Bilangan rasional: Perbedaan antara revisi

Konten dihapus Konten ditambahkan

Sebaris

Revisi terkini sejak 9 Juni 2024 23.53

Himpunan bilangan rasional terdiri dari himpunan bilangan bulat.

Bilangan rasional (bahasa Inggris: rational number) adalah bilangan yang dapat dinyatakan sebagai perbandingan dua bilangan bulat $a$ dan $b$ , dengan syarat $b$ tidak boleh sama dengan 0. Himpunan bilangan rasional dapat dilambangkan sebagai $\mathbb {Q}$ ^[1], yang berasal dari kata bahasa Jerman, quotient, yang diterjemahkan sebagai "rasio".^[2] Sebagai contoh, ${\textstyle {\frac {1}{2}}}$ adalah bilangan rasional, sedangkan ${\sqrt {5}}$ dan $\pi$ bukan. Untuk himpunan bilangan rasional dapat kita rumuskan

\mathbb {Q} =\left\{\left.{\frac {a}{b}}\right|a,b,\in \mathbb {Z} ,b\neq 0\right\}

.

Dengan memisalkan penyebut adalah satu dan pembilang adalah bilangan bulat sembarang, maka bentuknya dapat dinyatakan sebagai bilangan bulat sembarang. Akibatnya, semua bilangan bulat yang merupakan bilangan rasional, menjadi himpunan bilangan bulat.^[3]

Dalam teori himpunan, himpunan bilangan rasional adalah subhimpunan dari himpunan bilangan real, yang berarti himpunan bilangan real terdiri dari himpunan bilangan rasional.^[4] Himpunan bilangan rasional memiliki himpunan-himpunan lainnya, salah satunya adalah himpunan bilangan bulat.^[5]

Notasi himpunan

Beragam notasi himpunan rasional $\mathbb {Q}$ , yakni himpunan bilangan rasional positif, dilambangkan sebagai $\mathbb {Q} _{+}$ dan bilangan rasional negatif sebagai $\mathbb {Q} _{-}$ ^[6]. Beberapa notasi lain yang berkaitan dengan notasi himpunan bilangan rasional, yaitu bilangan aljabar, yang dinotasikan dengan lambang ${\overline {\mathbb {Q} }}$ ^[7], medan bilangan p-adik, dinotasikan $\mathbb {Q} _{p}$ .^[1]

Selain berbagai notasi himpunan bilangan rasional di atas, notasi himpunan rasional, yaitu $\mathbb {Q}$ , juga memiliki kaitan dengan $\mathbb {R}$ , himpunan bilangan real, yaitu penulisan pada himpunan bilangan irasional yang dinotasikan sebagai $\mathbb {R} \setminus \mathbb {Q}$ .^[1]

Sifat aljabar

Berikut adalah sifat-sifat bilangan rasional, antara lain sebagai berikut.

	Penambahan	Perkalian
Ketertutupan	${\frac {a}{b}}+{\frac {c}{d}}$ adalah bilangan rasional^[8]	${\frac {a}{b}}\cdot {\frac {c}{d}}$ adalah bilangan rasional^[8]
Asosiatif	$\left({\frac {a}{b}}+{\frac {c}{d}}\right)+{\frac {p}{q}}={\frac {a}{b}}+\left({\frac {c}{d}}+{\frac {p}{q}}\right)$ ^[8]	$a\times (b\times c)=(a\times b)\times c$ ^[8]
Komutatif	${\frac {a}{b}}+{\frac {c}{d}}={\frac {c}{d}}+{\frac {a}{b}}$ ^[8]	${\frac {a}{b}}\cdot {\frac {c}{d}}={\frac {d}{c}}\cdot {\frac {a}{b}}$ ^[8]
Elemen identitas	${\frac {a}{b}}+{\frac {0}{1}}={\frac {a}{b}}$ ^[8]	${\frac {a}{b}}\cdot {\frac {1}{1}}={\frac {a}{b}}$ ^[8]
Elemen invers	${\frac {a}{b}}+\left(-{\frac {a}{b}}\right)=0$ ^[8]	${\frac {a}{b}}\cdot {\frac {b}{a}}=1$ ^[8]
Distributif	${\frac {a}{b}}\cdot \left({\frac {c}{d}}+{\frac {p}{q}}\right)={\frac {a}{b}}\cdot {\frac {c}{d}}+{\frac {a}{b}}\cdot {\frac {p}{q}}$ ^[8]

