Relasi perulangan
Artikel atau sebagian dari artikel ini mungkin diterjemahkan dari Recurrence relation di en.wiki-indonesia.club. Isinya masih belum akurat, karena bagian yang diterjemahkan masih perlu diperhalus dan disempurnakan. Jika Anda menguasai bahasa aslinya, harap pertimbangkan untuk menelusuri referensinya dan menyempurnakan terjemahan ini. Anda juga dapat ikut bergotong royong pada ProyekWiki Perbaikan Terjemahan. (Pesan ini dapat dihapus jika terjemahan dirasa sudah cukup tepat. Lihat pula: panduan penerjemahan artikel) |
Dalam matematika, relasi perulangan[1] adalah persamaan yangrekursif mendefinisikan array nilai urutan atau multidimensi, sekali satu atau lebih istilah awal diberikan; setiap suku selanjutnya dari barisan atau larik didefinisikan sebagai fungsi dari suku-suku sebelumnya.
Syarat persamaan perbedaan terkadang (dan untuk tujuan artikel ini) mengacu pada jenis relasi perulangan tertentu. Namun, "persamaan perbedaan" sering digunakan untuk merujuk ke relasi perulangan dengan apa saja .
Definisi
[sunting | sunting sumber]Relasi perulangan adalah persamaan yang mengekspresikan setiap elemen dari urutan sebagai fungsi dari yang sebelumnya. Lebih tepatnya, dalam kasus di mana hanya elemen sebelumnya yang terlibat, relasi perulangan memiliki bentuk
dimana
adalah sebuah fungsi, di mana X adalah himpunan yang harus dimiliki elemen-elemen urutan. Untuk apapun , ini mendefinisikan urutan unik dengan sebagai elemen pertamanya, yang disebut nilai awal.[2]
Sangat mudah untuk mengubah definisi untuk mendapatkan urutan mulai dari indeks 1 atau lebih tinggi.
Ini mendefinisikan relasi perulangan orde pertama. Relasi perulangan orde k memiliki bentuk
dimana adalah fungsi yang melibatkan k elemen berurutan dari urutan tersebut. Dalam kasus ini, nilai awal k diperlukan untuk menentukan urutan.
Contoh
[sunting | sunting sumber]Faktorial
[sunting | sunting sumber]Faktorial ditentukan oleh relasi perulangan
dan kondisi awal
Peta logistik
[sunting | sunting sumber]Contoh relasi perulangan adalah peta logistik:
dengan konstanta tertentu r ; mengingat istilah awal x0 setiap suku berikutnya ditentukan oleh relasi ini.
Memecahkan relasi perulangan berarti memperoleh solusi bentuk tertutup: fungsi non-rekursif dari n .
Bilangan Fibonacci
[sunting | sunting sumber]Pengulangan urutan dua yang dipenuhi oleh Bilangan Fibonacci adalah pola dasar dari relasi perulangan linier yang homogen dengan koefisien konstan (lihat di bawah). Urutan Fibonacci ditentukan menggunakan pengulangan
dengan kondisi awal (nilai benih)
Secara eksplisit, pengulangan menghasilkan persamaan
etc.
Kami mendapatkan urutan angka Fibonacci, yang dimulai
- 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, ...
