Identitas Bézout: Perbedaan antara revisi

Konten dihapus Konten ditambahkan

Sebaris

Revisi terkini sejak 30 Desember 2022 03.03

Dalam teori bilangan elementer, identitas Bézout, atau disebut juga lema Bézout, menyatakan teorema berikut:

Identitas Bézout — Misalkan $a$ dan $b$ adalah bilangan bulat dengan faktor persekutuan terbesar $d$ , maka akan ada bilangan bulat $x$ dan $y$ sehingga bilangan $ax+by=d$ . Lebih umumnya lagi, bilangan bulat dengan bentuk $ax+by$ adalah kelipatan dari $d$ .

Bilangan bulat $x$ dan $y$ disebut koefisien Bézout untuk $(a,b)$ , dan bilangan-bilangan tersebut tidak tunggal. Sepasang koefisien Bézout dapat dihitung dengan menggunakan algoritma Euklides diperluas (extended Euclidean algorithm). Jika $a$ dan $b$ tidak nol, algoritma Euklides diperluas menghasilkan salah satu dari dua pasangan sedemikian rupa sehingga $|x|\leq |b/d|$ dan $|y|\leq |a/d|$ . Kesamaan tersebut dapat terjadi hanya jika salah satu dari $a$ dan $b$ adalah kelipatan dari bilangan lain.

Banyak teorema lain dalam teori bilangan dasar, seperti lema Euklides atau teorema sisa Tiongkok, dihasilkan dari identitas Bézout.

Struktur penyelesaian[sunting | sunting sumber]

Jika $a$ dan $b$ adalah bukan bilangan tak nol, serta satu buah pasangan koefisien Bézout $(x,y)$ telah dihitung (katakanlah dengan menggunakan algoritma Euklides diperluas), maka semua pasangan dapat dinyatakan berikut: $\left(x-k{\frac {b}{d}},\ y+k{\frac {a}{d}}\right),$ dengan $k$ menyatakan sebarang bilangan bulat, $d$ merupakan faktor persekutuan terbesar dari $a$ dan $b$ . Pada bentuk tersebut, pecahan disederhanakan menjadi bilangan bulat. Sebaliknya, jika $a$ dan $b$ adalah bilangan tak nol, maka tepatnya akan ada dua dari pasangan tersebut memenuhi ${\textstyle |x|\leq \left|b/d\right|}$ dan ${\textstyle |y|\leq \left|a/d\right|}$ , dan kesamaan tersebut hanya dapat terjadi jika salah satu dari $a$ dan $b$ membagi bilangan lain.

Solusi ini bergantung pada sifat pembagian Euklides, yang mengatakan sebagai berikut: diberikan dua bilangan bulat $c$ dan $d$ . Jika $d$ tidak membagi $c$ , maka terdapat satu buah pasangan $(q,r)$ sehingga $c=dq+r$ dan $0<r<|d|$ , dan sehingga juga $c=dq+r$ dan $-|d|<r<0$ .

Dua pasangan dari koefisien Bézout kecil diperoleh dari pasangan $(x,y)$ dengan memilih salah satu dari dua bilangan bulat tersebut di dekat ${\textstyle {\frac {x}{b/d}}}$ untuk $k$ di rumus sebelumnya.

Algoritma Euklides diperluas selalu menghasilkan salah satu dari dua pasangan minimal tersebut.

Contoh[sunting | sunting sumber]

Misalkan $a=12$ dan $b=42$ , sehingga $\operatorname {FPB} (12,42)=6$ . Identitas Bézout berikut, dengan koefisien Bézout ditandai dengan warna merah untuk pasangan minimal dan biru untuk pasangan lainnya, ditulis sebagai berikut:

{\begin{aligned}\vdots \\12&\times ({\color {blue}{-10}})&+\;\;42&\times \color {blue}{3}&=6\\12&\times ({\color {red}{-3}})&+\;\;42&\times \color {red}{1}&=6\\12&\times \color {red}{4}&+\;\;42&\times ({\color {red}{-1}})&=6\\12&\times \color {blue}{11}&+\;\;42&\times ({\color {blue}{-3}})&=6\\12&\times \color {blue}{18}&+\;\;42&\times ({\color {blue}{-5}})&=6\\\vdots \end{aligned}}

Jika $(x,y)=(18,-5)$ adalah pasangan asli dari koefisien Bézout ${\textstyle {\frac {18}{42/6}}\in [2,3]}$ , akan menghasilkan pasangan minimal berikut dengan memilih $k=2$ dan $k=3$ , yaitu: ${\textstyle (18-2\cdot 7,-5+2\cdot 2)=(4,-1)}$ , dan ${\textstyle (18-3\cdot 7,-5+3\cdot 2)=(-3,1)}$ .