Pecahan tak tersederhanakan

Meskipun demikian, bilangan rasional dapat berupa pecahan tak tersederhanakan, dengan setiap pembilang dan penyebut tidak dapat disederhanakan lagi. Sebagai contoh, ${\textstyle {\frac {3}{8}}}$ adalah salah satu contoh pecahan yang tidak dapat disederhanakan lagi karena $3$ bukan merupakan faktor dari $8$ .

Lihat juga

Referensi

^ ^a ^b ^c "Comprehensive List of Algebra Symbols | Math Vault" (dalam bahasa Inggris). 2020-03-25EDT16:23:50-04:00. Diakses tanggal 2021-11-14.
^ Weisstein, Eric W. "Rational Number". mathworld.wolfram.com (dalam bahasa Inggris). Diakses tanggal 2021-11-16.
^ Jusmawati, S.Pd, M.Pd, Bilangan Rasional, hlm. 6.
^ "Number Systems: Naturals, Integers, Rationals, Irrationals, Reals, and Beyond". www.varsitytutors.com. Diakses tanggal 2021-11-16.
^ "Intermediate Algebra, Tutorial 3: Sets of Numbers". www.wtamu.edu. Diakses tanggal 2021-11-15.
^ "Set of Rational Numbers | Lexique de mathématique" (dalam bahasa Inggris). 2018-10-12. Diakses tanggal 2021-11-16.
^ Weisstein, Eric W. "Algebraic Number". mathworld.wolfram.com (dalam bahasa Inggris). Diakses tanggal 2021-11-14.
^ ^a ^b ^c ^d ^e ^f ^g ^h ⁱ ^j ^k Bilangan Rasional dan Desimal, hlm. 4–5.

Artikel bertopik matematika ini adalah sebuah rintisan. Anda dapat membantu Wikipedia dengan mengembangkannya.

[:1-1] "Comprehensive List of Algebra Symbols | Math Vault" (dalam bahasa Inggris). 2020-03-25EDT16:23:50-04:00. Diakses tanggal 2021-11-14.

[2] Weisstein, Eric W. "Rational Number". mathworld.wolfram.com (dalam bahasa Inggris). Diakses tanggal 2021-11-16.

[3] Jusmawati, S.Pd, M.Pd, Bilangan Rasional, hlm. 6.

[4] "Number Systems: Naturals, Integers, Rationals, Irrationals, Reals, and Beyond". www.varsitytutors.com. Diakses tanggal 2021-11-16.

[:6-5] "Intermediate Algebra, Tutorial 3: Sets of Numbers". www.wtamu.edu. Diakses tanggal 2021-11-15.

[6] "Set of Rational Numbers | Lexique de mathématique" (dalam bahasa Inggris). 2018-10-12. Diakses tanggal 2021-11-16.

[7] Weisstein, Eric W. "Algebraic Number". mathworld.wolfram.com (dalam bahasa Inggris). Diakses tanggal 2021-11-14.

[:0-8] ^ ^a ^b ^c ^d ^e ^f ^g ^h ⁱ ^j ^k Bilangan Rasional dan Desimal, hlm. 4–5.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