Pengulangan dapat diselesaikan dengan metode yang dijelaskan di bawah ini menghasilkan rumus Binet, yang melibatkan pangkat dua akar dari karakteristik polinomial t2 = t + 1; fungsi pembangkit dari barisan tersebut adalah fungsi rasional
Koefisien binomial
[sunting | sunting sumber]Contoh sederhana dari relasi perulangan multidimensi diberikan oleh koefisien binomial , yang menghitung jumlah cara memilih elemen k dari satu set elemen n . Mereka dapat dihitung oleh relasi perulangan
dengan kasus dasar . Menggunakan rumus ini untuk menghitung nilai semua koefisien binomial menghasilkan larik tak hingga yang disebut segitiga Pascal. Nilai yang sama juga dapat dihitung secara langsung dengan rumus berbeda yang bukan merupakan pengulangan, tetapi membutuhkan perkalian dan bukan hanya penambahan untuk menghitung:
Hubungan persamaan perbedaan didefinisikan secara sempit
[sunting | sunting sumber]Diberikan urutan urutan dari bilangan riil: perbedaan pertama didefinisikan sebagai
Perbedaan kedua didefinisikan sebagai
yang dapat disederhanakan menjadi
Lebih umum lagi: k-perbedaan dari urutan an ditulis sebagai didefinisikan secara rekursif sebagai
(Urutan dan perbedaannya terkait dengan transformasi binomial.) Definisi yang lebih ketat dari persamaan perbedaan adalah persamaan yang terdiri dari an dan itu kth perbedaan. (Definisi yang lebih luas digunakan secara luas memperlakukan "persamaan perbedaan" sebagai sinonim dengan "hubungan rekurensi". Lihat contoh persamaan perbedaan rasional dan persamaan perbedaan matriks)
Sebenarnya, mudah dilihat bahwa,
Dengan demikian, persamaan perbedaan dapat didefinisikan sebagai persamaan yang melibatkan an, an-1, an-2 dll. (atau dengan kata lain an, an+1, an+2 dll.)
Karena persamaan perbedaan adalah bentuk pengulangan yang sangat umum, beberapa penulis menggunakan kedua istilah tersebut secara bergantian. Misalnya persamaan selisih
setara dengan hubungan perulangan
Dengan demikian seseorang dapat menyelesaikan banyak relasi perulangan dengan menyusunnya kembali sebagai persamaan perbedaan, dan kemudian menyelesaikan persamaan perbedaan, analog dengan bagaimana seseorang memecahkan persamaan diferensial biasa. Namun, bilangan Ackermann adalah contoh relasi perulangan yang tidak memetakan ke persamaan diferensial, apalagi titik pada solusi persamaan diferensial.
Lihat kalkulus skala waktu untuk penyatuan teori persamaan perbedaan dengan persamaan diferensial.
Persamaan penjumlahan s berhubungan dengan persamaan perbedaan karena persamaan integral berhubungan dengan persamaan diferensial.
Dari urutan ke kisi
[sunting | sunting sumber]Hubungan pengulangan variabel tunggal atau satu dimensi adalah tentang urutan (yaitu fungsi yang ditentukan pada kisi satu dimensi). Relasi pengulangan multi-variabel atau n-dimensi adalah tentang kisi berdimensi-n. Fungsi yang ditentukan pada n-grid juga dapat dipelajari dengan persamaan perbedaan parsial.[3]
Stabilitas
[sunting | sunting sumber]Stabilitas pengulangan tingkat tinggi linier
[sunting | sunting sumber]Pengulangan linear order d,
memiliki persamaan karakteristik
Pengulangannya adalah stabil, yang berarti bahwa iterasi menyatu secara asimtotik ke nilai tetap, jika dan hanya jika nilai eigen (yaitu, akar dari persamaan karakteristik), baik nyata maupun kompleks, semuanya kurang dari kesatuan dalam nilai absolut.
Stabilitas pengulangan matriks orde pertama linear
[sunting | sunting sumber]Dalam persamaan perbedaan matriks orde pertama
dengan vektor keadaan x dan matriks transisi A , x menyatu secara asimtotik ke vektor keadaan mapan x * jika dan hanya jika semua nilai eigen dari matriks transisi A (apakah nyata atau kompleks) memiliki nilai absolut yang kurang dari 1.)
Hubungan dengan persamaan diferensial
[sunting | sunting sumber]Saat menyelesaikan sebuah persamaan diferensial biasa secara numerik, seseorang biasanya menemukan relasi perulangan. Misalnya, saat memecahkan masalah nilai awal
dengan metode Euler dan ukuran langkah h , seseorang menghitung nilainya
oleh nilai
Sistem persamaan diferensial orde pertama linier dapat didiskritisasi secara analitis menggunakan metode yang ditunjukkan dalam artikel diskritisasi.