Bukti[sunting | sunting sumber]

Diberikan bilangan bulat taknol $a$ dan $b$ , dan misalkan $S=\{ax+by\mid x,y\in \mathbb {Z} {\text{ dan }}ax+by>0\}.$ Himpunan $S$ tidak kosong karena berisi $a$ ataupun $-a$ (dengan $x=\pm 1$ dan $y=0$ ). Karena $S$ adalah himpunan bilangan bulat positif takkosong, $S$ memiliki anggota minimum $d=as+bt$ , berdasarkan well-ordering principle. Untuk membuktikan bahwa $d$ adalah faktor persekutuan terbesar dari $a$ dan $b$ , maka harus dibuktikan bahwa $d$ adalah pembagi persekutuan dari $a$ dan $b$ , dan bahwa untuk sebarang pembagi persekutuan lainnya $c$ , maka $c\leq d$ .

Pembagian Euklides dari $a$ oleh $d$ dapat ditulis $a=dq+r$ dengan $0\leq r<d$ . Sisa pembagian $r$ terdapat di $S\cup \{0\}$ , sebab ${\begin{aligned}r&=a-qd\\&=a-q(as+bt)\\&=a(1-qs)-bqt.\end{aligned}}$ Dengan demikian, $r$ adalah bilangan dari bentuk $ax+by$ , dan karena itu $r\in S\cup \{0\}$ . Akan tetapi, $0\leq r<d$ dan $d$ adalah bilangan bulat positif terkecil di $S$ , maka sisa pembagian $r$ tidak terdapat di $S$ , sehingga mengakibatkan $r$ menjadi 0. Maka dari itu, dapat disiratkan bahwa $d$ pembagi $a$ . Dengan cara yang serupa, $d$ juga pembagi $b$ , dan demikian $d$ adalah pembagi persekutuan dari $a$ dan $b$ .

Sekarang, misalkan $c$ adalah sebarang pembagi persekutuan dari $a$ dan $b$ , dalam artian bahwa akan ada $u$ dan $v$ sehingga $a=cu$ dan $b=cv$ . Jadi, ${\begin{aligned}d&=as+bt\\&=cus+cvt\\&=c(us+vt).\end{aligned}}$ Maka dapat dikatakan bahwa $c$ adalah pembagi $d$ , dan demikian bahwa $c\leq d$ .

Perumuman[sunting | sunting sumber]

Perumuman untuk tiga bilangan bulat atau lebih[sunting | sunting sumber]

Identitas Bézout dapat diperluas menjadi dua bilangan bulat atau lebih: jika $\operatorname {FPB} (a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n})=d,$ maka akan terdapat bilangan bulat $x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}$ sehingga $d=a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+\cdots +a_{n}x_{n}$ memiliki sifat berikut bahwa $d$ adalah bilangan bulat positif terkecil dari bentuk tersebut, serta setiap bilangan dari rumus tersebu merupakan kelipatan $d$ .

Perumuman untuk polinomial[sunting | sunting sumber]

Tak selamanya bahwa identitas Bézout berlaku untuk polinomial. Sebagai contoh, ketika mengerjakan gelanggang polinomial bilangan bulat, faktor persekutuan terbesar dari $2 x$ dan $x 2$ adalah x, tetapi hasil pembagian persekutuan tersebut tidak mempunyai sebarang koefisien bilangan bulat $p$ dan $q$ yang memenuhi $2 xp + x 2 q = x$ .

Sayangnya, identitas Bézout's bekerja untuk polinomial univariat atas lapangan, yang dilakukan dengan cara yang sama untuk bilangan bulat. Koefisien Bézout dan faktor persekutuan terbesar dapat dihitung menggunakan algoritma Euklides diperluas (extended Euclidean algorithm).

Karena akar dari dua polinomial merupakan akar-akar dari faktor persekutuan terbesarnya, identitas Bézout dan teorema dasar aljabar mengimplikasikan hasil berikut: Untuk polinomial univariat $f$ dan $g$ dengan koefisien di suatu lapangan, terdapat polinomiial $a$ dan $b$ sehingga $af + bg = 1$ jika dan hanya jika $f$ dan $g$ tidak memiliki akar di sebarang lapangan tertutup secara aljabar (biasanya di lapangan bilangan kompleks).

