Topologi Zariski

Pada topologi Zariski di planar affine, graf ini merupakan polinomial tertutup.

Dalam geometri aljabar dan Aljabar komutatif, topologi Zariski adalah topologi yang dimana adalah utamanya didefinisi dengan set tertutup. Topologi ini sangat berbeda dari topologi-topologi yang digunakan dalam Analisis Real atau Analisis Kompleks; secara khususnya adalah bukan Hausdorff. Topologi ini dikenalkan secara utama oleh Oscar Zariski dan kemudian diumumkan untuk membuat set ideal prima dari cincin komutatif ruang topologi, dipanggil spektrum dari sebuah cincin.

Topologi Zariski membolehkan peralatan dari topologi untuk digunakan dalam mempelajari varietas aljabar, meskipun saat mendasari bidang yang tidak dibolehkan dala bidang topologi. Hal ini merupakan salah satu dari ide-ide dasar dari teori skema, dimana dibolehkan salah satu untuk membangun varietas aljabar umum dengan menempelkan bersama dari varietas affine dengan cara yang sama terhadap teori lipatan, dimana lipatan dibangun dari penempelan bersama dari bagan topologi, dimana subset atau himpunan bagian dari ruang affine riil.

Topologi Zariski dari varietas aljabar dari topologi yang dimana set tertutup juga varietas dari set aljabar.Dimana dalam sebuah kasus dari varietas aljabar lebih dari angka kompleks, topologi Zariski juga bagian kasar dari topologi yang biasa, seperti tiap set aljabar itu juga tertutup dari topologi yang biasa.

Generalisasi dari topologi Zariski terhadap set dari prima ideal atas cincin komutatif mengikuti dari Nullstellensatz milik Hilbert, yang membentuk korespondensi bijektif antara titik-titik dari sebuah varietas affine yang didefinisikan dari medan tertutup aljabar dan ideal maksimal dari sebuah cincin dari fungsi regulernya. Hal ini mensugestikan dengan mendefinisikan topologi Zariski pada set dari ideal maksimal dari cincin komutatif sebagai topologi yang sedimikian rupa hingga semua ideal maksimal tertutup jika dan hanya jika itu menjadi set dari semua ideal maksimal yang terdiri dari ideal yang diberikan. Ide utama yang lain dari teori skema Grothedieck adalah dengan mempertimbangkan poin, tidak hanya poin biasa yang sesuai dengan ideal maksimalnya, tetapi juga semua (tak dapat direduksi) dari varietas aljabarnya, dimana sesuai dengan ideal primanya. Hingga, topologi Zariski pada set ideal prima (spektrum) dari sebuah cincin komutatif adalah topologi yang sedemikian rupa hingga ideal primanya tertutup jika dan hanya jika itu menjadi set dari semua ideal primanya yang terdiri dalam ideal yang tetap.

Varietas dari Topologi Zariski

Pada geometri aljabar klasik (yaitu, pada bagian geometri aljabar dimana tidak menggunakan skema, dimana dikenalkan oleh Grothendieck sekitar tahun 1960), topologi Zariski didefinisikan pada varietas aljabar. Topologi Zariski, didefenisikan pada poin dari varietasnya, yang mana topologi adalah bagian dari set tertutup yang ada pada set aljabar dari varietasnya. Seperti pada kebanyakan varietas aljabar dasar yang bervariasi affine dan varietas projektif, ini berguna unutk membuat definisi ini menjadi lebih eksplisit pada kasus keduanya. Kita mengasumsikan bahwa kita bekerja pada medan aljabar tertutup yang tetap, k (dalam geometri klasik k sering sama pada angka kompleks).

Varietas Affine

Pertama, kita definisikan topologi pada ruang affine $\mathbb {A} ^{n},$ dibentuk oleh Ntupel dari elemen k. Topologi didefenisikan dengan menspesifikasi set tertutupnya, daripada set terbukanya, dan ini dapat diambil dengan semua set aljabarnya dalam $\mathbb {A} ^{n}.$ Itu, adalah set tertutup dari bentuk

$$V(S)=\{x\in \mathbb {A} ^{n}\mid f(x)=0,\forall f\in S\}$$

dimana S adalah tiap set dari polinomial dalam variabel n atas k. Ini juga adalah verifikasi langsung untuk menunjukkan bahwa:

• V(S) = V((S)), dimana (S) adalah ideal (teori cincin) yang dibuat oleh elemen dari S;
• Untuk dua polinomial ideal I, J, kita mempunyai
  1. $V(I)\cup V(J)\,=\,V(IJ);$
  2. $V(I)\cap V(J)\,=\,V(I+J).$