@@ Baris 1: / Baris 1: @@
-{{Under construction}}
 [[Berkas:Number-systems.svg|jmpl|300x300px|Himpunan bilangan rasional terdiri dari himpunan [[bilangan bulat]].]]
-'''Bilangan rasional''' ({{Lang-en|Rational number}}) adalah [[bilangan]] yang dapat dinyatakan sebagai perbandingan dua bilangan bulat <math>a</math> dan <math>b</math>, dengan <math>b \ne 0</math>. Himpunan bilangan rasional dapat dilambangkan sebagai <math>\Q</math>. Untuk himpunan bilangan rasional dapat kita rumuskan
+'''Bilangan rasional''' ({{Lang-en|rational number}}) adalah [[bilangan]] yang dapat dinyatakan sebagai perbandingan dua [[bilangan bulat]] <math>a</math> dan <math>b</math>, dengan syarat <math>b</math> tidak boleh sama dengan 0. Himpunan bilangan rasional dapat dilambangkan sebagai <math>\Q</math><ref name=":1"/>, yang berasal dari kata [[bahasa Jerman]], ''quotient'', yang diterjemahkan sebagai "rasio".<ref>{{Cite web|last=Weisstein|first=Eric W.|title=Rational Number|url=https://mathworld.wolfram.com/RationalNumber.html|website=mathworld.wolfram.com|language=en|access-date=2021-11-16}}</ref> Sebagai contoh, <math display="inline">\frac{1}{2}</math> adalah bilangan rasional, sedangkan <math>\sqrt{5}</math> dan <math>\pi</math> bukan. Untuk himpunan bilangan rasional dapat kita rumuskan
 :<math>\Q = \left\{\left.\frac{a}{b} \right| a,b, \in \Z, b \ne 0 \right\}</math>.
-Dengan memisalkan <math>b = 1</math> dan <math>a \in \Z</math>, maka bentuknya dapat dinyatakan sebagai <math>\frac{a}{1}</math>. Akibatnya, semua bilangan bulat merupakan bilangan rasional, maka himpunan bilangan bulat.
+Dengan memisalkan penyebut adalah satu dan pembilang adalah [[bilangan bulat]] sembarang, maka bentuknya dapat dinyatakan sebagai bilangan bulat sembarang. Akibatnya, semua bilangan bulat yang merupakan bilangan rasional, menjadi himpunan bilangan bulat.<ref>Jusmawati, S.Pd, M.Pd, [https://osf.io/25c8k/download/?format=pdf ''Bilangan Rasional''], hlm. 6.</ref>
+Dalam [[teori himpunan]], himpunan bilangan rasional adalah [[subhimpunan]] dari himpunan [[bilangan real]], yang berarti himpunan bilangan real terdiri dari himpunan bilangan rasional.<ref>{{Cite web|title=Number Systems: Naturals, Integers, Rationals, Irrationals, Reals, and Beyond|url=https://www.varsitytutors.com/hotmath/hotmath_help/topics/number-systems|website=www.varsitytutors.com|access-date=2021-11-16}}</ref> Himpunan bilangan rasional memiliki himpunan-himpunan lainnya, salah satunya adalah himpunan [[bilangan bulat]].<ref name=":6">{{Cite web|title=Intermediate Algebra, Tutorial 3: Sets of Numbers|url=https://www.wtamu.edu/academic/anns/mps/math/mathlab/int_algebra/int_alg_tut3_sets.htm|website=www.wtamu.edu|access-date=2021-11-15}}</ref>
-:<math>\Z \sub \Q</math>.<ref>Jusmawati, S.Pd, M.Pd, [https://osf.io/25c8k/download/?format=pdf ''Bilangan Rasional''], hlm. 6.</ref>
-== Sejarah ==
+== Notasi himpunan ==
+[[Berkas:Irrationnels.png|jmpl|Bilangan Rasional]]