Perumuman untuk PID[sunting | sunting sumber]

Identitas Bézout tidak hanya berlaku di gelanggang bilangan bulat, tetapi juga berlaku di PID yang lain. PID pada konteks ini berarti principle ideal domain. Jika $R$ adalah PID, $a$ dan $b$ merupakan anggota $R$ , seta $d$ merupakan faktor persekutuan terbesar dari $a$ dan $b$ , maka akan ada anggota $x$ dan $y$ di $R$ sehingga $ax+by=d.$ Hal ini dikarenakan bahwa ideal $Ra+Rb$ adalah principal dan sama dengan $Rd.$

identitas Bézout yang berlaku dalam suatu domain integral disebut domain Bézout.

Sejarah[sunting | sunting sumber]

Seorang matematikawan berkebangsaan Prancis yang bernama Étienne Bézout membuktikan identitas Bezout untuk polinomial.^[1] Sayangnya, pernyataan untuk bilangan bulat ini sudah ditemukan dalam karya sebelumnya milik seorang matematikawan berkebangsaan Prancis lainnya yang bernama Claude Gaspard Bachet de Méziriac.^[2]^[3]^[4]

Lihat pula[sunting | sunting sumber]

Catatan[sunting | sunting sumber]

^ Bézout, É. (1779). Théorie générale des équations algébriques. Paris, France: Ph.-D. Pierres.
^ Tignol, Jean-Pierre (2001). Galois' Theory of Algebraic Equations. Singapore: World Scientific. ISBN 981-02-4541-6.
^ Claude Gaspard Bachet (sieur de Méziriac) (1624). Problèmes plaisants & délectables qui se font par les nombres (edisi ke-2nd). Lyons, France: Pierre Rigaud & Associates. hlm. 18–33. Di halaman-halaman ini, Bachet membuktikan (tanpa persamaan) "Proposisi XVIII. Deux nombres premiers entre eux estant donnez, treuver le moindre multiple de chascun d’iceux, surpassant de l’unité un multiple de l’autre." Masalah ini, yaitu $ax-by=1$ , adalah kasus istimewa dari persamaan Bézout, persamaan tersebut digunakan oleh Bachet untuk menyelesaikan masalah yang ditemukan di halaman 199 ff.
^ See also: Maarten Bullynck (February 2009). "Modular arithmetic before C.F. Gauss: Systematizations and discussions on remainder problems in 18th-century Germany" (PDF). Historia Mathematica. 36 (1): 48–72. doi:10.1016/j.hm.2008.08.009.

Pranala luar[sunting | sunting sumber]

Online calculator for Bézout's identity.
Weisstein, Eric W. "Bézout's Identity". MathWorld.

[1] Bézout, É. (1779). Théorie générale des équations algébriques. Paris, France: Ph.-D. Pierres.

[2] Tignol, Jean-Pierre (2001). Galois' Theory of Algebraic Equations. Singapore: World Scientific. ISBN 981-02-4541-6.

[3] Claude Gaspard Bachet (sieur de Méziriac) (1624). Problèmes plaisants & délectables qui se font par les nombres (edisi ke-2nd). Lyons, France: Pierre Rigaud & Associates. hlm. 18–33. Di halaman-halaman ini, Bachet membuktikan (tanpa persamaan) "Proposisi XVIII. Deux nombres premiers entre eux estant donnez, treuver le moindre multiple de chascun d’iceux, surpassant de l’unité un multiple de l’autre." Masalah ini, yaitu $ax-by=1$ , adalah kasus istimewa dari persamaan Bézout, persamaan tersebut digunakan oleh Bachet untuk menyelesaikan masalah yang ditemukan di halaman 199 ff.

[4] See also: Maarten Bullynck (February 2009). "Modular arithmetic before C.F. Gauss: Systematizations and discussions on remainder problems in 18th-century Germany" (PDF). Historia Mathematica. 36 (1): 48–72. doi:10.1016/j.hm.2008.08.009.

[1]

[2]

[3]

[4]

