Hiperkubus

Proyeksi perspektif

Kubus (Kubus 3D)	Tesseract (Kubus 4D)

Dalam geometri, Hiperkubus adalah analog dari ruang dimensi n dari sebuah Persegi pada bagian (1=n=2) dan untuk bagian kubus pada (1=n =3). Hal tersebut adalah dari himpunan tertutup dengan ruang kompak, polytope cembung hanya memiliki 1 kerangka terdiri dari kelompok berlawanan dengan parallel segmen garis disejajarkan di setiap dimensi ruang, tegak lurus satu sama lain dan memiliki panjang yang sama. Diagonal terpanjang sebuah hiperkubus dalam dimensi n sama dengan ${\sqrt {n}}$.

Kontruksi

Diagram yang menunjukkan cara membuat tesseract dari suatu titik.

Animasi yang menunjukkan cara membuat Tesseract dari suatu titik.

Hiperkubus dapat ditentukan dengan menambah jumlah dimensi bentuk:

0 – Adalah hiperkubus pada titik dimensi nol.

1 – Jika seseorang memindahkan titik tersebut pada satuan panjang, hal tersebut akan menyapu ruas garis, yang merupakan hiperkubus satuan dimensi satu.

2 –

3 – Jika seseorang menggerakkan persegi pada satuan panjang ke arah tegak lurus dengan bidang tempatnya berada, maka hal tersebut akan menghasilkan kubus 3 dimensi.

4 – Jika seseorang memindahkan kubus ke satuan panjang ke dimensi keempat, itu menghasilkan hiperkubus pada satuan 4 dimensi ke satuan tesseract.

Hal tersebut dapat digeneralisasikan ke sejumlah dimensi. Proses tersebut dapat diformalkan secara matematis sebagai jumlah Minkowski: hiperkubus dengan berdimensi d adalah jumlah Minkowski dari segmen garis panjang unit d yang saling tegak lurus oleh karena itu salah satu contoh dari zonotop.

Koordinat pada Hiperkubus

hiperkubus dari unit pada dimensi n adalah diagram convex suatu titik yang diberikan oleh semua permutasi tanda dari bagian koordinat kartesius$\left(\pm {\frac {1}{2}},\pm {\frac {1}{2}},\cdots ,\pm {\frac {1}{2}}\right)$. Hal tersebut memiliki panjang sisi 1 dan volume dari dimensi n 1.

Dimensi dari n hiperkubus sering dianggap sebagai diagram convex dari semua permutasi tanda koordinat dari $(\pm 1,\pm 1,\cdots ,\pm 1)$. Formulir tersebut sering terpilih karena mudahnya dalam menuliskan koordinat. Panjang tepi dari 2.

Elemen

Setiap dari Kubus pada-n untuk n > 0 terdiri dari elemen atau Kubus pada-n dari dimensi yang lebih rendah, pada bagian n−1-permukaan dimensi pada hiperkubus dari induk. Sisi adalah elemen apa pun dari n−1 dimensi hiperkubus induk. Sebuah hiperkubus dimensi n mempunyai 2n sisi pada (a 1-garis dimensi memiliki 2 titik ujung; bujur sangkar 2 dimensi memiliki 4 sisi atau tepi; kubus 3 dimensi memiliki 6 permukaan 2 dimensi; Tesseract 4 dimensi memiliki 8 sel). Jumlah simpul (titik) dari hiperkubus adalah $2^{n}$ (kubus memiliki $2^{3}$ simpul, misalnya).

Jumlah dari m-hiperkubus dengan dimensi pada batas sebuah n-kubus adalah:

$E_{m,n}=2^{n-m}{n \choose m}$,     darimana ${n \choose m}={\frac {n!}{m!\,(n-m)!}}$ dan n! menunjukkan faktorial dari n.

Identitas tersebut dapat dibuktikan dengan argumen kombinatorial; masing-masing pada $2^{n}$ simpul mendefinisikan simpul dalam m-batas dimensi. Ada ${n \choose m}$ cara memilih garis mana ("sisi") yang menentukan subruang di mana batasnya berada. Tapi, setiap sisi dihitung $2^{m}$ kali karena memiliki banyak simpul, kita perlu membaginya dengan nomor ini.

Identitas ini juga dapat digunakan untuk menghasilkan rumus n-dimensi luas permukaan kubus. Luas permukaan hiperkubus adalah

$2ns^{n-1}$.

