Faktor persekutuan terbesar

Dalam matematika, khususnya teori bilangan, faktor persekutuan terbesar atau dikenal juga sebagai persekutuan bilangan terbesar (dilambangkan $\operatorname {FPB}$ atau $\operatorname {PBT}$ dalam bahasa Indonesia, dan $\gcd$ dalam bahasa Inggris, abreviasi dari kata greatest common divisor) terhadap bilangan adalah bilangan bulat terbesar yang membagi setiap bilangan bulat. Sebagai contoh, diberikan bilangan bulat $12$ dan $20$. Maka, $\operatorname {FPB} (12,20)=4$. Mengenai cara-cara dan metode akan dijelaskan di bawah.

Gagasan faktor persekutuan terbesar dapat diperluas melalui polinomial, lihat faktor persekutuan terbesar polinomial atau persekutuan bilangan terbesar polinomial untuk melihat lebih lanjut.

Notasi

Untuk $a$ dan $b$ bilangan bulat sembarang, notasi faktor persekutuan terbesar dinotasikan sebagai $\operatorname {FPB} (a,b)$ atau $\operatorname {PBT} (a,b)$. Dalam versi bahasa Inggris, dinotasikan sebagai $\gcd(a,b)$ atau $\operatorname {GCD} (a,b)$. Ada beberapa penulisan notasi faktor persekutuan terbesar, yaitu $\operatorname {g.c.d} (a,b)$ atau $(a,b)$.

Definisi

Misalkan $a$ dan $b$ adalah dua bilangan bulat yang diberikan. Misalkan $d$ membagi $a$ dan $b$ dan $d$ bilangan asli terbesar, maka faktor persekutuan terbesar terhadap bilangan bulat $a$ dan $b$ adalah

$\operatorname {FPB} (a,b)=d$.

Lebih umumnya lagi, untuk sebarang bilangan bulat $a_{1},\dots ,a_{n}$ dan $d$ bilangan asli terbesar yang membagi $a_{1},\dots ,a_{n}$, maka faktor persekutuan terbesarnya adalah

$\operatorname {FPB} (a_{1},\dots ,a_{n})=d$.

Sifat

Berikut adalah sifat-sifat faktor persekutuan terbesar, antara lain:

• Untuk sebarang bilangan bulat positif $a,b,d$, bila $d$ membagi $a$ dan $b$, maka $d\mid \operatorname {FPB} (a,b)$.
• Untuk sebarang bilangan bulat positif $a,b$, $\operatorname {FPB} (a,b)=b$ jika dan hanya jika $b\mid a$.
• Untuk sebarang bilangan bulat positif $a,b,d$, $\operatorname {FPB} (ad,bd)=d\cdot \operatorname {FPB} (a,b)$.

• $\operatorname {FPB} (a,0)=\operatorname {FPB} (0,a)=|a|$, sifat ini sangat penting dalam kalkulasi algoritme Euklides

Contoh

Terdapat cara sederhana mengenai pencarian suatu faktor persekutuan terbesar terhadap dua bilangan. Sebagai contoh, kita ambil contoh bilangan bulat di atas sebelumnya, yakni $12$ dan $20$. Untuk mengetahui mengapa $\operatorname {FPB} (12,20)=4$, kita perhatikan faktor-faktor dari kedua bilangan di bawah ini.

• Faktor dari $12$ adalah $1,2,3,{\color {red}{4}},6,12$
• Faktor dari $20$ adalah $1,2,{\color {red}{4}},5,10,20$

Karena faktor persekutuan terbesar dua bilangan adalah bilangan bulat terbesar yang membagi setiap bilangan bulat, maka kita simpulkan $\operatorname {FPB} (12,20)=4$. Terdapat cara lain untuk mengerjakan ini.

Pohon faktor

Sebagai contoh, tinjau kedua bilangan di atas. Kita buatkan pohon faktor dari masing-masing bilangan:

             12         20
             /\         /\
            3  4       2  10
              /\          /\
             2  2        2  5

Kita memperoleh $12={\color {red}{2^{2}}}\times 3$ dan $20={\color {red}{2^{2}}}\times 5$, maka, $\operatorname {FPB} (12,20)=2^{2}$, di mana hasilnya adalah $4$.

Sebuah ubin dengan ukuran 24 kali 60, masing-masing dibagi menjadi ukuran yang sama, yang terbesar adalah 12 kali 12.

Visualisasi geometri

Ada cara lain untuk mengetahui faktor persekutuan terbesar, yaitu melalui visualisasi geometri. Sebagai contoh, pada gambar di samping kanan, kita memperoleh ubin dengan ukuran 24 kali 60. Ubin tersebut kita bagi lagi menjadi 1 kali 1, 2 kali 2, 3 kali 3, 4 kali 4, 6 kali 6, dan terbesarnya adalah 12 kali 12. Jadi, 12 merupakan faktor persekutuan terbesar dari 24 dan 60, karena ${\tfrac {24}{12}}=2$ dan ${\tfrac {60}{12}}=5$.

Koprima

Artikel utama: Koprima (bilangan)

Dua buah bilangan dikatakan koprima, atau relatif prima, atau saling prima jika dan hanya jika faktor persekutuan terbesar dari kedua bilangan tersebut bernilai 1.

Penerapan

Menyederhanakan pecahan

Salah satu penerapan terhadap faktor persekutuan terbesar adalah menyederhanakan pecahan. Sebagai contoh, tinjau pecahan ${\frac {4}{8}}$. Kita dapat sederhanakan pecahan ini dengan menggunakan faktor persekutuan terbesar. Faktor persekutuan terbesar dari $4$ dan $8$ adalah $\operatorname {FPB} (4,8)=2$. Kita tuliskan sebagai

${\frac {4}{8}}={\frac {2\times 2}{2\times 4}}={\frac {1}{2}}$.

Kelipatan persekutuan terkecil

Artikel utama: Kelipatan persekutuan terkecil

Selain digunakan untuk menyederhanakan sebuah pecahan, faktor persekutuan terbesar juga dapat diterapkan dalam kelipatan persekutuan terkecil, di mana hubungan keduanya berkaitan dengan rumus berikut.

$\operatorname {KPK} (a,b)={\frac {ab}{\operatorname {FPB} (a,b)}}$.

Algoritme Euklidean

Cara lain untuk mencari FPB adalah dengan menggunakan algoritme Euklidean. Misalkan a dan b adalah 2 bilangan bulat yang tidak sama, maka algoritme Euklidean adalah sebagai berikut:

• a₁ = maximum(a,b)-minimum(a,b)

b₁ = minimum(a,b)

• a₂ = maximum(a₁,b₁)-minimum(a₁,b₁)

b₂ = minimum(a₁,b₁)

.

.

.

• a_i = maximum(a_i-1,b_i-1)-minimum(a_i-1,b_i-1)

b_i = minimum(a_i-1,b_i-1)

Algoritme tersebut berhenti hingga diperoleh a_i = b_i.

FPB dari a dan b adalah a_i = b_i.

Algoritme ini dapat lebih jauh disederhanakan lagi dengan pembagian Euklidean, yang dideskripsikan sebagai berikut:

$\gcd(a,0)=0$

$\gcd(a,b)=\gcd(b,a\,\mathrm {mod} \,b)$

dengan $a\,\mathrm {mod} \,b$ adalah operasi modulus.

Pencarian algoritme Euklid dengan pembagian memerlukan sekitar $O(\log(\min(a,b)))$ pembagian.

Lihat pula

• Kelipatan persekutuan terkecil (KPK)