@@ Baris 1: / Baris 1: @@
-{{short description|Rumus yang menghubungkan dua angka dan pembagi persekutuan terbesarnya}}
+{{short description|Rumus yang menghubungkan dua bilangan dan faktor persekutuan terbesarnya}}{{About|teorema Bézout dalam aritmetika|teorema Bézout dalam geometri aljabar|teorema Bézout}}
-{{About|Teorema Bézout dalam aritmetika | Teorema Bézout dalam geometri aljabar | Teorema Bézout}}
-Dalam [[teori bilangan]] elementer, i'''dentitas Bézout''' atau disebut juga '''lema Bézout''') adalah [[teorema]] sebagai berikut:{{math_theorem
+Dalam [[teori bilangan]] elementer, '''identitas Bézout''', atau disebut juga '''lema Bézout''', menyatakan [[teorema]] berikut:{{math_theorem
 | name = Identitas Bézout
-| math_statement = Misalkan <math a </math> dan <math> b </math> adalah [[bilangan bulat]] dengan [[pembagi persekutuan terbesar]] <math> d </math>. Maka, ada bilangan bulat <math> x </math> dan <math> y </math> seperti bilangan <math> ax + by = d </math>{{nowrap|''ax'' + ''by'' &#61; ''d''}}. Lebih umumnya lagi, bilangan bulat dari bentuk <math> ax + by </math> persis kelipatan <math> d </math>.
+| math_statement = Misalkan <math> a </math> dan <math> b </math> adalah [[bilangan bulat]] dengan [[faktor persekutuan terbesar]] <math> d </math>, maka akan ada bilangan bulat <math> x </math> dan <math> y </math> sehingga bilangan <math> ax + by = d </math>. Lebih umumnya lagi, bilangan bulat dengan bentuk <math> ax + by </math> adalah kelipatan dari <math> d </math>.
 }}
-Bilangan bulat <math>x</math> dan <math>y</math> disebut '''koefisien Bézout''' untuk <math>(a,b)</math>; mereka tidak tunggal. Sepasang koefisien Bézout dapat dihitung dengan [[algoritma Euklides diperluas]]. Jika <math>a</math> dan <math>b</math> tidak nol, [[Algoritme Euklides|algoritma Euklides]] diperluas menghasilkan salah satu dari dua pasangan sedemikian rupa sehingga <math>|x|\le \left |\frac{b}{d}\right |</math> dan <math>|y|\le\left |\frac{a}{d}\right |</math> (kesetaraan dapat terjadi hanya jika salah satu dari <math>a</math> dan <math>b</math> adalah kelipatan dari yang lain).
+Bilangan bulat <math>x</math> dan <math>y</math> disebut '''koefisien Bézout''' untuk <math>(a,b)</math>, dan bilangan-bilangan tersebut tidak tunggal. Sepasang koefisien Bézout dapat dihitung dengan menggunakan [[algoritma Euklides diperluas]] (''extended Euclidean algorithm''). Jika <math>a</math> dan <math>b</math> tidak nol, [[Algoritme Euklides|algoritma Euklides]] diperluas menghasilkan salah satu dari dua pasangan sedemikian rupa sehingga <math>|x|\le |b/d|</math> dan <math>|y|\le|a/d|</math>. Kesamaan tersebut dapat terjadi hanya jika salah satu dari <math>a</math> dan <math>b</math> adalah kelipatan dari bilangan lain.
-Banyak teorema lain dalam teori bilangan dasar, seperti [[lemma Euklidean]] atau [[Teorema sisa Cina]], dihasilkan dari identitas Bézout.
+Banyak teorema lain dalam teori bilangan dasar, seperti [[lema Euklides]] atau [[teorema sisa Tiongkok]], dihasilkan dari identitas Bézout.
 == Struktur penyelesaian ==
+Jika <math>a</math> dan <math>b</math> adalah bukan bilangan tak nol, serta satu buah pasangan koefisien Bézout <math>(x,y)</math> telah dihitung (katakanlah dengan menggunakan [[algoritma Euklides diperluas]]), maka semua pasangan dapat dinyatakan berikut:<math display="block">\left(x-k\frac{b}{d},\ y+k\frac{a}{d}\right),</math>dengan <math>k</math> menyatakan sebarang bilangan bulat, <math>d</math> merupakan [[faktor persekutuan terbesar]] dari <math>a</math> dan <math>b</math>. Pada bentuk tersebut, pecahan disederhanakan menjadi bilangan bulat. Sebaliknya, jika <math>a</math> dan <math>b</math> adalah bilangan tak nol, maka tepatnya akan ada dua dari pasangan tersebut memenuhi <math display="inline"> |x| \le \left |b/d\right |</math> dan <math display="inline">|y| \le \left |a/d\right |</math>, dan kesamaan tersebut hanya dapat terjadi jika salah satu dari <math>a</math> dan <math>b</math> membagi bilangan lain.