Angka-angka tersebut juga dapat dihasilkan oleh relasi pengulangan linier

$E_{m,n}=2E_{m,n-1}+E_{m-1,n-1}\!$,     with $E_{0,0}=1\!$,  dan elemen tak terdefinisi (darimana $n<m$, $n<0$, atau $m<0$ ) $=0$.

Misalnya, memperluas persegi melalui 4 simpulnya menambahkan satu garis ekstra (sisi) per simpul, dan juga menambahkan kuadrat kedua terakhir, untuk membentuk sebuah kubus, memberikan $E_{1,3}\!$ = 12 baris secara total.

Elemen Hiperkubus $E_{m,n}\!$ (barisan A038207 pada OEIS)

			m	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
n	Kubus pada-n	Nama	Schläfli Coxeter	Puncak Wajah dari nilai-0	Tepi Wajah dari nilai-1	Wajah Wajah dari nilai-2	Sel Wajah dari nilai-3	Wajah dari nilai-4	Wajah dari nilai-5	Wajah dari nilai-6	Wajah dari nilai-7	Wajah dari nilai-8	Wajah dari nilai-9	Wajah dari nilai-10
0	Kubus pada nilai-0	Point Monon	( )	1
1	Kubus pada nilai-1	Segmen garis Dion	{}	2	1
2	Kubus pada nilai-2	Persegi Tetragon	{4}	4	4	1
3	Kubus pada nilai-3	Kubus Hexahedron	{4,3}	8	12	6	1
4	Kubus pada nilai-4	Tesseract Octachoron	{4,3,3}	16	32	24	8	1
5	Kubus pada nilai-5	Penteract Deka-5-tope	{4,3,3,3}	32	80	80	40	10	1
6	Kubus pada nilai-6	Hexeract Dodeka-6-tope	{4,3,3,3,3}	64	192	240	160	60	12	1
7	Kubus pada nilai-7	Hepteract Tetradeka-7-tope	{4,3,3,3,3,3}	128	448	672	560	280	84	14	1
8	Kubus pada nilai-8	Octeract Hexadeka-8-tope	{4,3,3,3,3,3,3}	256	1024	1792	1792	1120	448	112	16	1
9	Kubus pada nilai-9	Enneract Oktadeka-9-tope	{4,3,3,3,3,3,3,3}	512	2304	4608	5376	4032	2016	672	144	18	1
10	Kubus pada nilai-10	Dekeract Ikosa-10-tope	{4,3,3,3,3,3,3,3,3}	1024	5120	11520	15360	13440	8064	3360	960	180	20	1

Grafik

- Dalam pengembangan -

Keluarga terkait dari polytopes

- Dalam pengembangan -

Hubungan dengan (n−1)-kesederhanaan

- Dalam pengembangan -

Generalisasi Hiperkubus

- Dalam pengembangan -

Lihat pula

• Jaringan interkoneksi hiperkubus arsitektur komputer
• Kelompok hiperoktahedral, kelompok simetri Hiperkubus
• Hiperbola
• Simpleks
• Penyaliban (Corpus Hiperkubus) (karya seni terkenal)
• {{Stage short}}

Referensi

• Bowen, J. P. (April 1982). "Hypercube". Practical Computing. 5 (4): 97–99. Diarsipkan dari versi asli tanggal 2008-06-30. Diakses tanggal June 30, 2008. 
• Coxeter, H. S. M. (1973). Regular Polytopes (edisi ke-3rd). §7.2. see illustration Fig. 7-2C: Dover. hlm. 122-123. ISBN 0-486-61480-8.  p. 296, Table I (iii): Regular Polytopes, three regular polytopes in n dimensions (n ≥ 5)
• Hill, Frederick J.; Gerald R. Peterson (1974). Introduction to Switching Theory and Logical Design: Second Edition. New York: John Wiley & Sons. ISBN 0-471-39882-9.  Cf Chapter 7.1 "Cubical Representation of Boolean Functions" wherein the notion of "hypercube" is introduced as a means of demonstrating a distance-1 code (Gray code) as the vertices of a hypercube, and then the hypercube with its vertices so labelled is squashed into two dimensions to form either a Veitch diagram or Karnaugh map.

Tautan luar

• (Inggris) Weisstein, Eric W. "Hypercube". MathWorld. 
• (Inggris) Weisstein, Eric W. "Hypercube graphs". MathWorld. 
• www.4d-screen.de (Rotasi 4D - 7D-Kubus)
• Rotating a Hypercube oleh Enrique Zeleny, Proyek Demonstrasi Wolfram.
• Hiperkubus Animasi Stereoskopik
• [1]