Hal ini mengikuti bahwa gabungan terbatas dan persimpangan sewenang-wenang dari set V(S) juga bagian dari bentuk ini, jadi set-set ini membentuk set tertutup dari sebuah topologi (sama seperti, komplemennya mereka, dilambangkan D(S) dan dipanggil prinsip set terbuka, bentuk dari topologi itu sendiri). Ini adalah topologi Zariski dalam $\mathbb {A} ^{n}.$

Jika X adalah set aljabar affine (bisa direduksi atau tidak) maka topologi Zarsik dalam definisinya cukup menjadi topologi subspace yang diinduksi oleh penyertaan menjadi beberapa $\mathbb {A} ^{n}.$ Sama saja, bisa dicek dengan:

• Elemen-elemen dari koordinat cincin affine
  $$A(X)\,=\,k[x_{1},\dots ,x_{n}]/I(X)$$
  berfungsi sebagai fungsi dalam X sama seperti pada elemen dari $k[x_{1},\dots ,x_{n}]$ yang berfungsi sebagai fungsi dalam $\mathbb {A} ^{n}$; disini, I(X) adalah bentuk ideal dari semua polinomial yang hilang dalam X.
• Untuk tiap set dari polinomial S, biarkan T menjadi set dari gambaran pada A(X). Kemudian, subset dari X
  $$V'(T)=\{x\in X\mid f(x)=0,\forall f\in T\}$$
  (notasi ini tidak standar) adalah sama dengan persimpangan oleh X dari V(S).

Ini mendirikan bahwa persamaan diata, jelas bisa menggeneralisasi dari sebuah definisi dari set tertutup pada $\mathbb {A} ^{n}$ diatas, mendefinisikan topologi Zariski pada varietas affine apa saja.

Varietas Projektif

Mengingat bahwa ruang projektif n-dimensional $\mathbb {P} ^{n}$ didefinisikan menjadi set dari kelas-kelas yang sama dari poin selain nol pada $\mathbb {A} ^{n+1}$ dengan mengidentifikasi dua poin yang berbeda dengan kelipatan skalar di k. Elemen-elemen dari cincin polinomial $k[x_{0},\dots ,x_{n}]$ adalah bukan fungsi pada $\mathbb {P} ^{n}$ karena tiap poin harus memiliki banyak perwakilan yang menghasilkan nilai berbeda dalam sebuah polinomial; namun, untuk polinomial homogen kondisi dari memiliki nilai nol atau tidak dalam poin projektif yang diberikan adalah sejak faktor kelipatan skalar diluar dari polinomial. Maka dari itu, jika S adalah tiap set dari polinomial homogen kita bisa beralasan untuk berbicara tentang

$V(S)=\{x\in \mathbb {P} ^{n}\mid f(x)=0,\forall f\in S\}.$

Fakta-fakta yang sama diatas mungkin untuk membentuk set-set ini, kecuali kata "ideal" yang harus diganti oleh kata "homogen ideal", jadi V(S), untuk set S dari polinomial homogen, mendefinisikan sebuah topologi dalam $\mathbb {P} ^{n}.$ Diatas sebagai komplemen dari set-set ini yang dilambangkan oleh D(S), atau, jika membingungkan biasanya untuk dihasilkan, D′(S).

Topologi Zariski Projektif didefinisikan untuk set aljabar projektif hanya sebagai affine satu yang didefinisikan untuk set-set aljabar afine, dengan mengambil topologi ruang dalam. Miripnya mungkin bahwa topologi ini didefinisikan secara intrinsik oleh set-set elemen dari koordinat cincin projektif, dengan formula yang sama seperti diatas.

Sifat-sifat

Sifat terpenting dari topologi-topologi Zariski adalah mereka memiliki dasar (topologi) yang terdiri dari elemen-elemen sederhana, dinamakan D(f) untuk tiap polinomial secara individu (atau untuk varietas projektif, polinomial homogen) f. Bahwa bentuk-bentuk ini adalah dasar yang mengikuti dari formula untuk persimpangan dari dua set tertutup Zariski yang diberikan diatas (massukan secara berulang-ulang pada prinsip ideal yang dihasilkan oleh (S)). Set terbuka pada dasar disebut terkenal atau dasar dari set terbuka. Pentingnya dari sifat ini menghasilkan khususnya kegunaan yang didefinisikan dari sebuah skema affine.