-Jika <math>a</math> dan <math>b</math> tidaknol dan satu pasang koefisien Bézout <math>(x,y)</math> telah dihitung (misalnya, menggunakan [[algoritma Euklides diperluas]]), semua pasangan dapat diwakilkan dalam bentuk
+Solusi ini bergantung pada sifat [[pembagian Euklides]], yang mengatakan sebagai berikut: diberikan dua bilangan bulat <math>c</math> dan <math>d</math>. Jika <math>d</math> tidak membagi <math>c</math>, maka terdapat satu buah pasangan <math>(q,r)</math> sehingga <math>c = dq + r</math> dan <math>0 < r < |d|</math>, dan sehingga juga <math>c = dq + r</math> dan <math>-|d| < r < 0</math>.
-:<math>\left(x-k\frac{b}{\gcd(a,b)},\ y+k\frac{a}{\gcd(a,b)}\right)</math>,
-di mana <math>k</math> adalah bilangan bulat sembarang dan pecahan disederhanakan menjadi bilangan bulat.
+Dua pasangan dari koefisien Bézout kecil diperoleh dari pasangan <math>(x,y)</math> dengan memilih salah satu dari dua bilangan bulat tersebut di dekat <math display="inline">\frac{x}{b/d}</math> untuk <math>k</math> di rumus sebelumnya.
-Di antara pasangan koefisien Bézout ini, tepat dua di antaranya memuaskan
-:<math> |x| \le \left |\frac{b}{\gcd(a,b)}\right |</math> dan <math>|y| \le \left |\frac{a}{\gcd(a,b)}\right |</math>
-dan kesetaraan hanya dapat terjadi jika salah satu dari <math>a</math> dan <math>b</math> membagi yang lain.
+Algoritma Euklides diperluas selalu menghasilkan salah satu dari dua pasangan minimal tersebut.
-Ini bergantung pada properti [[Divisi Euclidean]]: diberikan dua bilangan bulat<math>c</math> dan <math>d</math>, jika <math>d</math> tidak membagi <math>c</math>, maka terdapat tepat satu pasang <math>(q,r)</math> sehingga <math>c = dq + r</math> dan <math>0 < r < |d|</math>, dan ada lagi sehingga <math>c = dq + r</math> dan <math>-|d| < r < 0</math>.
-Dua pasang koefisien Bézout kecil diperoleh dari koefisien yang diberikan <math>(x,y)</math> dengan memilih untuk <math>k</math> dalam rumus di atas salah satu dari dua bilangan bulat di sebelahnya <math>\frac{x}{b/\gcd(a,b)}</math>.
-Algoritma Euklides diperluas selalu menghasilkan salah satu dari dua pasangan minimal ini.
 == Contoh ==
-Misalkan, <math>a = 12</math> dan <math>b = 42</math>, <math>\gcd(12,42) = 6</math>. Kemudian identitas Bézout berikut, dengan koefisien Bézout ditulis dengan warna merah untuk pasangan minimal dan biru untuk pasangan lainnya.
+Misalkan <math>a = 12</math> dan <math>b = 42</math>, sehingga <math>\operatorname{FPB}(12,42) = 6</math>. Identitas Bézout berikut, dengan koefisien Bézout ditandai dengan warna merah untuk pasangan minimal dan biru untuk pasangan lainnya, ditulis sebagai berikut:
 :<math>
@@ Baris 44: / Baris 36: @@
 </math>
-Jika <math>(x,y) = (18,-5)</math> adalah pasangan asli dari koefisien Bézout <math>\frac{18}{42/6} \in [2, 3]</math> menghasilkan pasangan minimal melalui <math>k = 2</math>, masing-masing <math>k = 3</math>: <math>(18 - 2 \cdot 7, -5 + 2 \cdot 2) = (4,-1)</math>, dan <math>(18 - 3 \cdot 7, -5 + 3 \cdot 2) = (-3,1)</math>. [[Ranah Bézout]] adalah [[ranah integral]] tempat memegang identitas Bézout. Secara khusus, identitas Bézout berlaku di [[ranah ideal utama]]. Setiap teorema yang dihasilkan dari identitas Bézout dengan demikian benar di semua ranah ini.
+Jika <math>(x,y) = (18,-5)</math> adalah pasangan asli dari koefisien Bézout <math display="inline">\frac{18}{42/6} \in [2, 3]</math>, akan menghasilkan pasangan minimal berikut dengan memilih <math>k = 2</math> dan <math>k = 3</math>, yaitu: <math display="inline">(18 - 2 \cdot 7, -5 + 2 \cdot 2) = (4,-1)</math>, dan <math display="inline">(18 - 3 \cdot 7, -5 + 3 \cdot 2) = (-3,1)</math>.
