalah massa satelit, Bumi, dan Matahari.

Menggunakan Hukum Ketiga Kepler ${\textstyle \omega ^{2}={\frac {4\pi ^{2}}{P^{2}}}={\frac {G(M_{S}+M_{E})}{R^{3}}}}$ dan menyusun ulang semua partisipan persamaan menghasilkan kuintik:

$ar^{5}+br^{4}+cr^{3}+dr^{2}+er+f=0$

dengan $a=\pm (M_{S}+M_{E})$, $b=+(M_{S}+M_{E})3R$, $c=\pm (M_{S}+M_{E})3R^{2}$, $d=+(M_{E}\mp M_{E})R^{3}$ (jadi $d=0$ untuk $L_{2}$), $e=\pm M_{E}2R^{4}$, $f=\mp M_{E}R^{5}$.

Menyelesaikan kedua hasil kuintik ini akan menghasilkan r = 1.501 x 10⁹ m untuk $L_{2}$ dan r = 1.491 x 10⁹ m untuk $L_{1}$. Titik Lagrangian Matahari–Bumi $L_{2}$ dan $L_{1}$ biasanya menggunakan jarak sejauh 1,5 juta km dari Bumi.

Jika massa dari objek yang lebih kecil ($M_{E}$ jauh di bawah massa objek yang lebih besar ($M_{S}$), maka persamaan kuintiknya dapat direduksi, serta $L_{1}$ dan $L_{2}$ akan kurang lebih berada pada radius bola Hill, sesuai dengan:

$r\approx R{\sqrt[{3}]{\frac {M_{E}}{3M_{S}}}}$

yang juga akan menghasilkan r = 1.5 x 10⁹ m untuk satelit pada $L_{1}$ dan $L_{2}$ dalam sistem Matahari-Bumi.

Lihat pula

• Persamaan sekstik
• Fungsi septik
• Teori persamaan

Referensi

• Charles Hermite, "Sur la résolution de l'équation du cinquème degré", Œuvres de Charles Hermite, t.2, pp. 5–21, Gauthier-Villars, 1908.
• Felix Klein, Lectures on the Icosahedron and the Solution of Equations of the Fifth Degree, trans. George Gavin Morrice, Trübner & Co., 1888. ISBN 0-486-49528-0.
• Leopold Kronecker, "Sur la résolution de l'equation du cinquième degré, extrait d'une lettre adressée à M. Hermite", Comptes Rendus de l'Académie des Sciences, t. XLVI, 1858 (1), pp. 1150–1152.
• Blair Spearman and Kenneth S. Williams, "Characterization of solvable quintics x⁵ + ax + b, American Mathematical Monthly, Vol. 101 (1994), pp. 986–992.
• Ian Stewart, Galois Theory 2nd Edition, Chapman and Hall, 1989. ISBN 0-412-34550-1. Discusses Galois Theory in general including a proof of insolvability of the general quintic.
• Jörg Bewersdorff, Galois theory for beginners: A historical perspective, American Mathematical Society, 2006. ISBN 0-8218-3817-2. Chapter 8 (The solution of equations of the fifth degree di Wayback Machine (diarsipkan tanggal 31 March 2010)) gives a description of the solution of solvable quintics x⁵ + cx + d.
• Victor S. Adamchik and David J. Jeffrey, "Polynomial transformations of Tschirnhaus, Bring and Jerrard," ACM SIGSAM Bulletin, Vol. 37, No. 3, September 2003, pp. 90–94.
• Ehrenfried Walter von Tschirnhaus, "A method for removing all intermediate terms from a given equation," ACM SIGSAM Bulletin, Vol. 37, No. 1, March 2003, pp. 1–3.
• Lazard, Daniel (2004). "Solving quintics in radicals". Dalam Olav Arnfinn Laudal; Ragni Piene. The Legacy of Niels Henrik Abel. Berlin. hlm. 207–225. ISBN 3-540-43826-2. Diarsipkan dari versi asli tanggal January 6, 2005. 
• Tóth, Gábor (2002), Finite Möbius groups, minimal immersions of spheres, and moduli 

Pranala luar

• Mathworld - Quintic Equation Diarsipkan 2020-10-23 di Wayback Machine. – more details on methods for solving Quintics.
• Solving Solvable Quintics Diarsipkan 2012-03-07 di Wayback Machine. – a method for solving solvable quintics due to David S. Dummit.
• A method for removing all intermediate terms from a given equation - a recent English translation of Tschirnhaus' 1683 paper.