+Beragam notasi himpunan rasional <math>\Q</math>, yakni himpunan bilangan rasional positif, dilambangkan sebagai <math>\Q_+</math> dan bilangan rasional negatif sebagai <math>\Q_-</math><ref>{{Cite web|date=2018-10-12|title=Set of Rational Numbers {{!}} Lexique de mathématique|url=https://lexique.netmath.ca/en/set-of-rational-numbers/|language=en-US|access-date=2021-11-16}}</ref>. Beberapa notasi lain yang berkaitan dengan notasi himpunan bilangan rasional, yaitu [[bilangan aljabar]], yang dinotasikan dengan lambang <math>\overline{\Q}</math><ref>{{Cite web|last=Weisstein|first=Eric W.|title=Algebraic Number|url=https://mathworld.wolfram.com/AlgebraicNumber.html|website=mathworld.wolfram.com|language=en|access-date=2021-11-14}}</ref>, [[Bilangan p-adik|medan bilangan ''p''-adik]], dinotasikan <math>\Q_p</math>.<ref name=":1">{{Cite web|date=2020-03-25EDT16:23:50-04:00|title=Comprehensive List of Algebra Symbols {{!}} Math Vault|url=https://mathvault.ca/hub/higher-math/math-symbols/algebra-symbols/|language=en-US|access-date=2021-11-14}}</ref>
+Selain berbagai notasi himpunan bilangan rasional di atas, notasi himpunan rasional, yaitu <math>\Q</math>, juga memiliki kaitan dengan <math>\R</math>, himpunan bilangan real, yaitu penulisan pada himpunan [[bilangan irasional]] yang dinotasikan sebagai <math>\R \setminus \Q</math>.<ref name=":1" />
-== Representasi bilangan desimal ==
-Bilangan rasional merupakan bilangan desimal yang berulang atau berhenti. Sebagai contoh, <math>\frac{1}{2}</math> merupakan bilangan rasional. Kita dapat mengkonversinya dalam bentuk desimal, yaitu <math>0.5</math>. Bilangan lain, seperti <math>\frac{1}{3}</math> merupakan bilangan rasional dapat dikonversi dalam bentuk desimal <math>0.333\dots</math> atau <math>0.\bar{3}</math>. Representasi desimal <math>\frac{a}{b}</math> dapat dikatakan berhenti jika dan hanya jika terdapat bilangan asli <math>n</math> dan <math>c_i \in \{0,\dots,9\}</math>, dengan <math>c_n \ne 0</math> sehingga
+== Sifat aljabar ==
-:<math>\frac{a}{b} = 0.c_1c_2c_3\dots c_n 000</math>.
+Berikut adalah sifat-sifat bilangan rasional, antara lain sebagai berikut.
+{| class="wikitable" style="text-align:center; margin:1em auto 1em auto;"
+|
+|'''Penambahan'''
+|'''Perkalian'''
+|-
+|[[Ketertutupan (matematika)|Ketertutupan]]
+|<math>\frac{a}{b} + \frac{c}{d}</math> adalah bilangan rasional<ref name=":0">[https://pdfcoffee.com/makalah-bilangan-rasional-dan-desimal-pdf-free.html Bilangan Rasional dan Desimal], hlm. 4–5.</ref>
+|<math>\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d}</math> adalah bilangan rasional<ref name=":0" />
+|-
+|[[Asosiatif]]
+|<math>\left(\frac{a}{b} + \frac{c}{d}\right) + \frac{p}{q} = \frac{a}{b} + \left(\frac{c}{d} + \frac{p}{q}\right)</math><ref name=":0" />
+|<math>a\times (b\times c) = (a\times b) \times c</math><ref name=":0" />
+|-
+|[[Komutatif]]
+|<math>\frac{a}{b} + \frac{c}{d} = \frac{c}{d} + \frac{a}{b}</math><ref name=":0" />
+|<math>\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{d}{c} \cdot \frac{a}{b}</math><ref name=":0" />
+|-
+|Elemen identitas
+|<math>\frac{a}{b} + \frac{0}{1} = \frac{a}{b}</math><ref name=":0" />
+|<math>\frac{a}{b} \cdot \frac{1}{1} = \frac{a}{b}</math><ref name=":0" />