 == Bukti ==
-Diberikan bilangan bulat taknol <math>a</math> dan <math>b</math>, misalkan <math>S=\{ax+by \mid x,y\in\mathbb{Z} \text{ dan } ax+by>0\}.</math> Himpunan <math>S</math> tidak kosong karena berisi salah satunya <math>a</math> atau <math>-a</math> (dengan <math>x = \pm 1</math> dan <math>y = 0</math>). Karena <math>S</math> adalah himpunan bilangan bulat positif takkosong, ini memiliki unsur minimum <math>d = as + bt</math>, dengan [[prinsip urutan rapi]]. Untuk membuktikan bahwa <math>d</math> adalah pembagi persekutuan terbesar dari <math>a</math> dan <math>b</math>, kita harus membuktikan bahwa <math>d</math> adalah pembagi persekutuan dari <math>a</math> dan <math>b</math>, dan bahwa untuk suatu pembagi persekutuan lainnya <math>c</math> termasuk bilangan <math>c \le d</math>.
+Diberikan bilangan bulat taknol <math>a</math> dan <math>b</math>, dan misalkan <math>S=\{ax+by \mid x,y\in\mathbb{Z} \text{ dan } ax+by>0\}.</math> Himpunan <math>S</math> tidak kosong karena berisi <math>a</math> ataupun <math>-a</math> (dengan <math>x = \pm 1</math> dan <math>y = 0</math>). Karena <math>S</math> adalah himpunan [[Bilangan asli|bilangan bulat positif]] takkosong, <math>S</math> memiliki anggota minimum <math>d = as + bt</math>, berdasarkan ''[[well-ordering principle]]''. Untuk membuktikan bahwa <math>d</math> adalah faktor persekutuan terbesar dari <math>a</math> dan <math>b</math>, maka harus dibuktikan bahwa <math>d</math> adalah [[pembagi]] persekutuan dari <math>a</math> dan <math>b</math>, dan bahwa untuk sebarang pembagi persekutuan lainnya <math>c</math>, maka <math>c \le d</math>.
-[[Divisi Euklides]] dari <math>a</math> oleh <math>d</math> boleh ditulis
+[[Pembagian Euklides]] dari <math>a</math> oleh <math>d</math> dapat ditulis <math>a=dq+r</math> dengan <math>0\le r<d</math>. Sisa pembagian <math>r</math> terdapat di <math>S\cup \{0\}</math>, sebab<math display="block">
-:<math>a=dq+r</math> dengan <math>0\le r<d</math>.
-Sisa <math>r</math> ada di <math>S\cup \{0\}</math>, lantaran
-:<math>
 \begin{align}
 r  & = a - qd \\
@@ Baris 58: / Baris 47: @@
 & = a(1-qs) - bqt.
 \end{align}
+</math>Dengan demikian, <math>r</math> adalah bilangan dari bentuk <math>ax+by</math>, dan karena itu <math>r\in S\cup \{0\}</math>. Akan tetapi, <math>0\le r<d</math> dan <math>d</math> adalah bilangan bulat positif terkecil di {{mvar|S}}, maka sisa pembagian <math>r</math> tidak terdapat di <math>S</math>, sehingga mengakibatkan <math>r</math> menjadi 0. Maka dari itu, dapat disiratkan bahwa <math>d</math> pembagi <math>a</math>. Dengan cara yang serupa, <math>d</math> juga pembagi <math>b</math>, dan demikian <math>d</math> adalah pembagi persekutuan dari <math>a</math> dan <math>b</math>.
-</math>
-<!--
-Thus {{mvar|r}} is of the form <math>ax+by</math>, and hence <math>r\in S\cup \{0\}</math>. However, {{math|0 ≤ ''r'' < ''d''}}, and {{mvar|d}} is the smallest positive integer in {{mvar|S}}: the remainder {{mvar|r}} can therefore not be in {{mvar|S}}, making {{mvar|r}} necessarily 0. This implies that {{mvar|d}} is a divisor of {{mvar|a}}. Similarly {{mvar|d}} is also a divisor of {{mvar|b}}, and {{mvar|d}} is a common divisor of {{mvar|a}} and {{mvar|b}}.
+Sekarang, misalkan <math>c</math> adalah sebarang pembagi persekutuan dari <math>a</math> dan <math>b</math>, dalam artian bahwa akan ada <math>u</math> dan <math>v</math> sehingga <math>a=cu</math> dan <math>b = cv</math>. Jadi,<math display="block">\begin{align}d&=as + bt\\
-Now, let {{mvar|c}} be any common divisor of {{mvar|a}} and {{mvar|b}}; that is, there exist {{mvar|u}} and {{mvar|v}} such that
-{{math|1=''a'' = ''cu''}} and {{math|1=''b'' = ''cv''}}. One has thus
