Luas permukaan

Sebuah bola berjari-jari $r$ memiliki luas permukaan $4\pi r^{2}$

Luas permukaan dari sebuah benda padat adalah sebuah ukuran dari jumlah luas yang ditempati permukaan objek. Definisi matematis dari luas permukaan di hadapan permukaan yang melengkung jauh lebih terlibat daripada definisi dari panjang busur dari kurva-kurva satu dimensi, atau dari luas permukaan untuk polihedra (yaitu, objek dengan permukaan poligonal datar), untuk yang luas permukaan adalah jumlah dari luas-luas permukaannya. Permukaan halus, seperti sebuah bola, luas permukaan ditugaskan menggunakan reprsentasi mereka sebagai permukaan parametrik. Definisi ini dari luas permukaan berdasarkan metode dari kalkulus infinitesimal dan melibatkan turunan parsial dan integral ganda.

Sebuah definisi umum dari luas permukaan dicari oleh Henri Lebesgue dan Hermann Minkowski pada pergantian abad keduapuluh. Pekerjaan mereka dipimpi untuk mengembangkan teori pengukuran geometris, yang mempelajari berbaga gagasan-gagasan dari luas permukaan untuk objek tidak beraturan dari setiap dimensi. Sebuah contoh yang penting adalah konten Minkowski dari sebuah permukaan.

Definisi

Selagi luas-luas dari banyak permukaan-permukaan yang sederhana telah diketahui sejak zaman dahulu, sebuah definisi matematika yang ketat dari luas membutuhkan banyak perhatian. Ini seharusnya menyediakan sebuah fungsi

$S\mapsto A(S)$

yang memberikan sebuah bilangan real positif ke kelas permukaan tertentu yang memenuhi beberapa persyaratan alami. Sifat yang paling fundamental dari luas permukaan adalah aditifnyaː luas dari seluruhnya adalah jumlah dari luas-luas dari bagian-bagian. Lebih ketat, jika sebuah permukaan $S$ adalah sebuah gabungan dari banyak bagian-bagian halus $S_{1},\dots ,S_{r}$ yang tidak tumpang tindih kecuali di batas-batas mereka, maka

$A(S)=A(S_{1})+\cdots +A(S_{r})$.

Luas-luas permukaan dari bentuk-bentuk poligonal datar harus sesuai dengan luas yang ditentukan secara geometris. Sejak luas permukaan adalah sebuah gagasan geometris, luas dari permukaan kongruen harus sama dan luasnya harus bergantung hanya pada bentuk dari permukaannya, tetapi tidak pada posisinya dan orientasi dalam ruang. Ini berarti bahwa luas permukaan invarian di bawah kelompok gerakan Euklidean. Sifat-sifat ini secara unik mengkarakteristik luas permukaan untuk sebuah kelas yang lebar dari permukaan geometris disebut piecewise smooth. Seperti permukaan-permkuaan terdiri dari banyak bagian-bagian halus yang bisa diwakili dalam bentuk parametrik

$S_{D}:{\vec {r}}={\vec {r}}(u,v),\quad (u,v)\in D$

dengan sebuah fungsi kontinu terdiferensialkan ${\vec {r}}$. Luas dari sebuah potongan individual didefinisikan dengan rumus

$A(S_{D})=\iint _{D}\left|{\vec {r}}_{u}\times {\vec {r}}_{v}\right|\,du\,dv.$

Demikian luas dari $S_{D}$ diperoleh dengan mengintegrasikan panjang dari vektor normal ${\vec {r}}_{u}\times {\vec {r}}_{v}$ ke permukaan di atas wilayah $D$ yang sesuai di bidang $uv$ parametrik. Luas dari seluruh permukaan kemudian diperoleh dengan menjumlahkan luas-luas dari bagian-bagiannya, menggunakan keaditifan dari luas permukaan. Rumus utamanya dapat dikhususkan untuk kelas-kelas berbeda dari permukaan, diberikan, secara khusus, rumus-rumus untuk luas grafik $z=f(x,y)$ dan permukaan revolusi.

Lentera Schwarz dengan irisan aksial $M$ dan simpul radial $N$. Limit dari luas sebagai $M$ dan $N$cenderung ke tak terhingga tidak konvergen. Khususnya, itu tidak konvergen ke luas dari silinder.

