Bola (geometri)

Halaman ini berisi artikel tentang konsep dalam geometri tiga dimensi. Untuk kegunaan lain, lihat Bola (geometri) (disambiguasi).

"globosa" beralih ke halaman ini. Untuk struktur neuroanatomik, lihat inti globosa.

Sebuah proyeksi perspektif dua dimensi dari sebuah bola

Sebuah bola adalah objek geometri dalam ruang tiga dimensi yang merupakan permukaan dari bola, yaitu analog dengan objek melingkar dalam dua dimensi, dimana "lingkaran" membatasi "disk").

Seperti lingkaran dalam ruang dua dimensi, bola secara matematis didefinisikan sebagai titik himpunan dimana semuanya berada pada jarak yang sama r dari titik tertentu dalam ruang tiga dimensi. Jarak ini r adalah radius bola, yang terbentuk dari semua titik dengan jarak kurang dari atau, untuk bola tertutup, kurang dari atau sama dengan r dari titik tertentu, yang merupakan pusat matematika bola. Ini juga disebut sebagai jari-jari dan pusat bola. Ruas garis lurus terpanjang melalui bola, menghubungkan dua titik bola, melewati pusat dan panjangnya dengan demikian dua kali jari-jari; itu adalah diameter dari kedua bola dan bolanya.

Sementara di luar matematika istilah "bola" dan "bola" terkadang digunakan secara bergantian, dalam matematika perbedaan di atas dibuat dengan antara bola, yang merupakan permukaan tertutup dua dimensi pembenaman dalam ruang Euklides tiga dimensi, dan bola, yang merupakan bentuk tiga dimensi yang mencakup bola dan segala sesuatu di dalam bola (bola tertutup), atau, lebih sering, hanya titik di dalam, namun bukan di antara bola (bola terbuka). Ini sejalan dengan situasi dalam bidang, dimana istilah "lingkaran" dan "cakram" juga dapat dikacaukan.

Persamaan dalam tiga dimensi

Dua jari-jari ortogonal dari suatu bola

Lihat pula: Fungsi trigonometri dan Sistem koordinat bola

Dalam geometri analitik , bola dengan pusat (x₀, y₀, z₀) dan jari jari r adalah lokus titik (x, y, z) sedemikian rupa sehingga

$(x-x_{0})^{2}+(y-y_{0})^{2}+(z-z_{0})^{2}=r^{2}.$

biarkan a, b, c, d, e bilangan real dengan sebuah a ≠ 0 dan put

$x_{0}={\frac {-b}{a}},\quad y_{0}={\frac {-c}{a}},\quad z_{0}={\frac {-d}{a}},\quad \rho ={\frac {b^{2}+c^{2}+d^{2}-ae}{a^{2}}}.$

Lalu persamaan

$f(x,y,z)=a(x^{2}+y^{2}+z^{2})+2(bx+cy+dz)+e=0$

tidak memiliki poin nyata sebagai solusi jika $\rho <0$ dan disebut persamaan bola imajiner. Jika $\rho =0$, satu-satunya solusi $f(x,y,z)=0$ adalah intinya $P_{0}=(x_{0},y_{0},z_{0})$ dan persamaannya disebut persamaan titik bola. Akhirnya, dalam kasus ini $\rho >0$, $f(x,y,z)=0$ adalah persamaan bola yang pusatnya adalah $P_{0}$ dan yang radiusnya adalah ${\sqrt {\rho }}$.

Jika a dalam persamaan di atas adalah nol maka f(x, y, z) = 0 adalah persamaan suatu bidang. Dengan demikian, sebuah pesawat dapat dianggap sebagai bola jari-jari tak terbatas yang pusatnya adalah titik tak terhingga.

Titik-titik di bola dengan jari-jari $r>0$ dan pusat $(x_{0},y_{0},z_{0})$ dapat diparameterisasi via

${\begin{aligned}x&=x_{0}+r\sin \theta \;\cos \varphi \\y&=y_{0}+r\sin \theta \;\sin \varphi \qquad (0\leq \theta \leq \pi ,\;0\leq \varphi <2\pi )\\z&=z_{0}+r\cos \theta \,\end{aligned}}$

Keliling $\theta$ dapat dikaitkan dengan sudut yang dihitung positif dari arah z positif- sumbu melalui pusat ke radius-vektor, dan keliling $\varphi$ dapat dikaitkan dengan sudut yang dihitung positif dari arah x- positif positif melalui pusat ke proyeksi vektor-jari-jari pada xy- plane.