-:<math>\begin{align}d&=as + bt\\
 & =cus+cvt\\
-&=c(us+vt).\end{align} </math>
+&=c(us+vt).\end{align} </math>Maka dapat dikatakan bahwa <math>c</math> adalah pembagi <math>d</math>, dan demikian bahwa <math>c \le d</math>.
-That is {{mvar|c}} is a divisor of {{mvar|d}}, and, therefore {{math|''c'' ≤ ''d''}}-->
+== Perumuman ==
+=== Perumuman untuk tiga bilangan bulat atau lebih ===
+Identitas Bézout dapat diperluas menjadi dua bilangan bulat atau lebih: jika<math display="block">\operatorname{FPB}(a_1, a_2, \ldots, a_n) = d,</math>maka akan terdapat bilangan bulat <math>x_1, x_2, \ldots, x_n</math> sehingga <math>d = a_1 x_1 + a_2 x_2 + \cdots + a_n x_n</math> memiliki sifat berikut bahwa <math>d</math> adalah bilangan bulat positif terkecil dari bentuk tersebut, serta setiap bilangan dari rumus tersebu merupakan kelipatan <math>d</math>.
+=== Perumuman untuk polinomial ===
-== Untuk tiga atau lebih bilangan bulat ==
+{{main|Faktor persekutuan terbesar polinomial#Identitas Bézout dan algoritma FPB yang diperluas}}
+Tak selamanya bahwa identitas Bézout berlaku untuk polinomial. Sebagai contoh, ketika mengerjakan [[gelanggang polinomial]] bilangan bulat, faktor persekutuan terbesar dari {{math|2''x''}} dan {{math|''x''<sup>2</sup>}} adalah ''x'', tetapi hasil pembagian persekutuan tersebut tidak mempunyai sebarang koefisien bilangan bulat <math>p</math> dan <math>q</math> yang memenuhi {{math|1=2''xp'' + ''x''<sup>2</sup>''q'' = ''x''}}.
+Sayangnya, identitas Bézout's bekerja untuk [[polinomial univariat]] atas [[Lapangan (matematika)|lapangan]], yang dilakukan dengan cara yang sama untuk bilangan bulat. Koefisien Bézout dan faktor persekutuan terbesar dapat dihitung menggunakan [[algoritma Euklides diperluas]] (''extended Euclidean algorithm'').
-Identitas Bézout dapat diperluas menjadi lebih dari dua bilangan bulat: jika
-:<math>\gcd(a_1, a_2, \ldots, a_n) = d</math>
+Karena [[Akar polinomial|akar]] dari dua polinomial merupakan akar-akar dari faktor persekutuan terbesarnya, identitas Bézout dan [[teorema dasar aljabar]] mengimplikasikan hasil berikut: Untuk polinomial univariat {{mvar|f}} dan {{mvar|g}} dengan koefisien di suatu lapangan, terdapat polinomiial <math>a</math> dan <math>b</math> sehingga {{math|1=''af'' + ''bg'' = 1}} jika dan hanya jika {{mvar|f}} dan {{mvar|g}} tidak memiliki akar di sebarang [[lapangan tertutup secara aljabar]] (biasanya di lapangan [[bilangan kompleks]]).
-maka bilangan bulat <math>x_1, x_2, \ldots, x_n</math> seperti yang
+=== Perumuman untuk PID ===
-:<math>d = a_1 x_1 + a_2 x_2 + \cdots + a_n x_n</math>
+Identitas Bézout tidak hanya berlaku di [[Gelanggang (matematika)|gelanggang]] bilangan bulat, tetapi juga berlaku di PID yang lain. PID pada konteks ini berarti ''[[principle ideal domain]]''. Jika {{math|''R''}} adalah PID, {{mvar|a}} dan {{mvar|b}} merupakan anggota {{math|''R''}}, seta {{mvar|d}} merupakan faktor persekutuan terbesar dari {{mvar|a}} dan {{mvar|b}}, maka akan ada anggota {{math|''x''}} dan {{math|''y''}} di {{math|''R''}} sehingga <math>a x + b y = d.</math> Hal ini dikarenakan bahwa [[Ideal (teori gelanggang)|ideal]] <math>R a + R b</math> adalah ''principal'' dan sama dengan <math>R d.</math>
+identitas Bézout yang berlaku dalam suatu domain integral disebut [[domain Bézout]].
-memiliki sifat berikut:
-* <math>d</math> adalah bilangan bulat positif terkecil dari bentuk ini;
-* setiap angka dari formulir ini adalah kelipatan <math>d</math>.
 == Sejarah ==