Salah satu kehalusan luas permukaan, jika dibandingkan dengan panjang busur kurva, adalah luas permukaan itu tidak bisa didefinisikan secara sederhana sebagai limit dari luas bentuk-bentuk polihedral mendekati sebuah diberikan permukaan mulus. Itu didemonstrasikan oleh Hermann Schwarz yang sudah untuk tabung, pilihan yang berbeda untuk mendekati permukaan datar dapat meyebabkan nilai pembatas yang berbeda, contoh ini dikenal sebagai lentera Schwarz.

Berbagai pendekatan untuk sebuah definisi umum luas permukaan dikembangkan di akhir abad kesembilanbelas dan awal abad keduapuluh oleh Henri Lebesgue dan Hermann Minkowski. Sedangkan untuk permukaan mulus sedikit demi sedikit, terdapat sebuah gagasan alami yang unik dari luas permukaan, jika sebuah permukaan sangat tidak teratur, atau kasar, maka itu mungkin tidak memungkinkan untuk menetapkan sebuah luas sama sekali. Sebuah contoh khas diberikan oleh sebuah permukaan dengan paku yang tersebar dengan cara yang padat. Banyak permukaan dari jenis ini terjadi dalam studi tentang fraktal. Perpanjangan dari gagasan luas yang sebagian memenuhi fungsinya dan dapat didefinisikan bahkan untuk permukaan tidak teratur yang sangat buruk dipelajari dalam teori pengukur geometris.

Rumus umum

Luas permukaan bentuk tiga dimensi umum

Bentuk	Persamaan	Variabel
Kubus	$6s^{2}\,$	$s$ = panjang sisi
Balok	$2(pl+pt+lt)\,$	$\ell$= panjang, $w$ = lebar, $h$ = tinggi
Prisma segitiga	$a\times t+t(a+b+c)$	$b$ = panjang alas segitiga, $h$ = tinggi segitiga, $l$ = jarak antara alas segitiga, $a$, $b$, $c$ = sisi-sisi segitiga
Semua prisma	$2La+Ka\times t\,$	$La$ = luas satu alas, $Ka$ = keliling satu alas, $t$ = tinggi
Bola	$4\pi r^{2}=2\pi d^{2}\,$	$r$ = jari-jari bola, $d$ = diameter
Lune bola	$2r^{2}\theta \,$	$r$ = jari-jari bola, $\theta$ = sudut dihedral
Torus	$(2\pi r)(2\pi R)=4\pi ^{2}Rr$	$r$ = jari-jari kecil (jari-jari pipa), $R$ = jari-jari utama (jarak dari tengah pipa ke tengah torus)
Silinder tertutup	$2\pi r^{2}+2\pi rh=2\pi r(r+h)\,$	$r$ = jari-jari dari alas melingkat, $h$ = tinggi dari silinder
Luas permukaan lateral pada sebuah kerucut	$\pi r\left({\sqrt {r^{2}+h^{2}}}\right)=\pi rs\,$	$s={\sqrt {r^{2}+h^{2}}}$ $s$ = tinggi miring dari kerucut,$r$ = jari-jari dari alas melingkar,$h$ = tinggi dari kerucut
Luas permukaan penuh dari sebuah kerucut	$\pi r\left(r+{\sqrt {r^{2}+h^{2}}}\right)=\pi r(r+s)\,$	$s$ = tinggi miring dari kerucut, $r$ = jari-jari alas melingkar, $h$ = tinggi dari kerucut
Limas	$B+{\frac {PL}{2}}$	$B$ = luas alas, $P$ = perimeter alas, $L$ = panjang miring
Piramida persegi	$b^{2}+2bs=b^{2}+2b{\sqrt {\left({\frac {b}{2}}\right)^{2}+h^{2}}}$	$b$ = panjang alas, $s$ = tinggi miring, $h$ = tinggi vertikal
Piramida persegi panjang	$lw+l{\sqrt {\left({\frac {w}{2}}\right)^{2}+h^{2}}}+w{\sqrt {\left({\frac {l}{2}}\right)^{2}+h^{2}}}$	$\ell$ = panjang, $w$ = lebar, $h$ = tinggi
Tetrahedron	${\sqrt {3}}a^{2}$	$a$ = panjang sisi

Rasio luas permukaan dari sebuah bola dan tabung dari jari-jari dan tinggi yang sama

Sebuah kerucut, bola, dan tabung jari-jari $r$ dan tinggi $h$

Diberikan rumus di bawah dapat digunakan untuk menunjukkan bawa luas permukaan dari sebuah bola dan tabung dari jari-jari dan tinggi yang sama dalam rasio 2 ː 3, sebagai berikut.