Lihat pula
[sunting | sunting sumber]- Urutan Holonomis
- Fungsi berulang
- Polinomial ortogonal
- Rekursi
- Rekursi (ilmu komputer)
- Generator Fibonacci Tertinggal
- Master teorema (analisis algoritma)
- Lingkaran titik segmen bukti
- Pecahan berlanjut
- Kalkulus skala waktu
- Prinsip kombinatorial
- Respon impuls tak hingga
- Integrasi dengan rumus pengurangan
- Induksi matematika
Catatan
[sunting | sunting sumber]- ^ Lipschutz, Seymour; Lipson, Marc (2008). Matematika Diskret. Diterjemahkan oleh Dr. Thombi Layukallo. Jakarta: Erlangga.
- ^ Jacobson, Nathan , Basic Algebra 2 (2nd ed.), § 0.4. pg 16.
- ^ Partial difference equations, Sui Sun Cheng, CRC Press, 2003, ISBN 978-0-415-29884-1
Referensi
[sunting | sunting sumber]- Batchelder, Paul M. (1967). An introduction to linear difference equations. Dover Publications.
- Miller, Kenneth S. (1968). Linear difference equations. W. A. Benjamin.
- Fillmore, Jay P.; Marx, Morris L. (1968). "Linear recursive sequences". SIAM Rev. 10 (3). hlm. 324–353. JSTOR 2027658.
- Brousseau, Alfred (1971). Linear Recursion and Fibonacci Sequences. Fibonacci Association.
- Thomas H. Cormen, Charles E. Leiserson, Ronald L. Rivest, and Clifford Stein. Introduction to Algorithms, Second Edition. MIT Press and McGraw-Hill, 1990. ISBN 0-262-03293-7. Chapter 4: Recurrences, pp. 62–90.
- Graham, Ronald L.; Knuth, Donald E.; Patashnik, Oren (1994). Concrete Mathematics: A Foundation for Computer Science (edisi ke-2). Addison-Wesley. ISBN 0-201-55802-5.
- Enders, Walter (2010). Applied Econometric Times Series (edisi ke-3). Diarsipkan dari versi asli tanggal 2014-11-10.
- Cull, Paul; Flahive, Mary; Robson, Robbie (2005). Difference Equations: From Rabbits to Chaos. Springer. ISBN 0-387-23234-6. chapter 7.
- Jacques, Ian (2006). Mathematics for Economics and Business
(edisi ke-Fifth). Prentice Hall. hlm. 551–568. ISBN 0-273-70195-9. Chapter 9.1: Difference Equations.
- Minh, Tang; Van To, Tan (2006). "Using generating functions to solve linear inhomogeneous recurrence equations" (PDF). Proc. Int. Conf. Simulation, Modelling and Optimization, SMO'06. hlm. 399–404. Diarsipkan dari versi asli (PDF) tanggal 2016-03-04. Diakses tanggal 2020-10-21.
- Polyanin, Andrei D. "Difference and Functional Equations: Exact Solutions". at EqWorld - The World of Mathematical Equations.
- Polyanin, Andrei D. "Difference and Functional Equations: Methods". at EqWorld - The World of Mathematical Equations.
- Wang, Xiang-Sheng; Wong, Roderick (2012). "Asymptotics of orthogonal polynomials via recurrence relations". Anal. Appl. 10 (2): 215–235. arXiv:1101.4371
. doi:10.1142/S0219530512500108.
Pranala luar
[sunting | sunting sumber]- Hazewinkel, Michiel, ed. (2001) [1994], "Recurrence relation", Encyclopedia of Mathematics, Springer Science+Business Media B.V. / Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1-55608-010-4
- (Inggris) Weisstein, Eric W. "Recurrence Equation". MathWorld.
- "OEIS Index Rec". OEIS index to a few thousand examples of linear recurrences, sorted by order (number of terms) and signature (vector of values of the constant coefficients)