-[[Matematikawan]] asal [[Orang Prancis|Prancis]] [[Étienne Bézout]] (1730–1783) membuktikan identitas ini untuk polinomial.<ref>{{cite book |author=Bézout, É.|authorlink=Étienne Bézout|url=https://archive.org/details/bub_gb_RDEVAAAAQAAJ |title=Théorie générale des équations algébriques |place=Paris, France |publisher=Ph.-D. Pierres |year=1779}}</ref> Namun, pernyataan untuk bilangan bulat ini sudah dapat ditemukan dalam karya ahli matematika Prancis lainnya, [[Claude Gaspard Bachet de Méziriac]] (1581–1638).<ref>
+Seorang matematikawan berkebangsaan Prancis yang bernama [[Étienne Bézout]] membuktikan identitas Bezout untuk polinomial.<ref>{{cite book |author=Bézout, É.|authorlink=Étienne Bézout|url=https://archive.org/details/bub_gb_RDEVAAAAQAAJ |title=Théorie générale des équations algébriques |place=Paris, France |publisher=Ph.-D. Pierres |year=1779}}</ref> Sayangnya, pernyataan untuk bilangan bulat ini sudah ditemukan dalam karya sebelumnya milik seorang matematikawan berkebangsaan Prancis lainnya yang bernama [[Claude Gaspard Bachet de Méziriac]].<ref>
 {{cite book | last=Tignol | first=Jean-Pierre | title=Galois' Theory of Algebraic Equations | publisher=World Scientific| location=Singapore | year=2001 | isbn=981-02-4541-6}}
 </ref><ref>
-{{cite book|author=Claude Gaspard Bachet (sieur de Méziriac)|title=Problèmes plaisants & délectables qui se font par les nombres|edition=2nd|location=Lyons, France|publisher=Pierre Rigaud & Associates|year=1624|pages= 18–33|url=http://www.bsb-muenchen-digital.de/~web/web1008/bsb10081407/images/index.html?digID=bsb10081407&pimage=38&v=100&nav=0&l=de}}  Di halaman-halaman ini, Bachet membuktikan (tanpa persamaan) "Proposisi XVIII.  Deux nombres premiers entre eux estant donnez, treuver le moindre multiple de chascun d’iceux, surpassant de l’unité un multiple de l’autre."  (Mengingat dua bilangan [yang] relatif prima, temukan kelipatan terendah dari masing-masing [sedemikian rupa sehingga] satu kelipatan melebihi yang lain dengan satu kesatuan (1).)  Masalah ini (yaitu, ax - by = 1) adalah kasus khusus persamaan Bézout dan digunakan oleh Bachet untuk menyelesaikan masalah yang muncul pada halaman 199 ff.
+{{cite book|author=Claude Gaspard Bachet (sieur de Méziriac)|year=1624|url=http://www.bsb-muenchen-digital.de/~web/web1008/bsb10081407/images/index.html?digID=bsb10081407&pimage=38&v=100&nav=0&l=de|title=Problèmes plaisants & délectables qui se font par les nombres|location=Lyons, France|publisher=Pierre Rigaud & Associates|edition=2nd|pages=18–33}}  Di halaman-halaman ini, Bachet membuktikan (tanpa persamaan) "Proposisi XVIII.  Deux nombres premiers entre eux estant donnez, treuver le moindre multiple de chascun d’iceux, surpassant de l’unité un multiple de l’autre."  Masalah ini, yaitu <math>ax-by=1</math>, adalah kasus istimewa dari persamaan Bézout, persamaan tersebut digunakan oleh Bachet untuk menyelesaikan masalah yang ditemukan di halaman 199 ff.
 </ref><ref>
 See also: {{cite journal|date=February 2009|author=Maarten Bullynck|title=Modular arithmetic before C.F. Gauss: Systematizations and discussions on remainder problems in 18th-century Germany|doi=10.1016/j.hm.2008.08.009|journal=Historia Mathematica|volume=36|issue=1|pages=48–72|url=http://hal.inria.fr/docs/00/66/32/92/PDF/Gauss_Modular_Oct2008.pdf}}</ref>
 == Lihat pula ==
+* [[Teorema AF+BG]]
-* [[Teorema AF+BG]], analog dari identitas Bézout untuk polinomial homogen dalam tiga tak tentu
 * [[Teorema dasar aritmetika]]
-* [[Lema Euklides|Lema Euklidean]]
+* [[Lema Euklides]]
 == Catatan ==
-{{Reflist}}
+{{Reflist|colwidth=30em}}
 == Pranala luar ==
@@ Baris 105: / Baris 94: @@
 {{Authority control}}
-{{DEFAULTSORT:Identitas Bezouts}}
+{{DEFAULTSORT:Identitas Bezout}}
-[[Kategori:Persamaan Diofantin]]
+[[Kategori:Persamaan Diophantus]]
-[[Kategori:Lemma]]
+[[Kategori:Lema]]
 [[Kategori:Artikel yang berisi bukti]]

Pengawasan otoritas
Perpustakaan nasional	Amerika Serikat
Lain-lain	Faceted Application of Subject Terminology Microsoft Academic