+|-
+|Elemen invers
+|<math>\frac{a}{b} + \left(-\frac{a}{b}\right) = 0</math><ref name=":0" />
+|<math>\frac{a}{b} \cdot \frac{b}{a} = 1</math><ref name=":0" />
+|-
+|[[Distributif]]
+| colspan="2" align="center" |<math>\frac{a}{b} \cdot \left(\frac{c}{d} + \frac{p}{q}\right) = \frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} + \frac{a}{b} \cdot \frac{p}{q}</math><ref name=":0" />
+|}
+== Pecahan tak tersederhanakan ==
-Sedangkan, representasi desimal <math>\frac{a}{b}</math> dapat dikatakan berulang jika dan hanya jika terdapat bilangan asli <math>n</math> dan <math>N</math> sehingga
+{{Main|Pecahan tak tersederhanakan}}
+Meskipun demikian, bilangan rasional dapat berupa [[pecahan taktereduksi|pecahan tak tersederhanakan]], dengan setiap pembilang dan penyebut tidak dapat disederhanakan lagi. Sebagai contoh, <math display="inline">\frac{3}{8}</math> adalah salah satu contoh pecahan yang tidak dapat disederhanakan lagi karena <math>3</math> bukan merupakan faktor dari <math>8</math>.
-:<math>\frac{a}{b} = 0.c_1\dots c_N c_{N+1} \dots c_{N+b} c_{N+b+1}\dots</math>.<ref>Moh. Affaf, [http://download.garuda.ristekdikti.go.id/article.php?article=1473311&val=10401&title=DESIMAL%20BERULANG%20UNTUK%20SUATU%20NUMERATOR Desimal Berulang Untuk Suatu Numerator], hlm. 20.</ref>
-=== Teorema Midy ===
-{{Main article|Teorema Midy}}
-Teorema Midy, dinamai dari E. Midy, adalah pernyataan mengenai [[Representasi desimal|ekspansi desimal]] berulang (dengan periode [[Bilangan genap|genap]]) dari [[pecahan]] <math>\frac{a}{p}</math>, dimana <math>a</math> adalah bilangan bulat dan <math>p</math> adalah [[bilangan prima]] sehingga
-:<math>\frac{a}{p} = 0.\overline{a_1a_2\dots a_n\dots a_{2n}}</math>.
 == Lihat juga ==
 {{portal|matematika}}
-* [[Bilangan asli]]
 * [[Bilangan bulat]]
-* [[Bilangan cacah]]
-* [[Bilangan imajiner]]
-* [[Bilangan kompleks]]
-* [[Bilangan riil]]
 * [[Bilangan irasional]]
-* [[Bilangan prima]]
-* [[Bilangan komposit]]
 * [[Pecahan]]
@@ Baris 42: / Baris 58: @@
 <references />
 {{Sistem Bilangan}}
-{{matematika-stub}}
 [[Kategori:Bilangan]]
+[[Kategori:Bilangan rasional]]
+[[Kategori:Himpunan bilangan real]]
+[[Kategori:Lapangan (matematika)]]
 [[Kategori:Matematika dasar]]
+[[Kategori:Pecahan (matematika)]]
+{{matematika-stub}}

l b s Sistem bilangan
Himpunan terhitung	Bilangan asli ( $\scriptstyle \mathbb {N}$ ) Bilangan bulat ( $\scriptstyle \mathbb {Z}$ ) Bilangan rasional ( $\scriptstyle \mathbb {Q}$ ) Bilangan aljabar ( $\scriptstyle {\overline {\mathbb {Q} }}$ ) Perioda Bilangan terkomputasi Bilangan aritmetis
Bilangan riil dan cabangan	Bilangan riil ( $\scriptstyle \mathbb {R}$ ) Bilangan kompleks ( $\scriptstyle \mathbb {C}$ ) Kuaternion ( $\scriptstyle \mathbb {H}$ ) Oktonion ( $\scriptstyle \mathbb {O}$ ) Sedenion ( $\scriptstyle \mathbb {S}$ ) Aljabar Cayley–Dickson Bilangan rangkap Bilangan kompleks hiperbolik Bilangan hiperkompleks Bilangan superreal Bilangan irasional Bilangan transenden Bilangan hiperreal Bilangan surreal
Sistem lain	Bilangan kardinal Bilangan ordinal Bilangan p-adik Bilangan supernatural