Bola dari jari-jari yang berpusat di nol adalah permukaan integral dari bentuk diferensial berikut:

$x\,dx+y\,dy+z\,dz=0.$

Persamaan ini mencerminkan bahwa vektor posisi dan kecepatan suatu titik,(x, y, z) dan (dx, dy, dz), yang berjalan di bola selalu ortogonal satu sama lain.

Sebuah bola juga dapat dibangun sebagai permukaan yang dibentuk dengan memutar lingkaran tentang semua diameternya . Karena lingkaran adalah jenis [[elips] khusus , bola adalah jenis elips khusus revolusi . Mengganti lingkaran dengan elips yang diputar pada sumbu utamanya , bentuknya menjadi spheroid prolate ; diputar tentang sumbu minor, sebuah spheroid oblate.

Rumus bola

Luas permukaan

Luas permukaan pada bola yaitu.

$L=4\pi r^{2}\,$

Archimedes pertama kali memperoleh rumus ini dari fakta bahwa proyeksi ke permukaan lateral dari silinder yang dibatasi adalah pengawet area. Pendekatan lain untuk memperoleh rumus berasal dari fakta bahwa rumus tersebut sama dengan turunan rumus untuk volume sehubungan dengan $r$ karena volume total di dalam bola jari-jari $r$ dapat dianggap sebagai penjumlahan dari luas permukaan jumlah yang tidak terbatas dari cangkang bola dengan ketebalan sangat kecil yang ditumpuk secara konseptual di dalam satu sama lain dari jari jari $0$ hingga jari jari $r$. Pada ketebalan sangat kecil perbedaan antara luas permukaan bagian dalam dan luar setiap shell yang diberikan sangat kecil, dan volume unsur pada jari-jari $r$ hanyalah produk dari luas permukaan pada jari-jari $r$ dan ketebalan sangat kecil.

Pada jari-jari tertentu $r$, volume tambahan ( δV ) sama dengan produk dari luas permukaan pada jari-jari r ( A ( r ) dan ketebalan cangkang ( δr ):

$\delta V\approx A(r)\cdot \delta r.$

Volume total adalah penjumlahan dari semua volume cangkang:

$V\approx \sum A(r)\cdot \delta r.$

Dalam batas ketika approachesr mendekati nol persamaan ini menjadi:

$V=\int _{0}^{r}A(r)\,dr.$

Pengganti $V$:

${\frac {4}{3}}\pi r^{3}=\int _{0}^{r}A(r)\,dr.$

Membedakan kedua sisi persamaan ini sehubungan dengan $r$ menghasilkan $L$ sebagai fungsi $r$:

$4\pi r^{2}=L(r).$

di mana r sekarang dianggap sebagai jari-jari bola yang tetap.

Atau, elemen luas pada bola diberikan dalam koordinat bola oleh dA = r² sin θ dθ dφ. Dalam Kordinat Kartesius, elemen luas adalah

$dS={\frac {r}{\sqrt {r^{2}-{\displaystyle \sum _{i\neq k}x_{i}^{2}}}}}\prod _{i\neq k}dx_{i},\;\forall k.$

Total luas dengan demikian dapat diperoleh dengan integral:

$L=\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{\pi }r^{2}\sin \theta \,d\theta \,d\varphi =4\pi r^{2}.$

Bola memiliki luas permukaan terkecil dari semua permukaan yang membungkus volume tertentu, dan melingkupi volume terbesar di antara semua permukaan tertutup dengan luas permukaan tertentu. Karenanya bola muncul di alam: misalnya, gelembung dan tetesan air kecil secara kasar berbentuk bola karena tegangan permukaan secara lokal meminimalkan luas permukaan.

Luas permukaan relatif terhadap massa bola disebut luas permukaan spesifik dan dapat dinyatakan dari persamaan yang dinyatakan di atas sebagai

$\mathrm {LPS} ={\frac {A}{V\rho }}={\frac {3}{r\rho }},$

di mana ρ adalah kepadatan (rasio massa terhadap volume).