Misalkan jari-jari menjadi $r$ dan tinggi menjadi $h$ (yang $2r$ untuk

bola).

${\begin{array}{rlll}{\text{Luas permukaan bola}}&=4\pi r^{2}&&=(2\pi r^{2})\times 2\\{\text{Luas permukaan tabung}}&=2\pi r(h+r)&=2\pi r(2r+r)&=(2\pi r^{2})\times 3\end{array}}$

Penemuan rasio ini dikreditkan ke Archimedes.

Dalam kimia

Luas permukaan partikel dari ukuran yang berbeda.

Luas permukaan penting dalam kinetika kimia. Meningkatkan luas permukaan dari sebuah substansi umumnya meningkatkan laju dari sebuah reaksi kimia. Sebagai contoh, besi dalam bubuk halus akan terbakar, sedangkan dalam balok padat cukup stabil untuk digunakan dalam struktur. Untuk penerapan yang berbeda, sebuah luas permukaan minimal atau maksimal mungkin diinginkan.

Dalam biologi

Membran bagian dalam dari mitokondria memiliki sebuah luas permukaan yang besar karena pembungkusan, memungkinkan laju respirasi seluler yang tinggi (mikrograf elektron)

Luas permukaan pada sebuah organisme pentinh dalam beberapa pertimbangan, seperti regulasi suhu tubuh dan pencernaan. Hewan-hewan menggunakan gigi mereka untuk menggiling makanan menjadi partikel-partikel kecil, meningkatkan luas permukaan yang tersedia untuk pencernaan. Jaringan epitel yang melapisi saluran pencernaan mengandung mikrovilli, sangat meningkatkan luas yang tersedia untuk penyerapan. Gajah memiliki telinga yang besar, memungkinikan mereka untuk mengatur suhu tubuh mereka sendiri. Dalam kasus lain, hewan-hewan perlu meminimalkan luas permukaan, sebagai contoh, orang-orang akan melipat lengan mereka di atas dada mereka ketika dingin untuk meminimalkan kehilangan panas.

Rasio luas permukaan terhadap volume ($SA:V$) dari sebuah sel memaksakan batas atas ukuran, sebagai volume meningkat jauh lebih cepat daripada luas permukaan, demikian membatasi laju difusi zat dari interior melintasi ke ruang interstisial atau sel lainnya. Memang, mewakili sebuah sel sebagai sebuah bidang yang ideal dengan jari-jari $r$, volume dan luas permukaan, masing-masing, $V={\frac {4}{3}}\pi r^{3}$ dan $SA=4\pi r^{2}$. Luas permukaan yang dihasilkan ke rasio volume karena itu ${\frac {3}{r}}$. Demikian, jika sebuah sel memiliki sebuah jari-jari 1 μm, rasio $SA:V$ adalah 3, sedangkan jika jari-jari dari sel 10 μm, maka rasio $SA:V$ adalah 0.03. Demikian, luas permukaan turun dengan tajam dengan meningkatkan volume.

Lihat pula

• Panjang perimeter
• Teori BET, teknik untuk pengukuran dari luas permukaan material
• Trigonometri bola
• Permukaan integral

Referensi

• Yu.D. Burago, V.A. Zalgaller, L.D. Kudryavtsev (2001) [1994], "Area", dalam Hazewinkel, Michiel, Encyclopedia of Mathematics, Springer Science+Business Media B.V. / Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1-55608-010-4 Pemeliharaan CS1: Banyak nama: authors list (link)

Pranala luar

• Surface Area Video Diarsipkan 2012-03-06 di Wayback Machine. at Thinkwell