Teorema Apollonius
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/5/56/Apollonius%27_theorem.svg/220px-Apollonius%27_theorem.svg.png)
Dalam geometri, teorema Apollonius adalah suatu teorema yang mengaitkan panjang garis berat pada segitiga dengan panjang sisi-sisinya. Teorema ini menyatakan bahwa "jumlah kuadrat dari dua sisi segitiga sama dengan dua kali dari kuadrat setengah sisi ketiga, digabung dengan dua kali dari kuadrat garis berat yang membagi sisi ketiga". Secara lebih formal, untuk suatu segitiga , jika merupakan sebuah garis berat, maka
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/18/Appolonius_theorem.svg/220px-Appolonius_theorem.svg.png)
Teorema ini adalah sebuah kasus khusus dari teorema Stewart. Untuk segitiga sama kaki dengan , garis berat akan tegak lurus dengan , sehingga teorema tereduksi menjadi teorema Pythagoras untuk segitiga (atau segitiga ). Dari fakta bahwa diagonal-diagonal jajar genjang membagi satu sama lain, teorema Apollonius setara dengan hukum jajar genjang.
Teorema ini dinamai dari nama seorang matematikawan Yunani, Apollonius dari Perga.
Bukti
[sunting | sunting sumber]![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/1e/ApolloniusTheoremProof.svg/220px-ApolloniusTheoremProof.svg.png)
Teorema Apollonius dapat dibuktikan sebagai sebuah kasus khusus dari teorema Stewart, atau dapat dibuktikan menggunakan vektor (lihat hukum jajaran genjang). Berikut ini adalah bukti dengan menggunakan hukum kosinus.[1]
Misalkan segitiga memiliki sisi , dengan sebuah garis berat digambar ke sisi . Misalkan menjadi panjang dari segmen yang dibentuk oleh garis berat, jadi besar adalah setengah dari . Misalkan pula sudut dibentuk di antara dan adalah dan , dengan menghadap ke sisi dan menghadap ke sisi . Sudut adalah sudut penggenap dari , (yakni, ) sehingga . Hukum kosinus untuk dan menyatakan bahwa
Menggabungkan persamaan yang ke pertama dan yang ketiga akan menghasilkan
yakni teorema Apollonius itu sendiri.
Referensi
[sunting | sunting sumber]- ^ Godfrey, Charles; Siddons, Arthur Warry (1908). Modern Geometry. University Press. hlm. 20.
Pranala luar
[sunting | sunting sumber]- Apollonius Theorem di PlanetMath.
- David B. Surowski: Advanced High-School Mathematics. hlm. 27