Volume

Volume pada bola yaitu:

$V={\frac {4}{3}}\pi r^{3}$

Pada setiap $x$ yang diberikan , volume tambahan ( δV ) sama dengan produk dari luas penampang disk pada $x$ dan ketebalannya ( δx ):

$\delta V\approx \pi y^{2}\cdot \delta x.$

Volume total adalah penjumlahan dari semua volume tambahan:

$V\approx \sum \pi y^{2}\cdot \delta x.$

Dalam batas ketika δx mendekati nol, persamaan ini menjadi:

$V=\int _{-r}^{r}\pi y^{2}dx.$

Pada setiap x yang diberikan , segitiga siku-siku menghubungkan x , y dan r ke titik asal; karenanya, menerapkan Teorema Pythagoras menghasilkan:

$y^{2}=r^{2}-x^{2}.$

Menggunakan substitusi ini memberi

$V=\int _{-r}^{r}\pi \left(r^{2}-x^{2}\right)dx,$

yang dapat dievaluasi untuk memberikan hasilnya

$V=\pi \left[r^{2}x-{\frac {x^{3}}{3}}\right]_{-r}^{r}=\pi \left(r^{3}-{\frac {r^{3}}{3}}\right)-\pi \left(-r^{3}+{\frac {r^{3}}{3}}\right)={\frac {4}{3}}\pi r^{3}.$

Rumus alternatif ditemukan menggunakan koordinat bola , dengan elemen volume

$dV=r^{2}\sin \theta \,dr\,d\theta \,d\varphi$

begitu

$V=\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{\pi }\int _{0}^{r}r'^{2}\sin \theta \,dr'\,d\theta \,d\varphi =2\pi \int _{0}^{\pi }\int _{0}^{r}r'^{2}\sin \theta \,dr'\,d\theta =4\pi \int _{0}^{r}r'^{2}\,dr'\ ={\frac {4}{3}}\pi r^{3}.$

Untuk tujuan paling praktis, volume di dalam bola yang tertulis dalam kubus dapat diperkirakan sekitar 52,4% dari volume kubus, karena V = π6 d³, di mana d adalah diameter bola dan juga panjang sisi kubus dan π6 ≈ 0.5236. Sebagai contoh, bola dengan diameter 1 m memiliki 52,4% volume kubus dengan panjang tepi 1 m, atau sekitar 0,524 m 3

Geometri bola

Lingkaran besar pada bola

Artikel utama: Geometri bola

Elemen dasar geometri bidang Euclidean adalah titik dan garis . Di bola, titik didefinisikan dalam arti biasa. Analog dari "garis" adalah geodesik , yang merupakan lingkaran besar ; ciri utama dari lingkaran besar adalah bahwa bidang yang berisi semua titiknya juga melewati pusat bola. Mengukur dengan panjang busur menunjukkan bahwa jalur terpendek antara dua titik yang terletak di bola adalah segmen yang lebih pendek dari lingkaran besar yang mencakup titik-titik tersebut.

Banyak teorema dari geometri klasik juga berlaku untuk geometri bola, tetapi tidak semua melakukannya karena bola gagal memenuhi beberapa postulat geometri klasik , termasuk postulat paralel . Dalam trigonometri bola , sudut didefinisikan antara lingkaran besar. Trigonometri bola berbeda dari trigonometri biasa dalam banyak hal. Misalnya, jumlah sudut interior segitiga bulat selalu melebihi 180 derajat. Juga, dua segitiga bundar yang serupa adalah kongruen.

Gambar

Gambar salah satu bidang buatan manusia yang paling akurat, karena membiaskan gambar Einstein di latar belakang. Bola ini adalah giroskop kuarsa berfusi untuk percobaan Gravity Probe B , dan berbeda dalam bentuk dari bola sempurna dengan ketebalan tidak lebih dari 40 atom (kurang dari 10 nm). Diumumkan pada 1 Juli 2008 bahwa para ilmuwan Australia telah menciptakan bola yang bahkan hampir sempurna, akurat hingga 0,3 nm, sebagai bagian dari perburuan internasional untuk menemukan kilogram standar global baru.

Lihat pula

• N-Bola

• Frustum bola

• Fungsi lantai dan langit

Pranala luar

• Sphere (PlanetMath.org website)
• (Inggris) Weisstein, Eric W. "Sphere". MathWorld. 
• Mathematica/Uniform Spherical Distribution
• Outside In. 2007-11-14. Diarsipkan dari versi asli tanggal 2007-09-01. Diakses tanggal 2007-11-24.  (computer animation showing how the inside of a sphere can turn outside.)
• Program in C++ to draw a sphere using parametric equation
• Surface area of sphere proof.