Oleh teorema dasar Hilbert dan beberapa sifat-sifat dasar dari cincin Noetherian, setiap affine atau cincin koordinat projektif adalah Noetherian. Sebagai konsekuensinya, affine atau ruang projektif dengan topologi Zariski adalah ruang topologi Noetherian, yang menyiratkan bahwa tiap set dalam yang tertutup pada ruang-ruang ini adalah ruang padat

Namun, kecuali pada set-set aljabar terbatas, tidak ada set aljabar yang ruang Hausdorff. Dalam literatur lama topologi "padat" diambil untuk memasukan sifat Hausdorff, dan cara konvensional ini masih dihormati dalam geometri aljabar; maka kepadatan pada arti modern adalah "kepadatan semu" dalam geometri aljabar. Namun, sejak semua poin (a₁, ..., a_n) adalah set nol dari polinomial-polinomial x₁ - a₁, ..., x_n - a_n, poin-poin ini adalah tertutup dan tiap varietas memenuhi dari aksioma T₁.

Tiap peta biasa (geometri aljabar) dari varietas adalah fungi kontinyu (topologi) pada topologi Zariski. Faktanya, topologi Zariski adalah topologi terlemah (dengan set-set terbuka paling sedikit) yang dimana hal ini adalah benar dan dimana poin-poin tertutup. Ini jelas mudah diperiksa dengan mencatat bahwa set tertutup Zariski adalah persimpangan mudah dari gambaran invers dari 0 oleh fungsi polinomial, termasuk sebagai peta reguler menuju $\mathbb {A} ^{1}.$

Spektrum Cincin

Dalam geometri aljabar modern, sebuah varietas aljabar sering direpresentasikan oleh skema yang disertainya, dimana adalah sebuah ruang topologi (dilengkapi dengan struktur tambahan) yang hal itu homeomorfik lokal pada spektrum cincin sebuah spektrum cincin komutatif A, dilambangkan Spec A, adalah sebuah set ideal prima dari A, dilengkapi dengan Topologi Zariski, untuk dimana set-set tertutupnya adalah setnya.

$V(I)=\{P\in \operatorname {Spec} A\mid P\supseteq I\}$

dimanaI adalah ideal.

Untuk melihat hubungan gambaran klasik, ingat bahwa untuk tiap set S dari polinomial (dari aljabar medan tertutup), itu mengikuti Nullstellensatz Hilbert dari titik-titik dari V(S) (dari bentuk klasik) adalah sama dengan tupel (a₁, ..., a_n) hingga membuat ideal oleh polinomial x₁ - a₁, ..., x_n - a_n mengandung S; terlebih lagi, ini adalah ideal maksimal dan oleh Nullstellensatz "lemah", sebuah ideal dari koordinat cincin affine adalah sebuah bentuk maksimal jika dan hanya jika hal itu adalah dari bentuk ini. Maka, V(S) adalah "sama" ideal maksimal mengandung S. Inovasi Grothendieck dalam mendefinisikan Spek adalah mengganti ideal maksimal dengan semua ideal prima; dalam formulasi ini, secara natural untuk menggeneralisasi dalam observasi ini untuk mendefinisikan dalam set tertutup pada spektrum cincin.

Jalan lain, kemungkinan sama pada yang aslinya, untuk menginterpretasi dari definisi untuk sadar bahwa elemen-elemen A bisa dipikirkan sebagai fungsi-fungsi dari ideal-ideal prima dari A; dinamai, sebagai fungsi-fungsi dalam Spec A. Sederhananya, tiap ideal prima P memiliki korespondensi medan residu, dimana dari medan pembagian dari hasil bagi A/P. dan tiap elemen dari A memmiliki refleksi pada medan residu ini. Terlebih lagi, elemen-elemen

Referensi

• Dummit, D. S.; Foote, R. (2004). Abstract Algebra (edisi ke-3). Wiley. hlm. 71–72. ISBN 9780471433347. 
• Hartshorne, Robin (1977), Algebraic Geometry, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90244-9, MR 0463157, OCLC 13348052 
• Hulek, Klaus (2003). Elementary Algebraic Geometry. AMS. ISBN 978-0-8218-2952-3. 
• Mumford, David (1999) [1967]. The Red Book of Varieties and Schemes. Lecture Notes in Mathematics. 1358 (edisi ke-expanded, Includes Michigan Lectures (1974) on Curves and their Jacobians). Berlin, New York: Springer-Verlag. doi:10.1007/b62130. ISBN 978-3-540-63293-1. MR 1748380. 
• (Inggris) Todd Rowland. "Zariski Topology". MathWorld.